Misalkan u dan v adalah dua buah fungsi sederhana yang terukur dan terdefinisi pada E. Jika
⊆ dimana A terukur, maka a
_ + ` =
_ +
` . b
A_ = A
_ . c
_ ≤ ` . a. _
-
≤ `
-
. d
_ = ` . a. _
-
= `
-
. e
_ ≥ 0 . a. 5 _
-
= 0, _ = 0 . a.
. f
b
_
b
≤
|
_
|
.
Teorema 3.1.10
Misalkan u adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada E dan , c ⊆ dengan A dan B adalah himpunan terukur.
a Jika
∩ c = ∅ maka _
∪c
= _
+ _
c
. b
Jika ⊆ c dan _ ≥ 0 maka
_ ≤
_
c
.
3.2 Integral Lebesgue untuk Fungsi Tak Negatif yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya
Sebelum pembahasan mengenai integral Lebesgue untuk fungsi tak negatif yang terukur, akan didefinisikan terlebih dahulu bagian positif dan bagian negatif
dari sebuah fungsi. Bagian positif dan bagian negatif ini diperlukan dalam mendefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi umum yang terukur.
Definisi 3.2.1
Misalkan adalah sebuah himpunan terukur dan misalkan diberikan sebarang fungsi
6: → [0, ∞]. Bagian positif 6
+
dari fungsi 6 didefinisikan sebagai,
6
+
= 6 , 6
≥ 0 0, 6
Dan bagian negatif 6
−
dari fungsi 6 didefinisikan sebagai,
6
−
= −6 , 6
0, 6 ≥ 0.
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bagian positif dan bagian negatif dari sebuah fungsi terukur adalah terukur, Sebagaimana teorema berikut ini.
Teorema 3.2.2
Misalkan adalah sebuah himpunan terukur. Jika 6: → [0, ∞] adalah sebuah
fungsi terukur, maka 6
+
dan 6
−
adalah fungsi teurukur.
Bukti
Misalkan 6 adalah sebarang fungsi terukur yang didefinisikan pada , akan
ditunjukkan bahwa 6
+
dan 6
−
adalah fungsi terukur. Berdasarkan definisi dari 6
+
dan 6
−
, bagian positif dan bagian negatif dari fungsi 6 dapat dituliskan secara
berturut-turut sebagai, 6
+
= max{6 , 0} Dan
6
−
= − min{6 , 0}.
Karena fungsi 6 terukur, maka berdasarkan Teorema 2.9.12 fungsi 6
+
dan 6
−
adalah terukur. Dapat dilihat bahwa baik
6
+
maupun 6
−
bernilai tak negatif dan dapat dituliskan,
6 = 6
i
− 6
j
|
6
|
= 6
+
− 6
−
. Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur tak
negatif dan beberapa sifat dari integral tersebut.
Definisi 3.2.3
Misalkan E adalah himpunan terukur dan 6 ∶ → [0, ∞] adalah sebuah fungsi
terukur yang bernilai tak negatif. Integral Lebesgue untuk f didefinisikan oleh 6
≔ sup
o
: 6_5p qar_ _r a arℎ 5 5 0 ≤ ≤ 6
t
.
Ketika f diintegralkan atas sebuah himpunan terukur ⊆ , diperoleh
6 ≔ sup
o
: 6_5p qar_ _r a arℎ 5 5 0 ≤ ≤ 6
t
.
Berikut ini akan dibahas mengenai sifat kemonotonan dan kelinearan dari integral Lebesgue untuk fungsi bernilai tak negatif yang terukur Lebesgue.
Teorema 3.2.4
Misalkan f dan g adalah fungsi terukur non negative dan ⊆ .
a Jika
6 ≤ p . a pada A maka 6
≤ p .
b Untuk
0, 6 + p dan 6 adalah fungsi terukur non negative maka 6 + p
= 6 + p
Dan 6
= 6 .
Bukti.
Pertama akan dibuktikan bagian a. Misalkan diberikan dua buah fungsi terukur sederhana
6, p: → [0, ∞] dengan6 ≤ p . a.. Misalkan _ dan ` adalah sebarang fungsi terukur sederhana pada yang memenuhi sifat
0 ≤ _ ≤ 6 dn 0 ≤ ` ≤ p secara berturut-turut. Karena _ ≤ ` akibatnya diperoleh _ ≤ p pada
, sehingga _
≤ sup
o
` : 0 ≤ ` ≤ p
t
= p .
Jika diambil supremum atas seluruh fungsi sederhana _ maka akan diperoleh,
6 = sup
o
_ : 0 ≤ _ ≤ 6
t
≤ p .
Untuk membuktikan bagian b, pertama akan diperlihatkan untuk 0 berlaku
6 =
6 . . Misaklan _ adalah sebarang fungsi sederhana pada dengan
0 ≤ _ ≤ 6 dan misalkan ` juga merupakan fungsi sederhana sedemikian sehingga
0 ≤ ` ≤ 6 . Dengan mengambil supremum atas seluruh _ dan ` diperoleh,
sup
o
` : 0 ≤ ` ≤ A6
t
= sup
o
_ : 0 ≤ _ ≤ 6
t
= sup o _
-
: 0 ≤ _ ≤ 6t.
Dengan demikian, 6
= 6 .
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa, 6 + p
= 6 + p ,
Yaitu menunjukkan kedua peryataan berikut berlaku: i
6 + p ≥
6 +
p ii
6 + p ≤
6 +
p . Pertama akan diperlihatkan pernyataan i berlaku. Misalkan
_ dan ` adalah dua buah fungsi sederhana terukur dengan
0 ≤ _ ≤ 6 dan 0 ≤ ` ≤ p pada . Karena 0 ≤ _ ≤ 6 dan 0 ≤ ` ≤ p akibatnya diperoleh _ + ` ≤ 6 + p , dengan
menggunakan definisi integral Lebesgue untuk fungsi 6 + p atas
dan berdasarkan sifat kelinearan integral untuk fungsi sederhana, diperoleh
6 + p = sup
o
_ + ` : 0 ≤ _ + ` ≤ 6 + p
t
≥ _ + `
-
= _
-
+ `
-
.
Dengan mengambil supremum atas seluruh _ dan ` diperoleh,
6 + p ≥ 6
+ p .
Untuk ketaksamaan sebaliknya, misalkan u adalah sebuah fungsi terukur
sederhana pada , misalkan _ = min{u, 6} dan ` = u − _ , di mana _ dan `
adalah fungsi terukur sederhana dan lebih lanjut diperoleh 0 ≤ _ ≤ 6 dan
0 ≤ ` ≤ p pada . Dengan demikian, u
= _ +
〱 ≤ 6
+ p .
Dengan mengambil supremum atas seluruh u diperoleh
6 + p ≤ 6
+ p .
Karena pernyataan i dan ii berlaku, maka dapat disimpulkan bahwa 6 + p
= 6 + p .
3.3 Integral Lebesgue untuk Fungsi Umum yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya
