Ruang – Ruang vektor
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
32
V.2 Ruang vektor umum
Selama ini kita telah membahas vektor – vektor di R
n
Euclides dengan operasi – operasi standarnya. Sekarang akan membuat konsep tentang ruang vektor
dengan konsep yang lebih luas. Ada 10 syarat agar V disebut sebagai ruang vektor , yaitu :
1. Jika vektor – vektor u , v ∈ V , maka vektor u + v ∈ V
2. u + v = v + u
3. u + v + w = u + v + w
4. Ada ∈ V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u ∈ V , 0 : vektor
nol 5. Untuk
setiap u
∈ V terdapat – u ∈ V sehingga u + – u = 0 6. Untuk sembarang skalar k , jika u
∈ V maka k u ∈ V 7. k
u + v = k u + k v , k sembarang skalar
8. k + l u = k u + l u , k dan l skalar 9. k
l u = kl u 10. 1 u = u
Dalam hal ini tentunya yang paling menentukan apakah V disebut ruang vektor atau tidak adalah operasi – operasi pada V atau bentuk dari V itu sendiri . Jika V
merupakan ruang vektor dengan operasi – operasi vektor operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar yang bukan merupakan operasi standar ,
tentunya V harus memenuhi 10 syarat diatas , jika satu saja syarat tidak dipenuhi maka tentunya V bukan merupakan ruang vektor.
Contoh ruang vektor : 1. V adalah himpunan vektor euclides dengan operasi standar operasi
penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar , notasinya R
n
. 2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar
Bentuk umum polinom orde – n p
n
x = a + a
1
x +… + a
n
x
n
q
n
x = b + b
1
x +… + b
n
x
n
Operasi standar pada polinom orde – n p
n
x + q
n
x = a + b
+ a
1
+b
1
x +… + a
n
+b
n
x
n
k p
n
= ka + ka
1
x +… + ka
n
x
n
notasi untuk ruang vektor ini adalah P
n
3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar , ruang vektor
ini sering di notasikan dengan M
mn
Contoh bukan ruang vektor 1. V adalah himpunan vektor yang berbentuk 0 ,y di R
2
dengan operasi vektor sebagai berikut : untuk u = 0,u
2
, v = 0,u
2
, maka k u = 0,–ku
2
dan u + v = 0, u
2
+v
2
2. V himpunan matriks yang berbentuk
b a
1 1
dengan operasi standar , a,b ∈ R
Ruang – Ruang vektor
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
33
Contoh 5.2.1 Tunjukkan bahwa V yaitu himpunan matriks yang berbentuk
b a
1 1
dengan operasi standar bukan merupakan ruang vektor , a,b
∈ R
Jawab Untuk membuktikan V bukan merupakan ruang vektor adalah cukup dengan
menunjukkan bahwa salah satu syarat ruang vektor tidak dipenuhi . Akan ditunjukkan apakah memenuhi syarat yang pertama
Misalkan A =
q p
1 1
dan B =
s r
1 1
, p,q,r,s ∈ R maka A,B ∈ V
A + B =
+ +
s q
r p
2 2
∉ V → syarat 1 tidak dipenuhi Jadi V bukan merupakan ruang vektor
V.3 Sub–ruang vektor
Kategori