51
BAB III INTEGRAL LEBESGUE
Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu fungsi telah dibahas pada bab II.
Selanjutnya, pada bab ini akan dikaji teori dari integral Lebesgue yang meliputi definisi dan sifat-sifatnya. Pada subbab 3.1 akan dibahas terlebih dahulu integral
Lebesgue dari fungsi-fungsi khusus, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi sederhana, kemudian pada subbab 3.2 akan dibahas teori integral Lebesgue dari
fungsi tak negatif. Terdapat fakta bahwa sebarang fungsi terukur tak negatif dapat didekati
oleh suatu fungsi sederhana. Hal ini mengakibatkan Integral Lebesgue untuk fungsi terukur yang lebih umum juga dapat dikonstruksi melalui pendekatan
integral Lebesgue untuk fungsi sederhana.
3.1 Integral Lebesgue dari Fungsi Khusus yang Terukur dan Sifat-sifatnya
Pada subbab ini akan dibahas integral Lebesgue untuk fungsi-fungsi khusus yang terukur, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi sederhana. Teori ini
selanjutnya akan digunakan untuk mendefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur yang lebih umum.
Definissi 3.1.1 Fungsi Karakteristik
Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur dan ⊆ . Fungsi karakteristik
untuk himpunan A yaitu : → {0,1} yang didefinisikan dengan,
= 1 ∈
∉ Fungsi Dirichlet adalah salah satu contoh dari fungsi karakteristik untuk
bilangan rasional ℚ. Fungsi ini merupakan salah satu fungsi yang terintegralkan
Lebesgue sebagaimana pada pembahasan selanjutnya.
Teorema 3.1.2
Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur. Fungsi karakteristik dari
himpunan ⊆ , adalah terukur jika dan hanya jika adalah himpunan terukur.
Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik dari himpunan yang terukur didefinisikan sebagai ukuran Lebesgue dari irisan domain fungsi tersebut dengan
himpunan , sebagaimana dinyatakan dalam definisi berikut ini.
Definisi 3.1.3
Misalkan : → {0,1} adalah fungsi karakteristik yang terukur dan A adalah
subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik didefinisikan sebagai
= ∩
=
Definisi 3.1.4 Fungsi Sederhana
Misalkan adalah sebuah himpunan terukur, dengan
= 1,2,3, … , adalah subset-subset dari E yang saling lepas dengan
⋃
=1
= dan misalkan adalah bilangan real berbeda yang berhingga banyaknya. Sebuah fungsi
sederhana : → −∞, ∞ didefinisikan sebagai
≔ +
, -
.
,01
.
Jika nilai dibatasi menjadi 0 ≤
,
∞ maka fungsi sederhana yang telah didefinisikan sebelumnya disebut fungsi sederhana tak negatif. Berdasarkan
Definisi 3.1.4, setiap fungsi sederhana adalah sebuah kombinasi linear berhingga dari fungsi karakteristik. Perhatikan bahwa sebarang fungsi yang didefinisikan
pada himpunan terukur, misalkan , yang hanya mempunyai berhingga banyak nilai yang berbeda
1
,
2
, … ,
5
dapat selalu dituliskan sebagai fungsi sederhana 6
= ∑
8 -
9
: 801
di mana = { ∈ : 6
= } dan
⋃
5 =1
= .
Contoh 3.1.5
Misalkan diberikan interval tertutup dan terbatas [ , ] ⊂ ℝ . Untuk =
1,2,3, … , 5 , misalkan = [
−1
, sedemikian sehingga
⋃
5 =1
= [ , ] dan misalkan juga
A adalah suatu bilangan real tak negatif. Jika adalah fungsi
karakteristik untuk masing-masing interval maka hasil jumlah
= + A
B :
B01 C
D
adalah sebuah fungsi tangga yang juga merupakan fungsi sederhana karena masing-masing subinterval
adalah terukur. Selanjutnya ambil dua buah interval [0,1] dan 1,2], jika
= 2
ℚ∩[E,1]
+ 3
ℚ∩ 1,G]
Maka adalah sebuah fungsi sederhana sebab interval [0,1] dan 1,2] terukur dan
hanya memiliki berhingga buah nilai yang berbeda, namun bukan merupakan fungsi tangga.
Teorema 3.1.6
Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada himpunan terukur E, dalam bentuk
≔ ∑
, -
.
,01
. Fungsi sederhana s adalah terukur jika dan hanya jika masing-masing himpunan
dengan = 1,2,3, … , adalah
himpunan terukur. Teorema berikut ini menjelaskan bahwa untuk sebarang fungsi terukur,
dapat ditemukan suatu barisan fungsi sederhana yang konvergen ke fungsi terukur tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa sebarang fungsi terukur dapat didekati oleh
fungsi sederhana.
Teorema 3.1.7
Misalkan 6: → [0, ∞] adalah sebuah fungsi terukur. Terdapat barisan fungsi
sederhana
:
yang terukur pada sedemikian sehingga a
0 ≤
1
≤
G
≤ ⋯ ≤ 6. b
:
→ 6 ketika 5 → ∞, untuk setiap ∈ .
Bukti
Misalkan diberikan sebuah fungsi terukur 6: → [0, ∞], akan ditunjukkan bahwa
terdapat barisan dari fungsi-fungsi sederhana yang memenuhi kondisi di atas. Untuk
5 ∈ ℕ dan 1 ≤ ≤ 52
:
, partisikan [0, ∞] ke dalam subinterval-subinterval
yang tidak saling tumpang tindih
5,
oleh
5,
=
J
− 1 2
5
, 2
5
K
Kemudian definisikan juga
5,
= 6
−1
LM
−1 2
5
,
2
5
NN
dan O
5
= 6
−1
P[
5, ∞
Q
. Definisikan fungsi sederhana
5
pada dengan
5
=
+
− 1 2
5 52
5
=1
5,
+ 5
O
5
Sehingga
5
adalah fungsi sederhana yang terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ, karena
5,
dan O
5
masing-masing adalah himpunan terukur. Sekarang ambil sebarang 5, ∈ ℕ dengan 5 ≤ , perhatikan bahwa,
5
=
+
− 1 2
5 52
5
=1
5,
+ 5
O
5
≤
+
− 1 2
2 =1
,
+
O
=
dengan demikian
:
monoton naik. Selanjutnya akan dibuktikan bagian b. Jika 6
∞ dengan kata lain f terbatas, yaitu misalkan 6 ≤ R di mana R
adalah konstanta real positif. Karena 6
≤ R, terdapat bilangan asli terkecil 5 di mana
R 5
E
sedemikian sehingga untuk setiap ∈ berlaku
∈ S
:
T
,8 :
T
G
UT
801
Maka untuk setiap ∈ dan 5 ∈ ℕ di mana 5 ≥ 5
E
, terdapat ∈ ℕ sedemikian
sehingga − 1
2
5
≤ 6 2
5
⟺ 0 ≤ 6 − − 1
2
5
1 2
5
. Misalkan diberikan sebarang
X 0 , terdapat 5
1
∈ ℕ sedemikian sehingga
|
6 −
5
|
1 2
5
X untuk setiap 5 ≥ 5
1
≥ 5
E
dan untuk setiap ∈ . Jika
6 = ∞, maka definisikan
5
= 5, sehingga lim
5→∞
P
5
Q
= ∞.
Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi sederhana yang terukur, kemudian akan dibahas juga sifat-sifatnya
.
Definisi 3.1.8
Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang terukur pada E dengan bentuk = +
8 -
9
: 801
,
Dimana
1
,
2
, … ,
5
adalah nilai yang berbeda dari s dan
⋃
5 =1
= , dan misalkan A adalah subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi
sederhana s atas himpunan A didefinisikan sebagai =
+
∩ .
5 =1
Penetapan 0. ∞ = 0 digunakan di sini, sebab mungkin terjadi = 0 untuk
suatu i sedangkan
8
∩ = ∞.
Teorema 3.1.9
Misalkan u dan v adalah dua buah fungsi sederhana yang terukur dan terdefinisi pada E. Jika
⊆ dimana A terukur, maka a
_ + ` =
_ +
` . b
A_ = A
_ . c
_ ≤ ` . a. _
-
≤ `
-
. d
_ = ` . a. _
-
= `
-
. e
_ ≥ 0 . a. 5 _
-
= 0, _ = 0 . a.
. f
b
_
b
≤
|
_
|
.
Teorema 3.1.10
Misalkan u adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada E dan , c ⊆ dengan A dan B adalah himpunan terukur.
a Jika
∩ c = ∅ maka _
∪c
= _
+ _
c
. b
Jika ⊆ c dan _ ≥ 0 maka
_ ≤
_
c
.
3.2 Integral Lebesgue untuk Fungsi Tak Negatif yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya
