II. LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri
Perhatikan sistem persamaan diferensial SPD berikut:
, 2.1
, dan adalah fungsi kontinu dari dan
dengan turunan parsial pertama kontinu, dengan laju perubahan dan dinyatakan
dengan fungsi eksplisit dari dan sendiri dan tidak mengandung . SPD 2.1 disebut
sebagai sistem persamaan diferensial autonomousmandiri.
[Farlow 1994]
2.2 Titik Tetap
Misalkan diberikan persamaan diferensial SPD sebagai berikut:
, .
Titik disebut titik tetap jika memenuhi
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya
akan digunakan istilah titik tetap. [Tu 1994]
2.3 Pelinearan
Misalkan: ,
, Andaikan
, adalah titik tetap dari
persamaan di atas, maka ,
dan ,
. Misalkan dan
maka didapatkan: ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , Dalam bentuk matriks:
, ,
Matriks
,
disebut matriks Jacobi pada titik tetap
, .
Karena , ,
maka dapat diabaikan sehingga didapat persamaan linear:
. [Strogatz 1994]
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan matriks berukuran .
Suatu vektor tak nol di disebut vektor
eigen dari jika untuk suatu skalar, yang disebut nilai eigen dari berlaku:
. Vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .
Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran
, maka persamaan 2.4 dapat ditulis sebagai berikut:
. Dengan
adalah matriks identitas berukuran
. Persamaan 2.5 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika:
. Persamaan 2.6 disebut persamaan
karakteristik dari . [Tu 1994]
2.5 Kestabilan Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan differensial sembarang:
, .
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks .
Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu
dengan
, , , … yang diperoleh dari det
.
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif
untuk semua b.
Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau
sama dengan nol untuk
semua . 2.
Takstabil, jika a.
Ada nilai eigen real yang positif untuk suatu .
b. Ada komponen bagian real dari nilai
eigen kompleks, lebih besar dari nol untuk suatu .
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen
real sembarang adalah negatif ,
untuk dan sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat takstabil.
[Tu 1994]
2.6 Bilangan Reproduksi Dasar
Kategori