Z
1
= μ
1
+ σ
1
X
1
Z
2
= μ
2
+ ρσ
2
X
1
+ σ
2
√
1− ρ
2
X
2
di mana
σ
1
0, σ
2
0 dan 0 ρ1
.mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut-turut
μ
1
, μ
2
, σ
1 2
, σ
2 2
,dan ρ
6. Misalkan
X
1
dan X
2
menyatakan sampel acak berukuran 2 dari distribusi N
μ , σ
2
Misalkan
Y
1
= X
1
+ X
2
dan Y
2
= X
1
− X
2
.Carilah fdp bersama dari Y
1
danY
2
dan tunjukkan bahwa peubah acak ini independen. 7. Misalkan X
1
dan X
2
menyatakan sampel acak berukuran 2 dari distribusi N
μ , σ
2
Misalkan Y
1
= X
1
+ X
2
dan Y
2
= X
1
+ 2 X
2
.Tunjukkan bahwa fdp bersama dart
Y
1
danY
2
adalah normal bivariat dengan koefisien korelasi 3
√
10 8 Gunakan rumus konvolusi untuk menentukan fdp dari
Y
1
= X
1
+ X
2
di mana
X
1
dan X
2
adalah peubah acak d.i.i masing-masing dengan fdp f x =e
− x
, 0x ∞ , nol lainnya. Petunjuk: Perhatikan bahwa integral atas
y
2
mempunyai batas 0 dan 1 di mana 1
y
1
∞
. Mengapa? 9 Misalkan
X
1
dan X
2
menyatakan sampel acak berukuran 2 dari distribusi μ , σ
2
. Misalkan Y
1
= X
1
+ X
2
dan Y
2
= X
1
− X
2
.Carilah fdp bersama dari Y
1
danY
2
dan tunjukkan bahwa peubah acak ini independen .
10 Misalkan X
1
dan X
2
mempunyai fdp bersama h x
1
, x
2
= 2 e
− x
1
− x
2
, 0x
1
x
2
∞ nol untuk lainnya.Carilah fdp bersama dari
Y
1
= 2 X
2
dan Y
2
= X
2
dan perlihatkan bahwa
Y
1
danY
2
adalah independen. Petunjuk: Gunakan ketaksamaan
0 y
1
y
2
y
2
1
dan pertimbangkan pemetaan dari
A kepada B
3.4 Distribusi Beta,t, dan F Distribusi beta
Misalkan X
1
dan X
2
dua peubah acak independen yang mempunyai distribusi gamma dan fdp besama
h x
1
, x
2
= 1
Γ α Γ β x
1 α−1
x
2 β −1
e
− x
1
− x
2
,0 x
1
∞, 0x
2
∞ di mana α0, β 0
Misalkan
Y
1
= X
1
+ X
2
dan Y
2
= X
1
X
1
+ X
2
. Kita akan menunjukkan bahwa
Y
1
dan X
2
adalah independen.Ruang
A
adalah kudran pertama dari bidang -
x
1
x
2
terpisah dari titik-titik pada sumbu koordinat.
Sekarang y
1
= u
1
x
1
, x
2
= x
1
+ x
2
Sekarang x
1
= w
2
y
1
, y
2
= 1
2 y
1
+ y
2
dapat dituliskan x
1
= y
1
y
2
, x
2
= y
1
1− y
2
J =
|
y
2
y
1
1− y
2
− y
1
|
=− y
1
≠ 0 Transformasi adalah satu-satu dan transformasi memetakan
A
ke B=
{
y
1
, y
2
∨ 0 y
1
∞.0 y
2
1
}
dalam bidang - y
1
y
2
Fdp bersama dari
Y
1
danY
2
adalah g
y
1
, y
2
= 1
Γ α Γ β y
1
y
2 α −1
[
y
1
1− y
2
]
β−1
e
− y
1
Sesuai dengan Teorema 1 dalam Pasal 2.4 peubah acak adalah independen Fdp marjinal dari
Y
2
adalah
g
2
y
2
= y
2 α−1
1− y
2 β−1
Γ α
Γ β
∫
∞
y
1 α +β −1
e
− y
1
d y
1
= Γ α +β
Γ α Γ β y
2 α−1
1− y
2 β−1
, 0 y
2
1 Fdp ini adalah distribusi beta dengan parameter α0, β 0
g
1
y
1
= 1
Γ α+β y
1 α+ β−1
e
− y
1
,
0 y
1
∞
yang merupakan distribusi gamma dengan nilai parameter α+ β dan 1 atihan yang mudah untuk menunjukkan bahwa rataan dan variansi dari
Y
2
yang mempunyai distribusi beta dengan parameter
α dan β
berturut-turut adalah μ=
α α+ β
, σ
2
= αβ
α +β+1α +β
2
Distribusi-t Student
Misalkan W menyatakanpeubah acak N0,1, dan ambil V menyatakan peubah acak χ
2
r , dan ambil W independen.Kemudian fdp bersama dari W dan V, sebut hw,v adalah perkalian
fdp dari W dan V atau
h w , v
= 1
√
2 π e
− w
2
2
1 Γ
r 2 2
r 2
v
r 2−1
e
− v 2
, −∞w∞, 0v∞ Tetapkan pubah acak baru T dengan menuliskan
T = W
√
V r Teknik perubahan peubah akan digunakan untuk memperoleh fdp g
1
t dari T. Persamaa t=
w
√
v r dan u = t
menetapkan transformasi satu-satu yang memetakan
A= ¿
{
w , v ∨−∞ w∞, 0v ∞
}
ke B=
{
t ,u ∨−∞ t∞, 0u ∞
}
Karena w= t
√
u
√
r , v =u , nilai mutlak Jacobian transformasi adalah
|
J
|
=
√
v
√
r . Sesuai
dengan itu fdp bersama dari T dan U = V diberikan oleh g t , u=h
t
√
u
√
r , u
|
J
|
= 1
√
2 π 1
Γ r 2 2
r 2
u
r 2−1
exp
[
− u
2 1+
t
2
r
]
√
v
√
r ,−∞t∞, 0u∞
Fdp marjinal dari T adalah g
1
t =
∫
− ∞
∞
g t ,u du r +1
¿ ¿
¿ 2−1
¿ 1
√
2 πr 1
Γ r 2 2
r 2
u
¿
¿
∫
∞
¿ Dalam intehgral ini misalkan
r+2 ¿
¿ ¿
2−1 ¿
g
1
t =
∫
∞
1
√
2 πr 1
Γ r 22
r 2
2 z 1+t
2
r
¿
= Γ
[
r +1 2
]
√
2 π Γ r 2 1
1+t
2
r
r +1 2
,−∞t∞ Jadi jika W adalah N0,1, jika V adalah χ
2
r dan jika W dan V independen maka T =
W
√
V r mempunyai fdp g
1
t . Distribusi dari peubah acak T biasanya disebut diatribusi-t’ Akan diamati bahwa distribusi-t secara lengkap ditentukan oleh parameter r bilangan derajat
kebebasan dari peubah acak yang mempunyaidistribusi khi-kuadrat. Beberapa nilai penedekatan dari
P T ≤t =
∫
− ∞
t
g
1
w dw untuk pemilihan nilai r dan t dapat dijumpai dalam Tabel
Distribusi – F
Berikut perhatikan dua peubah acak khi-kuadrat indpenden U dan V mempunyai derajat kebebasan berturut-turut r
1
dan r
2
. Fdp bersama hu,v dari U dan V adalah h u , v =
1 Γ
r
1
2 Γ
r
2
2 2
r
1
+ r
2
2
u
r
1
2−1
v
r
2
2−1
e
− u +v 2
, 0u∞ , 0v∞ Kita menetapkan peubah acak baru
W = U r
1
V r
2
dan kita bermaksud mencari fdp g
1
w dari W Persamaan
w= ur
1
v r
2
, z=v menetapkan
transformasi satu-satu yang memetakan himpunan A=
¿
{
u , v ∨0u∞ , 0v ∞
}
kepada B=
{
w , z ∨0w∞ ,0 z∞
}
. Karena
u= r
1
r
2
zw , v=z
nilai mutlak Jacobian transformasi adalah
|
J
|
= r
1
r
2
z
Fdp
g
w,z dari peubah acak W dan Z adalah g w , z =
1 Γ
r
1
2 Γ
r
2
2 2
r
1
+ r
2
2
r
1
r
2
zw
r
1
2−1
z
r
1
2−1
exp
[
− z
2 r
1
w r
2
+ 1
]
r
1
z r
2
asalkan bahwa w , z ∈ B , dan nol lainnya Fdp marjinal g
1
w dari W adalah
g
1
w = r
1
+ r
2
¿ ¿
¿ 2−1
¿
∫
∞
r
1
r
2 r
1
2
w
r
1
2−1
Γ r
1
2 Γ
r
2
2 2
r
1
+ r
2
2
z
¿
Jika kita mengubah integrasi dengan mengubah y= z
2 r
1
w r
2
+ 1
maka diperoleh r
1
+ r
2
¿ ¿
¿ 2−1
¿ g
1
w=
∫
∞
r
1
r
2 r
1
2
w
r
1
2−1
Γ r
1
2 Γ
r
2
2 2
r
1
+ r
2
2
2 y r
1
wr
2
+ 1
¿
= r
1
+ r
2
¿ ¿
¿ 2
¿ 1+r
1
wr
2 ¿
Γ
[
r
1
+ r
2
2
]
r
1
r
2 r
1
2−1
Γ r
1
2 Γ
r
2
2 w
r
1
2−1
¿ Sesuai dengan itu, jika U dan V independen peubah khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
r
1
dan r
2
maka W= U r
1
V r
2
segera mempunyai fdp terdahulu g
1
w . Distribusi peubah acak ini biasanya disebut distribusi- F, dan kita sering menyebut rasio F,
yang kita telah nyatakan dengan W, yaitu F=
U r
1
V r
2
Akan diamati bahwa distrbusi F secara lengkap ditentukan oleh dua parameter r
1
dan r
2
.Tabel memberikan beberapa nilai pendekatan dari
P F ≤b =
∫
b
g
1
w dw untuk pilihan nilai
r
1
,r
2
, dan b
Soal-soal Laihan 3.4 1. Carilah rataan dan variansi dari distribusi beta
Petunjuk ; Dari fdp itu kita tahu bahwa
y
α−1
1− y
b−1
dy= ¿
Γ α
Γ β
Γ α+β
, untuk semua α 0 , β 0
∫
1
¿
2. Tentukan konstanta c dalam setiap berikut ini sehingga setiap
f x
adalah fdp beta. a.
f x
= cx
1−x
3
, 0x1,
nol lainnya b.
f x
= c x
4
1−x
5
, 0 x 1,
nol lainnya c.
f x
= c x
2
1−x
3
, 0 x 1,
nol lainnya 3. Tentukan konstanta c sehingga
f x
= cx
3−x
4
, 0x 1
, nol lainnya 4. Tunjukkan grafik fdp beta adalah simetrik terhadap garis tegak melalui x = ½ jika
α=β 5. Tunjukkan untuk k – 1,2,…,n bahwa
∫
p 1
n k−1n−k
z
k
1−z
n−k
dz=
∑
x=0 k−1
n x
p
x
1− p
n−x
Ini mendemonstrasikan hubungan antara fungsi distribusi beta dan distribusi binomial 6. Misalkan T mempunyai distribusi-t dengan derajat kebebasan dk 10.Carilah
P
|
T
|
2,228 dari Tabel.
7. Misalkan T mempunyai distribusi-t dengan derajat kebebasan dk 4. Tentukan b sehingga P −bT b =0,90
8. Misalkan F mempunyai distribusi- F dengan parameter r
1
dan r
2
. Buktikan bahwa 1F mempunyai distribusi F dengan parameter r
2
dan r
1
9. Misalkan F mempunyai distribusi- F dengan parameter r
1
= 5 dan r
2
= 10 . Carilah a
dan b sehingga
P F ≤a
= 0.05 dan P
F ≤b =
0,95
dan sesuai dengan itu
P aFb
= 0,90
Petunjuk: Tulis
P F ≤a
= P
1F ≥1a =
1−P 1 F ≤ 1a
dan gunakan hasil latihan 8 dan tabel
10. Misalkan T =W
√
V r di mana W dan V berturut-turut adalah normal dengan rataan nol dan variansi satu dan khi-kuadrat dengan derajat kebebasan r. Tunjukkan bahwa
T
2
mempunyai distribusi –F dengan parameter
r
1
= 1 dan r
1
= r
11. Tunjukkan bahwa distribusi –t dengan derajat kebebasan r = 1dan distribusi Cauchy adalah sama
12. Tunjukkan bahwa V =
1 1+
r
1
r
2 W
di mana W mempunyai distribusi-F dengan parameter r
1
dan r
2
mempunyai diatribusi
beta. 13. Misalkan X
1
, X
2
sampel acak dari distribusi yang mempunyai fdp f x =e
− x
, 0 x ∞ , nol lainnya. Tunjukka bahwa
Z =X
1
X
2
mempunyai distribusi F
4.5 Distribusi Statistik Order
Misalkan X
1
, X
2
,… , X
n
menyatakan sampel acak dari distribusi jenis kontinu yang mempunyai fdp
f x
, 0 x 1. Misalkan Y
1
terkecil dari X
i
, Y
2
terkecil kedua dari X
i
dalam urutan besarnya ,…,dan Y
n
terbesar dari X
i
, yaitu Y
1
Y
2
…Y
n
menggambarkan X
1
, X
2
,… , X
n
apabila yang belakngan dalam urutan besar menaik.Maka Y
i
,i=1,2, …, n disebut statistic order ke-I dari sampel acak X
1
, X
2
,… , X
n
. Akan ditunjukkan bahwa fdp bersama dari Y
1
,Y
2
, …Y
n
diberikan oleh
g y
1
, y
2
, … , y
n
= n
f y
1
f y
2
… f y
n
,
a y
1
y
2
… y
n
b
= 0 , lainnya Kita akan membuktikan ini hanya untuk kasus n = 3 , tetapi penjelasan ini dilihat berlaku
umum sepenuhnya. Dengan n = 3 fdp bersama
X
1
, X
2
, X
3
adalah
f y
1
f y
2
f y
3
. Perhatikan peluang
P a X
1
X
2
≪ b, aX
3
b
. Peluang ini diberikan oleh
∫
a b
∫
a b
∫
x
2
x
2
f x
1
f x
2
f x
3
d x
1
d x
2
d x
3
= karena
∫
x
2
x
2
f x
1
d x
1
= Seperti telah dijelaskan , tanpa perubahan distribusi dari
X
1
, X
2
,…
,
X
n
kita dapat menentukan fdp bersama
f x
1
f x
2
f x
3
men jadi nol pada semua titik
X
1
, X
2
, X
3
¿
yang mempunyai paling sedikit dua koordinat titik sama. Kemudian himpunan
A
di mana f
x
1
f x
2
f x
3
0 , adalah gabungan enam himpunan saling lepas A
1
=
{
x
1
, x
2
, x
3
∨ a x
1
x
2
x
3
b
}
A
2
=
{
x
1
, x
2
, x
3
∨ a x
2
x
1
x
3
b
}
A
3
=
{
x
1
, x
2
, x
3
∨ a x
1
x
3
x
2
b
}
A
4
=
{
x
1
, x
2
, x
3
∨ ax
2
x
3
x
1
b
}
A
5
=
{
x
1
, x
2
, x
3
∨ a x
3
x
1
x
2
b
}
A
6
=
{
x
1
, x
2
, x
3
∨ ax
3
x
2
x
1
b
}
Ada enam himpunan ini karena kita dapat menyusun x
1
, x
2
, x
3
dalam tepat 3 = 6 cara. Perhatikan fungsi y
1
= ¿
minimum dari x
1
, x
2
, x
3
. y
2
= ¿
pertengahan besaran dari x
1
, x
2
, x
3
, y
3
= ¿
maksimum dari x
1
, x
2
, x
3
Fungsi ini menetapkan transformasi satu-satu yang memetakan setiap A
1
, A
2
, … , A
6
kepada onto himpunan invers yang sama B=
{
y
1
, y
2
, y
3
∨ a y
1
y
2
y
3
b
}
. Fungsi
invers ada untuk titik dalam A
1
, x
1
= y
1
, x
2
= y
2
, x
3
= y
3
, untuk titik dalam A
2
, titik itu adalah x
1
= y
2
, x
2
= y
1
, x
3
= y
3
demikian seterusnya untuk setiap sisa empat himpunan . Maka kita mempunyai bahwa
J
1
=
|
1 0 0 0 1 0
0 0 1
|
= 1 dan J
1
=
|
0 1 0 1 0 0
0 0 1
|
=− 1
Selanjutnya mudah diselidiki bahwa nilai mutlak dari setiap cara 3=6, Jacobi adalah +1. Jadi fdp bersama dari tiga statistik order y
1
= ¿
minimum dari x
1
, x
2
, x
3
. y
2
= ¿
pertengahan besaran dari x
1
, x
2
, x
3
, y
3
= ¿
maksimum dari x
1
, x
2
, x
3
adalah
g y
1
, y
2
, y
3
=
|
J
1
|
f y
1
f y
2
f y
3
+
|
J
2
|
f y
1
f y
2
f y
3
+ …+
|
J
6
|
f y
1
f y
2
f y
3
a y
1
y
2
y
3
b = 3 f
y
1
f y
2
f y
3
, a y
1
y
2
y
3
b = 0 , lainnya
Ini adalah Persamaan 1 dengan n = 3.
Contoh 1
Misalkan X menyatakan peubah acak jenis kontinu dengan fdp
f x
dan kontinu, untuk ax b dan nol lainnya.Fungsi distribusi
F x
dari X dapat dituliskan F x =
∫
− ∞
x
f w dw , ax b Jika x ≤ a , F x =0 dan jika b ≤ x , F x =1 .Jadi ada median tunggal m dari fungsi dengan
m =
12
. Misalkan X
1
, X
2
, X
3
meyatakan sampel acak dari distribusi dan misalkan Y
1
Y
2
Y
3
menyatakan statistik order dari sampel acak.Kita akan menghitung peluang bahwa Y
2
≤ m . Fdp bersama dari tiga statistik order adalah g
y
1
, y
2
, y
3
= 6 f
y
1
f y
2
f y
3
, a y
1
y
2
y
3
b = 0 , lainnya.
Kemudian fdp dari
Y
2
adalah h
y
2
= 6 f
y
2
∫
a b
∫
a b
f y
1
f y
3
d y
1
d y
3
= 6 f y
2
F y
2
1−F y
2
, a y
2
b = 0 , lainnya.
Sesuai dengan itu, P
Y
2
≤ m =
6
∫
a m
{
f y
2
F y
2
−
[
F y
2
]
2
f y
2
}
d y
2
= 6
{
[
F y
2
]
2
2 −
[
F y
2
]
3
3
}
m a
= ½ Prosedur yang digunakan dalam Contoh 1, dapat digunakan untuk memperoleh rumus umum
untuk fungsi densitas peluangmarjinal dari statistik order , sekarang akan kita lakukan. Misalkan X menyatakan peubah acak jenis kontinu dengan fdp
f x
dan kontinu, untuk ax b dan nol lainnya. Kemudian fungsi distribusi
F x
dari X dapat dituliskan
F x
= 0 , x ≤ a
=
∫
a x
f w dw , a ≤ x b = 1 , x ≥b
Sesuai dengan itu , F x=f x ,a xb . Selanjutnya jika ax b
1 -
F x
= F
b −
F x
=
∫
a b
f x dx−
∫
b x
f x dx =
∫
x b
f w dw Pertama akan ditunjukkan bahwa fdp dari
Y
n
dapat dinyatakan berkenan fungsi distribusi F x dan fdp f x dan peubah acak X.Jika
a y
n
b
fdp marjinal dari
Y
n
diberikan oleh g
n
y
n
=
∫
a y
n
…
∫
a y
4
∫
a y
3
∫
a y
2
n f y
1
f y
2
… f y
n
d y
1
d y
2
… d y
n−1
¿
∫
a y
n
…
∫
a y
4
∫
a y
3
n
[
∫
a y
2
f y
1
d y
1
]
f y
2
… f y
n
d y
2
…d y
n−1
=
∫
a y
n
…
∫
a y
4
∫
a y
3
n F y
2
f y
2
… f y
n
d y
2
… d y
n−1
karena F x =
∫
a x
f w dw Sekarang
∫
a y
2
F y
2
f y
2
d y
2
= 1
2
[
F y
2
]
2
∨ y
3
= 1
2
[
F y
3
]
2
karena
F a
=
. Jadi
g
n
y
n
=
∫
a y
n
, , ,
∫
a y
4
n 1
2
[
F y
3
]
2
f y
3
… f y
n
d y
3
… d y
n−1
Tetapi
∫
a y
4
n 1 2
[
F y
3
]
2
f y
3
d y
3
=
[
F y
3
]
3
2.3 ∨
y
4
a =
1 2.3
[
F y
4
]
3
Sehingga g
n
y
n
= ¿
∫
a y
n
, , ,
∫
a y
5
n 1
3
[
F y
4
]
3
f y
4
… f y
n
d y
4
… d y
n−1
Jika integrasi berturut-turut atas
y
4
… y
n
, hasilnya terlihat bahwa g
n
y
n
= n
n−1
[
F y
n
]
n−1
f y
n
= n
[
F y
n
]
n−1
f y
n
, a y
n
b = 0 , lainnya
Berikut akan diperlihatkan bagaimana untuk menyatakan fdp marjinal dari
Y
1
berkenan dengan F x dan fdp f x
Kita punyai untuk a y
1
b
g
1
y
1
=
∫
y
1
b
…
∫
y
n−3
b
∫
y
n−2
b
∫
y
n−1
b
n f y
1
f y
2
…f y
n
d y
n
d y
n−1
… d y
2
=
∫
y
1
b
…
∫
y
n−3
b
∫
y
n−2
b
n f y
1
f y
2
… f y
n
[
1−F y
n−1
]
d y
n−1
… d y
2
Tetapi
∫
y
n−2
b
[
1−F y
n−1
]
d y
n−1
= −
1 2
[
1−F y
n−1
]
2
∨ b y
n−2
= 1
2
[
1−F y
n−2
]
2
Sehingga g
1
y
1
=
∫
y
1
b
…
∫
y
n−1
b
n f y
1
f y
2
… f y
n
1 2
[
1−F y
n−2
]
2
d y
n−1
… d y
2
Atas kelengkapanintegrasi , diperoleh bahwa g
1
y
1
= n
[
1−F y
1
]
n−1
f y
1
a y
1
b = 0 , lainnya.
Perhatikan bahwa
∫
α x
[
F w
]
α−1
f w dw= 1
α
[
F x
]
α
, α 0 dan
∫
y β
[
1−F w
]
β−1
f w dw= 1
β
[
1−F y
]
β
, β 0 Mudah untuk menyatakan fdp marjinal dari suatu statistik order, sebut Y
k
berkenan dengan
F x
dan fdp
f x
Ini dilakukan dengan menghitung integral g
k
y
k
=
∫
a y
k
…
∫
a y
2
∫
y
k
b
…
∫
y
n−1
b
n f y
1
f y
2
… f y
n
d y
n
… d y
k+1
d y
1
… d y
k−1
Hasilnya adalah g
k
y
k
= n
k −1 n−k
[
F y
k
]
k−1
[
1−F y
k
]
n−k
f y
k
,
a y
k
b
2 = 0 , lainnya.
Contoh 2
Misalkan Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran 4 dari distribusi yang mempunyai fdp
f x
= 2 x , 0x 1
Kita akan menyatakan fdp dari
Y
3
berkenan dengan F x dan f x dan menghitung P
Y ≥ 1
2 Di sini F x =x
2
, untuk , 0 x 1 , sehingga g
3
y
3
= 4
21 y
3 2
2
1− y
3 2
2 y
3
, 0 y
3
1 Jadi P
Y ≥ 1
2 =
∫
1 2 1
g
3
y
3
d y
3
=
∫
1 2 2
24 y
3 5
− y
3 5
d ❑
❑
= 3.4 ..5
1.5 .6
Akhirnya fdp bersama dari setiap dua statistik order sebut Y
i
Y
j
adalah mudah dinyatakan berkenan dengan
F x
dan
f x
Kita mempunyai g
ij
y
i
, y
j
=
∫
a y
i
…
∫
a y
2
∫
y
i
y
j
…
∫
y
j−2
y
j
∫
y
j
b
…
∫
y
n−1
b
n f y
1
f y
2
… f y
n
d y
n
… d y
j+1
d y
j−1
… d y
i+1
d y
i−1
… d y
n−1
g
ij
y
i
, y
j
= n
i−1 j−i−1n− j
[
F y
i
]
i−1
[
F y
j
− F
y
i
]
j−i−1
[
1−F y
j
]
n −i
f y
i
f y
j
Contoh 3
Misalkan Y
1
Y
2
Y
3
menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran 3 dari distribusi yang mempunyai fdp
f x
= , 0x 1
Kita mencari fdp rentang sampel
Z
1
= Y
3
− Y
1
Karena F x =x ,untuk ,0 x1 fdp dari
Y
1
dan Y
3
adalah
g
13
y
1
, y
3
= 6
y
3
− y
1
,0 y
1
y
3
1
= 0 . lainnya Tambahan terhadap Z
1
= Y
3
− Y
1
ambil Z
2
= Y
3
Perhatikan fungsi z= y
3
− y
1
ambil z
2
= y
3
dan inversnya y
1
= z
3
− z
1
, y
3
= z
2
Sehingga padanan Jacobian dari transformasi satu-satu adalah
J=
|
∂ y
1
∂ z
1
∂ y
1
∂ z
2
∂ y
3
∂ z
3
∂ y
3
∂ z
2
|
=
[
− 1 0
1
]
=− 1
Jadi fdp bersama dari
Z
1
dan
z
3
adalah h
{
z
1
, z
2
}
=
|
− 1
|
6 z
1
= 6 z
1
, 0z
1
z
2
1 = 0, lainnya.
Sesuai dengan itu rentang Z
1
= Y
3
− Y
1
dari sampel acak ukuran tiga adalah h
1
z
1
=
∫
1
6 z
1
d z
1
= 6 z
1
1−z
1
0z
1
¿ 1
Soal-soal Latihan 3.5
1. Misalkan Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran 4 dari distribusi yang mempunyai fdp f x =e
− x
, 0 x ∞ , nol lainnya. Carilah P
Y
4
≥3 2. Misalkan X
1
, X
2
, X
3
sampel acak dari distribusi jenis kontinu mempunyai fdp f x =2 x , 0x 1 , nol lainnya.
a. Hitunglah peluang terkecil X ini melebihi median distribusi. b.. Jika
Y
1
Y
2
Y
3
statistik order , carilah korelasi antara
Y
2
danY
3
.
3. Misalkan Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
Y
5
menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran 5 dari distribusi yang mempunyai fdp f x =e
− x
, 0 x ∞ , nol lainnya.Tunjukkan bahwa Z
1
= Y
2
dan Z
2
= Y
4
− Y
2
adalah independen Petunjuk: Pertama cari fdp dari Y
2
dan Y
4
4. Misalkan Y
1
Y
2
…Y
n
adalah statistik order sampel acak berukuran n dari distribusi dengan fdp
f x
= 2 x , 0x 1
, nol lainnya.Tunjukkan bahwa statistik order ke k mempunyai fdp dengan parameter
α=k dan β=n−k +1
5. Carilah peluang bahwa rentang sampel acak berukuran 4 dari distribusi dengan fdp x =2 x , 0x 1 , nol lainnya, lebih kecil dari pada ½ .
6. Misalkan Y
1
Y
2
Y
3
menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran 3 dari distribusi yang mempunyai fdp
f x
= 2 x , 0x 1
, nol lainnya. Tunjukkan bahwa
Z
1
= Y
1
Y
2
, Z
2
= Y
2
Y
3
, dan Z
3
= Y
3
7. Jika sampel acak berukuran dua diambil dari distribusiyang mempunyai fdp x =21−x ,0 x1 , nol , Hitunglah peluang bahwa satu sampel observasi paling
sedikit dua kali sebesar lainnya. 8. Misalkan
Y
1
Y
2
Y
3
menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran 3 dari distribusi yang mempunyai fdp f x =1 , 0x 1 , nol lainnya. Misalkan
Y
1
+ Y
2
¿ ¿
Z= ¿
adlah tengah rentang sampel . Carilah fdp dari Z 9. Misalkan Y
1
Y
2
menyatakan statistik ordersampel acak berukuran 2 dari N 0, σ
2
a. Tunjukkan bahwa E Y
1
=− σ
√
n Petunjuk: Hitung E
Y
1
dengan menggunakan fdp bersama dari Y
1
danY
2
dan integrasikan atas Y
1
b. Carilah kovariansi dari Y
1
danY
2
10. Misalkan Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
menyatakan statistik order dari sampel acak berukuran 4 dari distribusi yang mempunyai fdp
f x
= 2 x , 0x 1
, nol lainnya. a. Carilah fdp bersama dari
Y
1
danY
2
b. Arilah fdp bersyarat dari
Y
3
diberikan
Y
4
= y
4
c. Hitunglah
E Y
1
∨ y
4
3.6 Teknik Fungsi Pembangkit Momen
