2 1
1 1
3 1
1 1
A A
4.2 Analisis Kestabilan
Misalkan pada persamaan 4.1 dinotasikan sebagai berikut :
1 1
1
, , ,
, , ,
4.3 f S V I
g S V S
SI S
VI V
V SI
VI I
S h S V
I I
I dengan melakukan pelinearan persamaan-persamaan di atas akan diperoleh
matriks Jacobi sebagai berikut.
1 1
1 1
1
, , f
f f
S V
I g
g g
J S V I V
S V
I h
h h
S V
I I
S I
I I
S V
4.2.1 Kestabilan Titik Tetap Bebas Penyakit
Pelinearan pada titik tetap
E
akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut :
1 1
1
J E V
S S
V
sehingga akan diperoleh nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det J E
I .
Persamaan karakteristik dari J E adalah :
1 1
2 1 0
3 1
2 1
3 1 0
1 0
1
c
S V
S V
S V
R
dengan
1 0 1
1
4.4
c
S V
R yang selanjutnya disebut sebagai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit
pada strategi vaksinasi CVS. Perhatikan bahwa nilai eigen yang kesemuanya adalah bilangan real akan
negatif jika
1
c
R
. Jadi kestabilan di titik tetap bebas penyakit bergantung pada
c
R
. Kondisi stabil yang dipenuhi ketika
1
c
R
dimana
c
R
disini merupakan bilangan reproduksi dasar individu yang terinfeksi secara langsung oleh individu
lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk kedalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi stabil asimtotik ketika
1
c
R karena individu yang terinfeksi hanya akan menularkan kurang dari satu individu
baru yang terinfeksi yang artinya penyakit akan menghilang dari populasi. Sebaliknya, ketika
1
c
R
merupakan kondisi yang tidak stabil karena penyakit dapat bertahan dan meningkat dalam populasi.
4.2.2 Kestabilan Titik Tetap Endemik
Pelinearan pada titik tetap
E
akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut :
1 1
1 1
1
1 1
J E V
S S
I S
I I
I S
V S
I I
V V
Jika semua nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi J E mempunyai bagian real negatif, maka solusi titik tetap endemik adalah stabil.
Nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menghitung det J E
I dan akan diperoleh persamaan karakteristik J E
yaitu :
3 2
1 2
3
0 4.5 a
a a
dengan
1 22
23 11
13 11
12 2
2 2
1 32
33 31
33 21
22 2
2 2
1 3
1
det S
a trace J E
S V
J J
J J
J J
a V I
S I J
J J
J J
J V
S I V I
a J E
S I V
S
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kondisi kestabilan sistem 3.2 pada titik tetap endemik akan stabil jika dan hanya jika persamaan 4.5 memenuhi
syarat-syarat berikut :
1 2
0, a
a
dan
1 2
3
a a a
. Perhatikan bahwa koefisien-koefisien pada persamaan 4.5 bernilai
positif, berarti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik cukup dibuktikan bahwa
1 2
3
a a a
. Sehingga :
2 2
1 2 3
1 1
2 2
2 1
1 2
2 2
2 1
1
S a a
a S I
V I S I
S V
V V
S I
S I V I
S I S V
V V
S I
S I S I
S I S V
V
berdasarkan kriteria Routh-Hurwits maka disimpulkan titik tetap endemik
E
adalah stabil asimtotik jika titik tetap endemik ini ada. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa keberadaan titik tetap
E
akan dipengaruhi oleh
c
R
yaitu akan ada jika
1
c
R
. Nilai
I
adalah akar positif dari
2 1
2 3
g I A I
A I A
dengan
1 1
2 1
1 1
3 1
1 1
A A
A Karena
1 1
c
R maka persamaan
2 1
2 3
g I A I
A I A
dapat diubah menjadi
2 1
2 4
1
c
g I A I
A I A
R
dengan
4 1
A
. Keberadaan titik tetap endemik yaitu
E
dimana
I
adalah akar real yang bernilai positif dari persamaan
2 1
2 4
1
c
g I A I
A I A
R
terpenuhi jika
1
c
R
. Jadi titik tetap endemik
E
akan ada dan stabil jika
1
c
R
. Tabel 1 Kondisi Kestabilan Titik Tetap
Kondisi E
E
1
c
R
Stabil asimtotik Tidak ada
1
c
R
Tidak stabil Stabil asimtotik
Tabel 1 menunjukkan bahwa dinamika sistem pada strategi vaksinasi CVS adalah sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Ketika
1
c
R
titik tetap bebas penyakit
E
akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau dengan kata lain pada akhirnya penyakit akan
hilang dari populasi. Ketika
1
c
R
titik tetap endemik
E
akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi.
Gambar 3 Dinamika Populasi S,V, I dan R dengan
0.5208331
c
R
Pada Gambar 3 di atas, diberikan parameter 0.1,
0.5,
1 1
0.05, 0.06 dan
0.06
dengan nilai awal 0.3
S ,
0.1 V
, 0 0.3
I ,
0 0 R
dan
0.8
yaitu 80 populasi rentan divaksinasi yang
_ . _ . St . . . . Vt
____ It _ _ _ Rt
menyebabkan
0.520833
c
R
terlihat bahwa kurva S, V, I dan R akan menuju ke titik tetapnya yaitu 0.111111, 0.555556, 0, 0.333333. Kurva I akan menuju nol
dan stabil yang artinya bahwa pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Program untuk menampilkan Gambar 3 dapat dilihat pada lampiran 4.
Gambar 4 Dinamika Populasi S,V, I dan R dengan
1,17187 1
c
R
Sedangkan pada gambar 4, dengan
0.2
yaitu 20 populasi rentan divaksinasi yang menyebabkan
1.17187
c
R
kurva S, V, I dan R akan menuju titik tetapnya yaitu 0.285714, 0.34632, 0.1, 0.267966. Kurva I akan stabil
menuju 0.1 yang artinya bahwa penyakit akan tetap ada dalam populasi. Progam untuk menampilkan Gambar 4 dapat dilihat pada lampiran 5.
Gambar 5 Dinamika Populasi I terhadap waktu dengan
0.520833
c
R
10 20
30 40
50 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
t
_ . _ . St . . . . Vt
____ It _ _ _ Rt
Pada Gambar
5, diberikan
nilai awal
yang berbeda
yaitu 0 0.3, 0 0.4, 0 0.5 dan 0 0.6
I I
I I
terlihat pada akhirnya kurva I yaitu populasi yang terinfeksi akan stabil menuju nol untuk t yang semakin besar
sehingga nilai awal tidak berpengaruh jika
1
c
R
berapapun nilai awalnya, pada akhirnya akan menuju nol. Program untuk menampilkan Gambar 5 dapat dilihat
pada lampiran 6.
4.3 Efek Dari Strategi Vaksinasi CVS
Kategori