Konstruksi Model .1 Model PEMBAHASAN

III. PEMBAHASAN

3.1 Konstruksi Model 3.1.1 Model SIR Model SIR yang digunakan dalam tulisan ini disusun oleh Kermack and McKendrick. Model SIR Susceptibles, Invectives , Recovered pada awalnya dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat epidemik Makinde 2007. Pada tulisan ini dibahas mengenai pembentukan model SIR berdasarkan asumsi yang dibuat. Setelah model terbentuk, kemudian dicari solusi analitis dan titik tetapnya, yang selanjutnya diinterpretasikan dalam permasalahan yang sesungguhnya dalam kehidupan nyata. Dalam hal ini adalah mengenai perilaku penyebaran penyakit dan eksistensinya, yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Penyebaran penyakit dalam suatu populasi diasumsikan memiliki jumlah konstan dan dalam satu periode waktu wabah. Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari: Susceptibles St: adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari orang-orang yang rentan terkena penyakit tersebut. InfectivesIt: adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari orang-orang yang sudah terjangkit penyakit tersebut. RecoveredRt: adalah subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit tersebut. Dengan proporsi Pada pembentukan model SIR diberikan berbagai asumsi yang terdiri dari: 1 Populasi tertutup tidak ada proses migrasi. 2 Terjadi proses kelahiran dan kematian. 3 Laju kelahiran sama dengan laju kematian jumlah populasi tetap. 4 Penyakit dapat disembuhkan. 5 Setiap individu yang belum terserang penyakit masuk ke subpopulasi susceptibles rentan terserang. 6 Individu yang sembuh mempunyai kekebalan tetap. 7 Penyakit menular melalui kontak langsung antara individu rentan dengan penderita. 8 Tidak ada masa inkubasi apabila terjadi proses penularan. 9 Masa terjangkit yang cukup lama. Diasumsikan terdapat kontak yang tetap dari subpopulasi S dan I dalam populasi tersebut dan angka susceptible St ditambah dengan bilangan konstan ȝ. Bilangan konstan ȝ melambangkan kondisi di mana muncul kelahiran baru dan bayi yang baru lahir otomatis masuk dalam kondisi rentan. Karena laju kelahiran sama dengan laju kematian, maka nilai kedua laju sama yaitu ȝ. Misalkan laju penularan penyakit adalah , maka dalam satu waktu laju dari susceptibles menjadi infective adalah: . dengan dan ȝ adalah konstan positif dan ȝS adalah jumlah kematian pada subpopulasi S. Jika 0 adalah laju kesembuhan dari infected menjadi recovered , maka: . dengan ȝI adalah jumlah kematian pada subpopulasi I, dan laju perubahan subpopulasi recovered menjadi: . dengan ȝR adalah jumlah kematian dari subpopulasi R. Gambar 2. Model SIR 3.1.2 Model SIR dengan Pengaruh Vaksinasi Selanjutnya, program vaksinasi diperhatikan dalam model Makinde 2007. Dalam hal ini, vaksin hanya diberikan pada individu yang baru lahir atau masih dalam usia anak-anak. Diasumsikan bahwa efisiensi vaksinasi adalah 100 yang berarti setiap individu yang telah mendapat vaksin akan kebal dari penyakit. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen yang berarti individu tersebut tidak dapat terinfeksi oleh penyakit yang dimaksud. Diasumsikan rasio jumlah individu yang memperoleh vaksin adalah . Individu yang memperoleh vaksin akan kebal dari penyakit dan memasuki subpopulasi R. Jumlah individu yang memperoleh vaksin proporsional dengan jumlah kelahiran . Dengan demikian, jumlah S I R individu yang kebal dari penyakit karena telah memperoleh vaksin adalah . Jumlah individu yang tidak mendapat vaksin adalah . Selanjutnya individu yang tidak mendapatkan vaksin akan memasuki subpopulasi S dan berpotensi untuk terinfeksi penyakit. Alur perpindahan individu susceptible menjadi infected kemudian sembuh dan memasuki subpopulasi recovered disajikan pada Gambar 3.2. Nilai parameter dari , , dan adalah positif. Batas dari laju vaksinasi adalah . Laju perubahan individu pada subpopulasi S dapat diekspresikan sebagai: . Gambar 3. Dinamika populasi model SIR dengan pengaruh vaksinasi Laju perubahan individu pada subpopulasi I dapat dinyatakan sebagai: . Laju perubahan individu pada subpopulasi R adalah: . dengan , , dan .

3.2 Kesetimbangan Model