maka Integral Lebesgue untuk Fungsi Umum yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya

Teorema kekonvergenan monoton menjamin bahwa barisan fungsi pada 1 yang bernilai tak negatif dan konvergen akan memiliki limit fungsi di 1 jika barisan fungsi tersebut monoton naik. Teorema 3.3.7 Teorema Kekonvergenan Monoton Misalkan 6 : adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur pada . Jika 0 ≤ 6 1 ≤ 6 G ≤ ⋯ ≤ 6 : dan lim 5→∞ 6 5 = 6 , untuk setiap ∈ , maka 6 terukur dan, lim 5→∞ y 6 5 z = L lim 5→∞ 6 5 N . Bukti Misalkan 6 : adalah barisan fungsi terukur tak negatif pada , monoton naik, dan konvergen titik demi titik ke fungsi 6 pada . Teorema 2.9.12 menjamin keterukuran dari lim 5→∞ 6 5 . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa lim 5→∞ 6 5 = P lim 5→∞ 6 5 Q . Karena 6 5 ≤ 6 5+1 untuk setiap 5 ∈ ℕ, maka berdasarkan Teorema 3.3.4 diperoleh 6 5 ≤ 6 5+1 untuk setiap 5 ∈ ℕ . Selanjutnya, karena barisan 6 : konvergen ke fungsi 6 maka 6 5 ≤ 6 untuk setiap 5 ∈ ℕ, berdasarkan Teorema

3.3.4 maka

6 5 ≤ 6 untuk setiap 5 ∈ ℕ. Perhatikan bahwa, barisan P 6 5 Q monoton naik dan terbatas oleh 6, oleh karena itu akan terdapat ∈ [0, ∞ sedemikian sehingga lim 5→∞ y 6 5 z = . Sekarang akan diperlihatkan bahwa = lim :→‚ 6 : x = 6 x , yaitu dengan menunjukkan bahwa, i ≤ 6 : x dan ii ≥ 6 : x . Karena = sup{ 6 : : 5 ∈ ℕ} dan 6 5 ≤ 6 , ∀5 ∈ ℕ akibatnya diperoleh, ≤ 6 x . Dengan demikian ketaksamaan i terbukti. Untuk membuktikan ketaksamaan ii, misalkan adalah sebarang fungsi sederhana sedemikian sehingga 0 ≤ ≤ 6 , dan misalkan A adalah sebarang konstanta dengan 0 A 1 dan definisikan 5 = „ : 0 ≤ A ≤ 6 5 … , di mana 5 = 1,2,3, … Karena 6 5 terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ akibatnya himpunan 5 terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ dan karena 6 : monoton naik maka diperoleh, 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ ⋯ . Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa = ⋃ : ‚ :01 . Karena 5 ∈ untuk setiap 5 ∈ ℕ , maka diperoleh ⋃ 5 ∞ 5=1 ⊂ . Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa ⊂ ⋃ : ‚ :01 . Ambil sebarang ∈ , jika 6 = 0 maka 6 5 = 0 untuk setiap 5 ∈ ℕ dan = 0, dengan demikian ∈ : untuk setiap 5 ∈ ℕ. Selanjutnya jika 6 0, maka 6 A dan 6 5 A untuk setiap 5 ∈ ℕ yang cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa, ∈ : untuk suatu 5 ∈ ℕ dan akibatnya diperoleh ⊂ ⋃ : ‚ :01 . Jadi = ⋃ : ‚ :01 . Sekarang perhatikan bahwa, 6 5 ≥ 6 5 5 ≥ A 5 untuk 5 = 1,2,3, … Dengan demikian, diperoleh lim 5→∞ y 6 5 z ≥ lim 5→∞ † 6 5 5 ‡ ≥ lim 5→∞ † A 5 ‡ atau dengan kata lain ≥ A x U Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap A ∈ 0,1 , maka diperoleh ≥ x Untuk setiap fungsi sederhana terukur dengan 0 ≤ ≤ 6 , sehingga dengan mengambil supremum atas seluruh diperoleh, ≥ 6 x . Dengan demikian ketaksamaan i dan ii berlaku, sehingga dapat disimpulkan bahwa lim 5→∞ y 6 5 Ĺ z = = L lim 5→∞ 6 5 N . Teorema 3.3.8. fatou’s lemma Jika 6 1 , 6 2 , … adalah fungsi terukur tak negatif, maka L lim →∞ inf 6 N ≤ lim →∞ inf 6 . Bukti. Definisikan, p = inf „ 6 , 6 +1 , 6 +2 , … … dengan = 1,2,3, … . Perhatikan bahwa p ≥ 0 , p ≤ 6 , dan p adalah barisan monoton naik. Berdasarkan Teorema 2.9.12, p , adalah fungsi terukur untuk = 1,2,3, … dan lim →∞ p = lim →∞ inf 6 . Sehingga dengan menggunakan Teorema 3.3.7. diperoleh lim →∞ inf 6 = L lim →∞ p N = lim ,→‚ p , = lim ,→‚ inf p , ≤ lim ,→‚ inf 6 , karena p , ≤ 6 , . ∎ Selanjutnya akan disajikan Teorema mengenai kondisi yang diperlukan agar sebarang barisan di 1 yang konvergen mempunyai limit di 1 . Teorema 3.3.9 Teorema Konvergensi Terdominasi Misalkan 6 5 : → [−∞, ∞] adalah fungsi terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ dan asumsikan bahwa fungsi p ≥ 0 di mana p ∈ 1 . Jika lim 5→∞ 6 5 _5q_ aq ∈ dan b 6 5 b ≤ p _5q_ aq ∈ , maka lim 5→∞ 6 5 ∈ 1 dan L lim 5→∞ 6 5 N = lim 5→∞ 6 5 . Bukti Diberikan sebarang barisan fungsi terukur 6 5 pada di mana barisan 6 5 konvergen titik demi titik pada dan asumsikan juga bahwa terdapat fungsi p ≥ 0 di mana p ∈ 1 sedemikian sehingga b 6 5 b ≤ p untuk setiap ∈ . Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku. Misalkan 6 = lim :→‚ 6 : untuk setiap ∈ , akibatnya berdasarkan Teorema 2.9.12 6 adalah sebuah fungsi terukur. Karena b 6 5 b ≤ p untuk setiap 5 ∈ ℕ dan p ∈ 1 maka berdasarkan Teorema 3.3.3 6 5 ∈ 1 untuk setiap 5 ∈ ℕ, demikian juga karena 6 = lim :→‚ 6 : haruslah | 6 | ≤ p, akibatnya 6 ∈ 1 . Selanjutnya, perhatikan bahwa karena b 6 5 b ≤ p dan | 6 | ≤ p akibatnya fungsi p + 6 : , p + 6, p − 6 : , dan p − 6 adalah fungsi terukur yang bernilai non negative. Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi p + 6 : dan p + 6 diperoleh, L lim 5→∞ inf P p + 6 5 QN = p + 6 ≤ lim 5→∞ inf P p + 6 5 Q . Yaitu, p + 6 ≤ p + lim 5→∞ inf 6 5 . Karena p ∈ 1 maka p bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh p , diperoleh 6 ≤ lim 5→∞ inf 6 5 . Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur tak negatif p − 噮 : dan p − 6, diperoleh −6 ≤ lim 5→∞ inf −6 5 = lim 5→∞ inf y − 6 5 z dengan kata lain, − 6 Ž ≤ − lim :→‚ sup 6 : Ž . Akhirnya diperoleh, lim 5→∞ sup 6 5 ≤ 6 ≤ lim 5→∞ inf 6 5 . Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa lim 5→∞ inf 6 5 ada dan sama dengan P lim 5→∞ 6 5 Q . Selanjutnya akan didefinisikan integral tak tentu dari suatu fungsi terukur yang terdefinisi pada suatu interval [ , ]. Definisi 3.3.10 Misalkan fungsi f terintegralkan lebesgue pada [ , ] dan pada setiap interval [ , ] ⊂ [ ,]. Didefinisikan fungsi F dengan O = 6 q q + A • • Untuk suatu konstanta c. Selanjutnya F dikatakan integral tak tentu dari f. Teorema 3.3.11 Jika fungsi F kontinu mutlak pada interval [ , ], maka berlaku O = 6 q q + A • • dengan 6 = O′ dan konstanta c. Dengan kata lain O′ terintegralkan pada interval [ , ] dan O′ q q = O − O . Teorema berikut ini menyatakan hubungan antara fungsi yang terintegralkan Riemann dengan fungsi yang terintegralkan Lebesgue, yaitu jika sebuah fungsi terintegralkan Riemann maka fungsi tersebut juga terintegralkan Lebesgue. Teorema 3.3.12 Jika 6 ∈ ℜ[ , ] maka 6 ∈ 1 [ , ] dan 6 [ ,] = ℜ 6 . 122 BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan