hanya sekali atau bisa juga lebih dari sekali tetapi dengan jangka waktu tertentu yang telah ditetapkan musiman.
Pada penelitian ini, hanya akan dibahas strategi vaksinasi kontinu CVS pada model epidemik SVIR.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah : 1.
Mengkaji strategi vaksinasi kontinu pada model epidemik SVIR. 2.
Mengkaji efek dari strategi vaksinasi kontinu dengan menganalisis secara matematis.
3. Simulasi efek vaksinasi kontinu terhadap jenis penyakit campak yang sesuai
dengan model SVIR.
1.3 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini akan dilakukan dengan pendekatan matematis dan studi literatur. Langkah-langkah yang akan dilaksanakan dalam penelitian ini:
1. Menganalisis
strategi vaksinasi
kontinu dengan
menentukan kesetimbangannya, memeriksa kestabilannya dan menentukan bilangan
reproduksi dasarnya. 2.
Menganalisis secara matematis efek dari strategi vaksinasi kontinu berdasarkan bilangan reproduksi dasarnya.
3. Mengimplementasikan dengan cara melakukan simulasi terhadap penyakit
campak yang sesuai dengan model SVIR dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica 7.0.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial SPD Definisi 1 SPD Linear
Suatu SPD yang dinyatakan sebagai , 0
dx x
Ax b x x
dt
2.1
dengan A adalah matriks koofisien konstan berukuran
n n
dan b vektor konstan.
Sistem tersebut dinamakan sistem persamaan diferensial linear orde 1 dengan kondisi awal
x x
. Jika
b
sistem dikatakan homogen dan dikatakan takhomogen jika
b
. Tu 1994
Definisi 2 SPD Tak Linear
Suatu SPD yang dinyatakan sebagai ,
x f t x
2.2
dengan x = dan ft,x =
dimana f merupakan fungsi tak linear pada
disebut sistem persamaan diferensial tak linear. Braun 1983
Definisi 3 SPD Mandiri
Misalkan diberikan suatu SPD orde 1 sebagai berikut : ,
n
x 2.3
dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai real dari
x
dan mempunyai turunan parsial kontinu. Persamaan 2.3 disebut persamaan diferensial mandiri
autonomous karena tidak memuat
t
secara eksplisit di dalamnya. Tu 1994
2.2 Titik Tetap Definisi 4 Titik Tetap
Misalkan diberikan suatu SPD sebagai berikut
2.4 Titik
x
disebut titik tetap atau titik kritis ataupun disebut juga titik kesetimbangan jika
f x .
Tu 1994
Definisi 5 Titik Tetap Stabil
Misalkan
x
adalah titik tetap SPD mandiri dan xt adalah solusi dengan nilai awal
dengan
x
. Titik
x
dikatakan titik tetap stabil, jika untuk setiap
, terdapat , sedemikian sehingga
x x
r
, maka solusi xt memenuhi
x
untuk setiap t0. Vershulst 1990
Definisi 6 Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal
Titik x dikatakan titik tetap stabil asimtotik jika titik x stabil dan terdapat sedemikian sehingga jika
x x
maka
lim
t
x t x
, dengan
0. x
x
Szidarovzky Bahill 1998
Definisi 7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks
n n
, suatu vektor tak nol
x
di dalam
n
disebut vektor eigen dari A , jika suatu skalar yang disebut nilai eigen dari A berlaku :
Ax x
2.5 Vektor
x
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang
berukuran
n n
, maka persamaan 2.5 dapat dituliskan sebagai berikut : A
I x 2.6
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan 2.5 memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika
det A
I yang disebut dengan persamaan karakteristik.
Anton 1995
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yakni :
1. Sistem
x Ax
adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari
A
bagian realnya bernilai negatif. 2.
Sistem
x Ax
adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen dari
A
bagian realnya bernilai positif. Borrelli Coleman 1998
2.3 Kondisi Routh Hurwitz
