1. Sistem
x Ax
adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari
A
bagian realnya bernilai negatif. 2.
Sistem
x Ax
adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen dari
A
bagian realnya bernilai positif. Borrelli Coleman 1998
2.3 Kondisi Routh Hurwitz
Misalkan bilangan-bilangan real,
. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik
1 2
1 2
...
k k
k k
p a
a a
mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks
j
H
adalah positif. Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz
j
H
sebagai berikut
j
H
dengan
j lm
H h
dan
2
1 , untuk 2 0 , untuk 2
ata , untuk 0
2
u 2
l m lm
a l
m k
l m
l m
l k
m h
semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif titik tetap stabil jika dan hanya jika determinan dari semua matriks
Hurwitz positif, yaitu :
0, untuk 1, 2,...,
j
H j
k
sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz untuk suatu k, k =2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika
dan hanya jika untuk k =2,3,4, 1.
k=2, 2.
k=3, 3.
k=4, Edelstein-Keshet 1998
Untuk kasus 3
k , kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam teorema berikut.
Teorema 1
Misalkan A,B,C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p
= +
adalah negatif jika dan hanya jika A,C bernilai positif dan ABC.
Bukti : Lampiran 1
2.4 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan Reproduksi Dasar adalah rata-rata banyaknya individu rentan
yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih
rentan. Kondisi yang akan timbul adalah salah satu diantara kemungkinan berikut :
1. Jika
, maka penyakit akan menghilang. 2.
Jika
1 R
, maka penyakit akan menetap endemik. 3.
Jika , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.
Blyuss Kyrychko 2005
III MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
3.1 Model SIR
Model dasar yang digunakan untuk menggambarkan penyebaran penyakit adalah model epidemik SIR. Model SIR ini dikemukakan oleh Kermark
McKendrick pada tahun 1927 sebagai model dasar dari pengembangan pemodelan epidemiologi. Model ini mempunyai tiga kompartemen yang menggambarkan
proses penyebaran penyakit pada suatu populasi. Kompartemen-kompartemen tersebut adalah : Susceptible S yaitu kelompok individu yang sehat tetapi dapat
terinfeksi penyakit, Infected I yaitu kelompok individu yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit dan Recovered R yaitu kelompok individu yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit. Menurut Hethcote 2000, diasumsikan bahwa adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi, adalah laju infeksi
atau laju
transmisi penularan
penyakit ketika
individu rentan
bersinggungankontak dengan individu yang terinfeksi dan adalah laju
pemulihan individu yang terinfeksi dan individu-individu yang pulih atau sembuh yang diasumsikan memiliki kekebalan kekebalan alami terhadap penyakit.
Asumsi-asumsi tersebut dapat digambarkan ke dalam bentuk kompartemen- kompartemen pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1 Diagram transfer penyebaran penyakit model SIR Dari kompartemen pada Gambar 1 di atas dapat disusun model matematika
yang dituliskan sebagai berikut :
3.1 dS
S SI
dt dI
SI I
I dt
dR I
R dt
dengan semua parameter pada sistem 3.1 adalah bernilai positif.
R S
I
3.2 Model SVIR dan Strategi Vaksinasi Kontinu CVS
