Teorema kekonvergenan monoton menjamin bahwa barisan fungsi pada
1
yang bernilai tak negatif dan konvergen akan memiliki limit fungsi di
1
jika barisan fungsi tersebut monoton naik.
Teorema 3.3.7 Teorema Kekonvergenan Monoton
Misalkan 6
:
adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur pada . Jika 0 ≤ 6
1
≤ 6
G
≤ ⋯ ≤ 6
:
dan lim
5→∞
6
5
= 6 , untuk setiap ∈ , maka
6 terukur dan, lim
5→∞
y
6
5
z
=
L
lim
5→∞
6
5
N
.
Bukti
Misalkan 6
:
adalah barisan fungsi terukur tak negatif pada , monoton naik, dan konvergen titik demi titik ke fungsi
6 pada . Teorema 2.9.12 menjamin
keterukuran dari
lim
5→∞
6
5
. Selanjutnya,
akan ditunjukkan
bahwa lim
5→∞
6
5
=
P
lim
5→∞
6
5
Q
. Karena
6
5
≤ 6
5+1
untuk setiap 5 ∈ ℕ, maka berdasarkan Teorema 3.3.4
diperoleh 6
5
≤ 6
5+1
untuk setiap 5 ∈ ℕ . Selanjutnya, karena barisan 6
:
konvergen ke fungsi 6 maka 6
5
≤ 6 untuk setiap 5 ∈ ℕ, berdasarkan Teorema
3.3.4 maka
6
5
≤ 6 untuk setiap 5 ∈ ℕ. Perhatikan bahwa, barisan
P
6
5
Q
monoton naik dan terbatas oleh 6, oleh karena itu akan terdapat ∈ [0, ∞
sedemikian sehingga lim
5→∞
y
6
5
z
= .
Sekarang akan diperlihatkan bahwa = lim
:→‚
6
: x
= 6
x
, yaitu dengan menunjukkan bahwa,
i ≤ 6
: x
dan ii
≥ 6
: x
. Karena
= sup{ 6
:
: 5 ∈ ℕ} dan 6
5
≤ 6 , ∀5 ∈ ℕ akibatnya diperoleh,
≤ 6
x
.
Dengan demikian ketaksamaan i terbukti. Untuk membuktikan ketaksamaan ii, misalkan
adalah sebarang fungsi sederhana sedemikian sehingga
0 ≤ ≤ 6 , dan misalkan A adalah sebarang konstanta dengan
0 A 1 dan definisikan
5
=
„
: 0 ≤ A ≤ 6
5
…
, di mana 5 = 1,2,3, … Karena
6
5
terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ akibatnya himpunan
5
terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ dan karena 6
:
monoton naik maka diperoleh,
1
⊂
2
⊂
3
⊂ ⋯ . Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa
= ⋃
: ‚
:01
. Karena
5
∈ untuk setiap 5 ∈ ℕ , maka diperoleh
⋃
5 ∞
5=1
⊂ . Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa ⊂ ⋃
: ‚
:01
. Ambil sebarang ∈ , jika 6
= 0 maka 6
5
= 0 untuk setiap 5 ∈ ℕ dan
= 0, dengan demikian ∈
:
untuk setiap 5 ∈ ℕ. Selanjutnya
jika 6
0, maka 6 A dan 6
5
A untuk setiap 5 ∈ ℕ yang cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa,
∈
:
untuk suatu 5 ∈ ℕ
dan akibatnya diperoleh ⊂ ⋃
: ‚
:01
. Jadi = ⋃
: ‚
:01
. Sekarang perhatikan bahwa,
6
5
≥ 6
5
5
≥ A
5
untuk 5 = 1,2,3, … Dengan demikian, diperoleh
lim
5→∞
y
6
5
z
≥ lim
5→∞
†
6
5
5
‡
≥ lim
5→∞
†
A
5
‡
atau dengan kata lain ≥ A
x
U
Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap A ∈ 0,1 , maka diperoleh
≥
x
Untuk setiap fungsi sederhana terukur dengan 0 ≤ ≤ 6 , sehingga dengan
mengambil supremum atas seluruh diperoleh,
≥ 6
x
.
Dengan demikian ketaksamaan i dan ii berlaku, sehingga dapat disimpulkan bahwa
lim
5→∞
y
6
5
Ĺ
z
= =
L
lim
5→∞
6
5
N
.
Teorema 3.3.8. fatou’s lemma
Jika 6
1
, 6
2
, … adalah fungsi terukur tak negatif, maka
L
lim
→∞
inf 6
N
≤ lim
→∞
inf 6 .
Bukti.
Definisikan, p = inf
„
6 , 6
+1
, 6
+2
, …
…
dengan = 1,2,3, … . Perhatikan bahwa
p ≥ 0 , p ≤ 6 , dan p adalah barisan monoton naik.
Berdasarkan Teorema 2.9.12,
p
,
adalah fungsi terukur untuk = 1,2,3, … dan
lim
→∞
p = lim
→∞
inf 6 . Sehingga dengan menggunakan Teorema 3.3.7. diperoleh
lim
→∞
inf 6 =
L
lim
→∞
p
N
= lim
,→‚
p
,
= lim
,→‚
inf p
,
≤ lim
,→‚
inf 6
,
karena p
,
≤ 6
,
. ∎
Selanjutnya akan disajikan Teorema mengenai kondisi yang diperlukan agar sebarang barisan di
1
yang konvergen mempunyai limit di
1
.
Teorema 3.3.9 Teorema Konvergensi Terdominasi
Misalkan 6
5
: → [−∞, ∞] adalah fungsi terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ dan asumsikan bahwa fungsi
p ≥ 0 di mana p ∈
1
. Jika lim
5→∞
6
5
_5q_ aq ∈ dan
b
6
5
b
≤ p _5q_ aq ∈ ,
maka lim
5→∞
6
5
∈
1
dan
L
lim
5→∞
6
5
N
= lim
5→∞
6
5
.
Bukti
Diberikan sebarang barisan fungsi terukur 6
5
pada di mana barisan
6
5
konvergen titik demi titik pada dan asumsikan juga bahwa terdapat fungsi
p ≥ 0 di mana p ∈
1
sedemikian sehingga
b
6
5
b
≤ p untuk setiap ∈ . Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku.
Misalkan 6
= lim
:→‚
6
:
untuk setiap
∈ ,
akibatnya berdasarkan Teorema 2.9.12
6 adalah sebuah fungsi terukur. Karena
b
6
5
b
≤ p untuk setiap
5 ∈ ℕ dan p ∈
1
maka berdasarkan Teorema 3.3.3 6
5
∈
1
untuk setiap
5 ∈ ℕ, demikian juga karena 6 = lim
:→‚
6
:
haruslah
|
6
|
≤ p, akibatnya 6 ∈
1
. Selanjutnya, perhatikan bahwa karena
b
6
5
b
≤ p dan
|
6
|
≤ p akibatnya fungsi
p + 6
:
, p + 6, p − 6
:
, dan p − 6 adalah fungsi terukur yang bernilai non negative.
Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi p + 6
:
dan p + 6
diperoleh,
L
lim
5→∞
inf
P
p + 6
5
QN
= p + 6 ≤ lim
5→∞
inf
P
p + 6
5
Q
.
Yaitu,
p + 6
≤ p + lim
5→∞
inf 6
5
.
Karena p ∈
1
maka p bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada
ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh p , diperoleh
6 ≤ lim
5→∞
inf 6
5
.
Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur tak negatif
p − 噮
:
dan p − 6, diperoleh −6
≤ lim
5→∞
inf −6
5
= lim
5→∞
inf
y
− 6
5
z
dengan kata lain, − 6
Ž
≤ − lim
:→‚
sup 6
: Ž
.
Akhirnya diperoleh, lim
5→∞
sup 6
5
≤ 6 ≤ lim
5→∞
inf 6
5
.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa lim
5→∞
inf 6
5
ada dan sama dengan
P
lim
5→∞
6
5
Q
.
Selanjutnya akan didefinisikan integral tak tentu dari suatu fungsi terukur yang terdefinisi pada suatu interval
[ , ].
Definisi 3.3.10
Misalkan fungsi f terintegralkan lebesgue pada [ , ] dan pada setiap interval
[
,
]
⊂ [ ,]. Didefinisikan fungsi F dengan
O = 6 q q + A
• •
Untuk suatu konstanta c. Selanjutnya F dikatakan integral tak tentu dari f.
Teorema 3.3.11
Jika fungsi F kontinu mutlak pada interval [ , ], maka berlaku
O = 6 q q + A
• •
dengan 6 = O′ dan konstanta c. Dengan kata lain O′ terintegralkan pada interval
[ , ] dan O′ q q = O
− O .
Teorema berikut ini menyatakan hubungan antara fungsi yang terintegralkan Riemann dengan fungsi yang terintegralkan Lebesgue, yaitu jika
sebuah fungsi terintegralkan Riemann maka fungsi tersebut juga terintegralkan Lebesgue.
Teorema 3.3.12
Jika 6 ∈ ℜ[ , ] maka 6 ∈
1
[ , ] dan
6
[ ,]
= ℜ 6 .
122
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan