Bukti :
1. Jika mx irreducible, maka mx = axbx dan m = 0, salah satunya ax atau bx adalah 0 menyangkal fakta bahwa mx adalah polynomial dengan derajat terkecil
dengan sebagai akar.
2. Dengan algoritma pembagian, fx = axmx + rx dengan derajat rx lebih kecil dari derajat mx. Karena f = m = 0, r = 0 dan karena derajat rx lebih kecil
dari derajat mx, rx sama dengan 0. 3. Ini mengikuti dari 2 karena suatu elemen di GFp
r
adalah akar dari persamaan
r
p
x = x.
4. Karena di GFp
r
dan GFp
r
adalah r – dimensional vector space atas GFp, himpunan 1,
, …,
r
adalah linierly independent dan juga memenuhi persamaan derajat lebih kecil
dari atau sama dengan r. Jika mx adalah primitip membangkitkan semua GFp
r
dan juga mx memiliki derajat r. Jika fx adalah polynomial berderajat m, reciprocal polynomial dari fx didefinisikan
menjadi x
m
f x
-1
. Jika fx = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+…+ a
0,
reciprocal polynomialnya sama dengan a
x
n
+ a
1
x
n-1
+…+ a
n.
2.3 Mengubah Codeword dalam Bentuk Polinomial
Information digit yang berupa barisan digit 0 dan 1 merupakan elemen dari kode yang disebut codeword. Misalkan, suatu kode yang terdiri dari semua codeword dengan panjang dua
adalah C = {00, 01, 10, 11}
Suatu codeword v = a a
1
a
2
…a
n-1
dengan panjang n dapat diubah dalam bentuk polynomial fx = a
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n-1
x
n-1
berderajat n.Contoh, codeword dengan panjang 7; v = 1000111 diubah dalam polynomial
f x = 1 + x
4
+ x
5
+ x
6
. Jadi suatu kode dengan panjang n dapat ditunjukkan sebagai himpunan polynomial atas GF2
berderajat n – 1.
Universitas Sumatera Utara
2.4 Cyclic Codes
Cyclic codes adalah kelas yang penting dari kode. Salah satu alasannya adalah dapat diencode secara efisien dengan memakai shift register. Begitu juga dengan pola decoding
yang memakai shift register. Polinomial vx = a + a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n-1
x
n-1
dapat dianggap sebagai codeword v = a
a
1
a
2
…a
n-1
. Suatu n,k code C disebut cyclic jika x = a
0,
a
1,
a
2,
… ,a
n-1
di C, begitu juga cyclic shift pertamanya y = a
n-1,
a
0,
a
1,
…, a
n-2
. Ini berarti a
n-2,
a
n-1,
a
0,
…, a
n-3
, cyclic shift dari y yang pertama, dan semua cyclic shift yang lain dari x juga di C.
Misalkan suatu vector a
0,
a
1,
a
2,
… ,a
n-1
dapat disamakan dengan polynomial a + a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n-1
x
n-1
. Maka a
n-1,
a
0,
a
1,
…, a
n-2
dapat disamakan dengan a
n-1
+ a x + a
1
x
2
+ … + a
n-2
x
n-1
. Jadi polynomial ini sama dengan polynomial a
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n-1
x
n-1
xmodulo .
Misalkan v adalah codeword dengan panjang n. Cyclic shift dari v adalah codeword dengan panjang n yang diperoleh dari v dengan mengambil digit terakhir dari v dan memindahkan
nya menjadi digit paling awal, semua digit yang lain berpindah satu posisi ke kanan. Suatu kode dikatakan cyclic code jika cyclic shift dari setiap codeword juga merupakan codeword.
Untuk cyclic code, elemen dari kode bisa dikatakan sebagai codeword dan polynomial. Diberikan suatu codeword v dengan panjang n, misalkan codeword dapat disamakan dengan
polynomial vx, maka cyclic shift dari v dapat disamakan dengan polynomial x
i
v x mod
untuk i = 0, 1, …, n – 1. Cyclic codes
didasarkan pada R
n
= F[x] , yang terdiri dari kelas – kelas
kongruens dari polynomial – polynomial berderajat lebih kecil dari n di F[x] tetapi perkaliannya adalah modulo x
n
– 1. Secara eksplisit, jika terdapat dua polynomial ax dan b
x, hasil kalinya di F[x] adalah axbx = cxx
n
– 1 + rx dengan derajat rx lebih kecil dari derajat x
n
– 1 dengan algoritma pembagian. Jadi rx dianggap sebagai hasil kali dari ax dan bx dengan R
n
adalah himpunan semua polynomial di F[x] berderajat yang lebih kecil dari n dengan perkalian modulo x
n
– 1. Misalkan
, …,
r
adalah elemen di field F = GFq
m
dan misalkan f
1
x, …, f
r
x adalah minimal polynomial dari setiap
. Selanjutnya, misalkan n adalah bilangan bulat sehingga setiap f
i
x membagi x
n
– 1. Misalkan C adalah kode dengan panjang n yang terdiri
Universitas Sumatera Utara
dari semua polynomial hx di F[x] sehingga h
i
= 0, i = 1, …, r. Maka C adalah cyclic codes
dengan generator polynomial gx = lcmf
1
x, …, f
r
x. Jelas bahwa cyclic codes C
dapat ditentukan dengan cara ini karena f
1
x dapat diambil sebagai factor yang irreducible
dari generator polynomial dari C dan
i
adalah akar dari f
1
x.
2.5 Generating Matrix dan Check Matrix
