46
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
4. Perkalian Matriks dengan Matriks
Perhatikan tabel 3.3 berikut Tabel 3.3 a berisi data mengenai banyaknya baju dan celana yang dibeli Indra dan Irfan. Sedangkan tabel
3.3 b berisi data mengenai harga baju dan celana per potongnya.
Tabel 3.3
Baju Celana
Harga per potong Indra
2 2
Baju Rp50.000,00
Irfan 3
1 Celana
Rp40.000,00 a
b Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Indra dan Irfan?
Penyelesaian: G
Uang yang harus dibayarkan Indra: 2
u Rp50.000,00 + 2 u Rp40.000,00 = Rp180.000,00 G
Uang yang harus dibayarkan Irfan: 3
u Rp50.000,00 + 1 u Rp40.000,00 = Rp190.000,00 Selain menggunakan cara di atas, kita juga dapat menyelesaikan
permasalahan tersebut dengan menggunakan matriks sebagai berikut:
2 2 3 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
50.000 40.000
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
2 50.000 2 40.000 3 50.000 1 40.000
u u
§ ·
¨ ¸
u u
© ¹
=
180.000 190.000
§ ·
¨ ¸
© ¹
Operasi di atas dinamakan perkalian matriks, yaitu dengan mengalikan tiap elemen pada baris matriks pertama dengan elemen pada
kolom matriks kedua, kemudian hasilnya dijumlahkan. Perhatikan bahwa banyak baris matriks pertama sama dengan banyak kolom matriks kedua.
Jadi, diperoleh:
Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks
pengalinya. Hasil kali dua buah matriks A
m u n
dengan B
n u p
adalah sebuah matriks baru C
m u p
. A
m u n
u B
n u p
= C
m u n
Misalkan A =
a b c
d §
· ¨
¸ ©
¹
dan B =
p q r
s §
· ¨
¸ ©
¹
, maka:
AB =
a b c
d §
· ¨
¸ ©
¹ p q
r s
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
ap br aq bs
cp dr cq ds
§ ·
¨ ¸
© ¹
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matriks
47
Contoh 2.21 Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:
A =
3 4 2 1 0 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
dan B =
3 1
2 4
5 2
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
Jawab: A
2 u 3
. B
3 u 2
= C
2 u 2
A . B =
3 4 2 1 0 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
3 1
2 4
5 2
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
= 33 42 25 31 44 2 2
3 02 55 1 04 5 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
27 15
22 11
§ ·
¨ ¸
© ¹
Contoh 2.22 Diketahui matriks A =
3 2 1 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Tentukanlah: 1 a A
2
b A
3
2 A
3
+ 2A
2
– 3A Jawab:
1 a A
2
= A . A
=
3 2 1 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
3 2 1 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
11 16 8 27
§ ·
¨ ¸
© ¹
b A
3
=
3 2 1 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
11 16 8 27
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
49 102 51 151
§ ·
¨ ¸
© ¹
Catatan
Jika A suatu matriks persegi atau matriks kuadrat, maka:
A . A = A
2
A . A = A . A
2
= A
3
A= A . A
3
= A
4
... A . A . A. ... . A = A . A
n-1
= A
n
Di unduh dari : Bukupaket.com
48
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
2 A
3
+ 2A
2
– 3A =
49 102 51 151
§ ·
¨ ¸
© ¹
+ 2
11 16 8 27
§ ·
¨ ¸
© ¹
– 3
3 2 1 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
49 102 51 151
§ ·
¨ ¸
© ¹
+
22 32 16 54
§ ·
¨ ¸
© ¹
–
9 6
3 15 §
· ¨
¸ ©
¹
=
62 128 64 190
§ ·
¨ ¸
© ¹
Contoh 2.23 Jika A =
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
, B =
2 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹
, dan C =
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Tentukanlah:
a ABC dan ABC b AB + C dan AB + AC
c B + CA dan BA + CA Jawab:
a ABC = 1 0
2 0 2
1 1
ª º
§ ·§
· «
» ¨
¸¨ ¸
© ¹©
¹ ¬
¼
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
2 2
2 §
· ¨
¸ ©
¹ 3
2 1
3 §
· ¨
¸ ©
¹
=
6 4
4 10 §
· ¨
¸ ©
¹
ABC =
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 3
2 1
1 1
3 ª
º §
·§ ·
« »
¨ ¸¨
¸ ©
¹© ¹
¬ ¼
=
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
6 4 2 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
6 4
4 10 §
· ¨
¸ ©
¹
Jadi, ABC = ABC
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matriks
49
b AB + C =
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 3
2 1
1 1
3 ª
º §
· § ·
« »
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹
¬ ¼
=
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
5 2
2 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 2
4 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
AB + AC =
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹
+
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
2 2
2 §
· ¨
¸ ©
¹
+
3 2
2 6
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 2
4 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
Jadi, AB + C = AB + AC 3 B + CA
= 2
3 2
1 1
1 3
ª º
§ · §
· «
» ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ ¬
¼
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 2
2 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 4
2 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
BA + CA =
2 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹ 1 0
0 2 §
· ¨
¸ ©
¹
+
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
2 1
2 §
· ¨
¸ ©
¹
+
3 4
1 6
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 4
2 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
Jadi, B + CA = BA + CA
Di unduh dari : Bukupaket.com
50
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
Untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat dijumlahkan dikalikan dipenuhi:
1. ABC = ABC o Sifat Asosiatif
2. AB + C = AB + AC o Sifat Distributif Kiri
3. B + CA = BA + CA o Sifat Distributif Kanan
4. kAB = kAB = AkB o Perkalian Skalar
5. AI = IA = A o Sifat Identitas
6. AO = OA = O o Sifat Matriks Nol
7. AB
z
BA o Tidak Berlaku Sifat Kumutatif
Kerjakan dengan kelompok Anda Buktikan bahwa:
1. kAB = kAB = AkB
2. AI = IA = A
3. AO = OA = O
4. AB
z BA Diskusikan dengan kelompok Anda
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:
a.
4 2 1 3 0
3 § ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ © ¹
b.
2 4 1 x
y z
§ · ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹
c.
7 5 6
x y
z § ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ © ¹
Tugas Kelompok
Latihan 5
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matriks
51
2. Diketahui matriks A =
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Tentukan matriks A
3
3. Tentukan nilai ab + 2cd jika
3 4 10
1 5 1
11 13 a b
c d
§ ·§
· § ·
¨ ¸¨
¸ ¨ ¸
© ¹©
¹ © ¹
4. Diketahui matriks:
A =
1 2
2 §
· ¨
¸ ©
¹
, B =
2 3
4 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
, dan C =
2 5 3
3 1 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Tentukan:
a. AB d. A
t
. C b. AC
e. B
t.
C c.
BC f.
C
t
. A 5.
Diketahui matriks: A =
1 4
2 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
, B =
1 3 4 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
, dan C =
2 3
1 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
Tentukan: a. AB + C
b. AB + AC c.
B + CA d. BA + CA
C. Determinan dan Invers Matriks