populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif mengalami kenaikan secara pesat
dari Y = 94 sampai Y = 325 dalam selang waktu t = 0 sampai t = 32, kemudian tebaran
data perlahan menaik dari Y = 327 sampai Y = 329 dalam selang waktu t = 34 sampai
t = 100. Tebaran data jumlah kasus AIDS menaik secara pesat dari Z = 2 sampai Z = 146
dalam selang waktu t = 0 sampai t = 22. Kemudian data mengalami kenaikan secara
perlahan dari Z = 148 sampai Z = 151 dalam selang waktu t = 24 sampai t = 100.
4.2 Pendugaan Parameter
Parameter model dinamik ini akan diduga dari segugus data yang sebelumnya
telah dibangkitkan. Pada kasus ini jumlah data yang digunakan adalah sebanyak 51 buah data
untuk masing-masing kelompok.
Parameter yang terdapat pada masing- masing kelompok dapat dirinci sebagai
berikut: 1.
Kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan N mengandung
parameter , α
,
μ
dan .
δ
2. Kelompok populasi yang tidak tahu
bahwa mereka terinfeksi X mengandung parameter ,
α ,
k ,
μ
, β dan .
v 3.
Kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi Y mengandung
parameter ,
k ,
μ
dan . β
4. Kelompok populasi jumlah kasus AIDS
Z mengandung parameter ,
β
, u dan .
ρ
Langkah-langkah untuk menduga parameter di atas dapat dilihat pada Lampiran
2. Pendugaan parameter dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, yang
diimplementasikan dengan bantuan software Mathematica. Fungsi utama yang digunakan
yaitu
NDSolve yang digunakan untuk menentukan solusi numerik dari sistem
persamaan diferiensial pada model epidemik HIV yaitu
, x
f x
i i
=
p
dan FindMinimum untuk mencari nilai jumlah kuadrat galat yang
paling minimum atau paling kecil. Adapun hasil yang diperoleh dari rangkaian proses di
atas adalah:
ˆ 0.0100546
ˆ 0.452706
ˆ 0.0152954
ˆ 0.0980932
ˆ 19.4691
k v
α μ
β =
= =
= =
ˆ 0.294526
ˆ 4.11255
ˆ=27.6102 u
ρ δ
= =
Untuk lebih memperjelas perbedaan antara nilai parameter awal dan parameter
yang telah berhasil diduga, maka diberikan tabel perbandingan parameter awal dan
parameter akhir di bawah ini:
Tabel 1 Perbandingan nilai parameter awal dan parameter akhir.
Parameter Nilai
Awal Nilai
Akhir
α
0.01 0.0101
k 0.4554
0.4527
μ
0.0053 0.0153
β 0.1087
0.0981 v
20 19.4691
u 0.3027
0.2945
ρ
1 4.1126
δ
27 27.6102
Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai parameter awal dan parameter hasil
dugaan memiliki nilai yang hampir sama kecuali untuk parameter
ρ. Selanjutnya, dari hasil pendugaan parameter di atas maka
persamaan 4 dapat dibuat menjadi:
0.0101 0.0153
27.6102 dN
NX N
dt = −
− +
0.0101 0.4527 0.0153 0.0981
19.4691 dX
NX X
dt =
− +
+ +
5
0.4527 0.0153 0.0981
dY X
Y dt
= −
+ 0.0981
0.0981 0.2945
4.1126 4.1126 dZ
X Y
Z dt
= +
− +
+
Berikut adalah gambar grafik model dinamik epidemk HIV dengan parameter yang
sudah diduga. .
Gambar 5 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok populasi yang
aktif secara seksual atau rentan Nt.
Pada Gambar 5 terlihat bahwa jumlah populasi yang aktif secara seksual atau rentan
menurun dengan cepat dari N = 50 sampai N = 17 dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2,
kemudian menaik dari N = 24 sampai N = 29 dalam selang t = 4 sampai t = 6 dan kemudian
konstan di antara N = 32 dalam selang t = 8 sampai t = 100.
Gambar 6 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok populasi yang
tidak tahu bahwa mereka terinfeksi Xt.
Pada Gambar 6 terlihat bahwa jumlah populasi yang tidak tahu bahwa
mereka terinfeksi HIV menurun dengan cepat dari X = 230 sampai X = 81 dalam selang
waktu t = 0 sampai t = 10. Kemudian jumlah populasi Xt konstan disekitar X = 82 dari
selang t = 12 sampai t = 100.
Gambar 7 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok poulasi yang
tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif Yt.
Pada Gambar 7 terlihat bahwa jumlah populasi yang tahu bahwa mereka
terinfeksi HIV positif menaik secara linear logaritmik dari Y = 94 sampai Y = 327 dalam
selang t = 0 sampai t = 42. Kemudian konstan diantara N = 328 dari dalam selang waktu
t = 44 sampai t = 100.
Gambar 8 Grafik dengan parameter dugaan untuk jumlah kasus AIDS Zt.
Pada Gambar 8 terlihat bahwa jumlah kasus AIDS menaik secara linear logaritmik
dari Z = 3 sampai Z = 149 dalam selang t = 0 sampai t = 34. Kemudian konstan di sekitar Z
= 150 dalam selang t = 36 sampai t = 100.
20 40
60 80
100 20
25 30
35 40
45 50
Waktu, t P
op u
las i
N
20 40
60 80
100 80
100 120
140 160
180 200
220
Waktu, t P
op u
las i
X
20 40
60 80
100 100
150 200
250 300
Waktu, t P
op u
las i
Y
20 40
60 80
100 20
40 60
80 100
120 140
Waktu, t P
opu las
i Z
Gambar 9 Gabungan grafik dengan parameter dugaan Nt, Xt, Yt dan Zt.
Pada Gambar 9 terlihat bahwa jumlah populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi
HIV positif Yt memiliki jumlah yang paling besar, diikuti oleh jumlah kasus AIDS Zt,
kemudian diikuti jumlah populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif Xt
dan yang paling kecil adalah jumlah populasi yang aktif secara seksual atau rentan Nt.
Untuk lebih memperjelas hasil yang diperoleh, berikut perbandingan antara data
bangkitan dengan model pada persamaan 5 yang telah menggunakan parameter dugaan.
Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Gambar 10-14
Gambar 10 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi
Nt. Gambar 11 Tebaran data dan grafik dengan
parameter dugaan untuk populasi Xt.
Gambar 12 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan populasi Yt.
Gambar 13 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan populasi Zt.
Y t
Z t X t
N t
20 40
60 80
100 100
200 300
400
Waktu, t P
op u
las i
20 40
60 80
100 20
25 30
35 40
45 50
Waktu, t P
op u
las i
N
20 40
60 80
100 80
100 120
140 160
180 200
220
Waktu, t P
opu las
i X
20 40
60 80
100 100
150 200
250 300
Waktu, t P
op u
las i
Y
20 40
60 80
100 20
40 60
80 100
120 140
Waktu, t P
opu las
i Z
Gambar 14 Gabungan antara gafik tebaran data dan grafik dengan parameter
dugaan untuk Nt, Xt, Yt, dan Zt.
Terlihat dari Gambar 10, 11, 12 dan 13, pada kolompok populasi yang aktif
secara seksual atau rentan N, kelompok populasi yang tidak tahu bahwa mereka
terinfeksi X, kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi Y, dan kelompok
jumlah kasus AIDS Z, gafik masing-masing kelompok berada di sekitar tebaran data. Juga
terdapat sebagian data yang tepat dilalui oleh grafik dengan parameter dugaan tersebut.
4.3
Analisis Akurasi Pendugaan
Untuk melihat seberapa besar galat yang diperoleh, dapat ditentukan dari persentase
rataan galat mutlak MAPE, implementasi secara lengkap dapat dilihat di Lampiran 5.
Berikut akan ditampilkan tabel analisis persentase rataan galat mutlak untuk setiap
state variable. Tabel 2 Nilai MAPE untuk setiap state
variable. State
Variable
MAPE Populasi yang aktif secara
seksual atau rentan N 1.6150
Populasi yang tidak tahu mereka terinfeksi HIV X
0.5653
Jumlah kasus AIDS Z 0.3553
Populasi yang tahu mereka terinfeksi HIV Y
0.2002 Nilai MAPE untuk setiap state variable
secara berturut-turut dapat dilihat pada Tabel 2. Nilai MAPE yang diperoleh berkisar
0.20-1.62. Nilai MAPE ini menyatakan seberapa besar persentase penyimpangan data
pengamatan terhadap model. Kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan
N memiliki persentase MAPE yang paling besar yaitu 1.62. Ini berarti penyimpangan
data pengamtan terhadap model untuk kelompok jumlah kasus AIDS memiliki
persentase yang paling besar. Populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif Y
memiliki MAPE paling kecil yaitu 0.20 yang berarti untuk data populasi yang tahu
bahwa mereka terinfeksi HIV positif memiliki rataan penyimpangan mutlak sebesar 0.20
dari model dugaan. Semakin kecil nilai MAPE maka semakin kecil tingkat
penyimpangan data terhadap model.
Cara lain untuk melihat hasil galat untuk setiap state variable adalah menggunakan
diagram kotak box-plot. Pada Gambar 18 diberikan diagram kotak untuk keempat state
variable untuk model epidemik HIV.
Selisih 3
Q dan 1
Q menggambarkan
tingkat keragaman suatu data, semakin besar nilainya maka data semakin beragam. Data
yang digunakan dalam diagram kotak ini adalah persentase galat mutlak dari masing-
masing state variable.
Gambar 15 Diagram kotak untuk setiap state variable N, X, Y, dan Z.
Untuk lebih memperjelas box-plot di atas, berikut akan diberikan tabel tentang Q
1
, Q
2,
Q
3
, nilai maksimum, nilai minimum dan rataan dari galat untuk setiap state variable.
Y t
Z t X t
N t
20 40
60 80
100 100
200 300
400
Waktu, t P
op u
las i
ææ
N X
Z Y
1 2
3 4
5 6
7
Tabel 3 Q
1
, Q
2,
Q
3
, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk setiap state variable. State
variable Q
1
Q
2
Q
3
Max Min
Rataan N
0.5837 1.6150
2.1889 3.8718
0.0586 1.4875
X 0.3268
0.5653 0.8195
1.2107 0.0181
0.5945 Y
0.1187 0.2002
0.2407 0.3093
0.0122 0.1835
Z 0.2401
0.3553 0.4981
0.4981 0.0010
0.4840 Dari diagram kotak dan tabel di atas dapat
dilihat bahwa kesalahan relatif hasil parameter dugaan untuk metode kuadrat terkecil secara
umum mempunyai tingkat keragaman yang relatif kecil yaitu berkisar antara 0.58-2.19
untuk populasi yang aktif secara seksual atau rentan N, 0.33-0.82 untuk populasi yang
tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV X, 0.12-0.24 untuk populasi yang tahu bahwa
mereka terinfeksi HIV Y, dan 0.24-0.50 untuk jumlah kasus AIDS Z. Dari diagram
kotak juga teridentifikasi adanya sebuah data pencilan outlier untuk state variable Z.
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
