0.6 0.2 0.4 0.6 Kestabilan di Titik Tetap
Sedangkan jika . penyakit akan
menghilang dalam waktu kurang lebih 20 tahun. Dalam waktu kurang lebih 50 tahun,
sistem akan setimbang saat: ,
. , Titik tetap yang dimaksud adalah titik tetap
bebas penyakit karena proporsi individu infected
bernilai nol. Besarnya bilangan reproduksi vaksinasi adalah
. . Titik tetap bebas penyakit
tersebut bersifat stabil asimptotis karena
. Gambar tersebut juga menunjukkan bahwa
penyakit akan menghilang dari populasi dalam waktu kurang lebih 18 tahun jika
. Titik tetap, bilangan reproduksi vaksinasi
, dan kestabilan untuk ,
. , . ,
, . ,
. , dan disajikan pada Tabel 2.
Tabel 3. Titik tetap, bilangan reproduksi vaksinasi, dan kestabilan untuk
, . ,
. , ,
. , . ,
dan
Titik Tetap Kestabilan
0.5375,0.4302 1.86
stabil asimptotis
0.1 0.5375,0.3372 1.67
stabil asimptotis
0.3 0.5375,0.1512
1.3 stabil
asimptotis 0.5375,0 1 stabil
0.6 0.4,0
0.74 stabil
asimptotis 0.9 0.1,0 0.19
stabil asimptotis
1 0,0
stabil asimptotis
Tabel 3 menunjukkan bahwa semakin tinggi tingkat vaksinasi maka bilangan reproduksi
vaksinasi akan semakin menurun.
Penurunan tersebut menyebabkan proporsi
individu infected pada titik tetap juga menurun. Tabel 3 juga menunjukkan bahwa
untuk , kenaikan tingkat vaksinasi
menyebabkan proporsi jumlah individu susceptible
pada titik tetap akan menurun. Selanjutnya, untuk
, pada titik tetap, proporsi individu susceptible
bernilai nol. Hal ini menunjukkan bahwa semua individu
telah kebal dari penyakit dan memasuki subpopulasi recovered. Titik tetap yang
dicapai adalah titik tetap bebas penyakit karena nilai proporsi individu infected pada
titik tersebut adalah nol.
Kriteria kestabilan di titik tetap dapat digambarkan dengan plot bidang fase
susceptible-infected. Sebagai contoh,
ditunjukkan kestabilan pada titik tetap untuk . . Titik tetap utuk
. adalah titik tetap endemik:
. , .
Plot bidang fase untuk . disajikan pada
Gambar 7.
Gambar 7. Plot bidang fase untuk .
Gambar 7 menunjukkan bahwa semua plot bidang fase menuju ke arah titik tetap
endemik. Oleh karena itu, titik tetap endemik tersebut bersifat stabil asimptotis.
Selanjutnya, akan ditunjukkan kestabilan pada titik tetap untuk
. Titik tetap untuk adalah titik tetap bebas penyakit:
, Plot bidang fase untuk
ditujukan pada Gambar 8.
Gambar 8. Plot bidang fase untuk
Gambar 8 menunjukkan bahwa semua plot bidang fase meuju ke arah titik tetap bebas
penyakit. Oleh karena itu, titik tetap bebas penyakit bersifat stabil asimptotis.
Untuk mengamati pengaruh vaksinasi terhadap dinamika populasi individu rentan
dan terinfeksi pada waktu tertentu maka diperlukan kurva bidang solusi yang
menunjukkan hubungan banyaknya populasi dengan variabel waktu. Hal ini membutuhkan