Matematika 131
Memahami Operasi Himpunan
egiatan
K 2.3
Selama ini kalian mengenal operasi dalam bilangan. Sama seperti bilangan, himpunan- himpunan juga bisa dioperasikan satu sama lain. Operasi-operasi himpunan itu
mencakup: a Irisan, b Gabungan, c Selisih, dan d Komplemen.
a. Irisan Intersection
Ayo Kita Amati
Coba amati dengan cermat masalah dan alternatif penyelesaiannya berikut ini.
Masalah 2.7
Bela dan Diva adalah dua orang sahabat. Bela senang dengan bunga mawar, bunga melati, dan bunga anggrek, sedangkan Diva senang dengan bunga matahari dan
bunga anggrek.
1. Jika A adalah himpunan bunga yang disenangi oleh Bela dan B adalah himpunan
bungan yang disenangi oleh Diva, tentukanlah anggota himpunannya. 2. Apakah ada anggota kedua himpunan itu yang sama?
Alternatif Pemecahan Masalah
A adalah himpunan bunga yang disenangi Bela.
B adalah himpunan bunga yang disenangi Diva. 1. Kedua himpunan itu adalah:
A = {mawar, melati, anggrek} B = {matahari, anggrek}
2. Untuk melihat apakah ada anggota himpunan A yang sama dengan anggota himpunan B dapat dilakukan dengan membandingkan satu persatu, apakah
elemen A ada pasangannya yang sama pada B dan sebaliknya. Kita dapat merancang prosedur sistematis untuk melakukan ini sebagai berikut.
a. Ambil elemen pertama A, bandingkan dengan elemen B. Apabila ada pasangan yang anggotanya sama.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas VII SMPMTs Edisi Revisi Semester I
132
b. Ambil elemen kedua, ketiga, dan seterusnya dari A, bandingkan dengan elemen B, ulangi hal yang sama sampai semua elemen A habis.
c. Bila setelah semua elemen A habis diproses, tulislah semua elemen yang menjadi anggota himpunan A dan sekaligus menjadi angota himpunan B.
Prosedur ini dilakukan sebagai berikut. 1. Ambil elemen pertama dari A yaitu: mawar. Apakah pasangan yang sama ada di
B ? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
2. Ambil elemen kedua dari A yaitu: melati. Apakah pasangan yang sama ada di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
3. Ambil elemen ketiga dari A yaitu: anggrek. Apakah pasangan yang sama ada di B? Ada. Jadi anggrek adalah anggota himpunan A
yang sekaligus menjadi anggota himpunan B.
4. Karena semua elemen himpunan A telah habis diproses, maka diperoleh satu anggota himpunan A
dan sekaligus menjadi anggota himpunan B, yaitu: anggrek
Contoh 2.10
Diketahui himpunan P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temukan anggota himpunan P
yang sekaligus menjadi anggota himpunan Q.
Penyelesaian Alternatif
Kedua himpunan itu adalah: P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif pemecahan Masalah 2.7, sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari P, yaitu: 1. Apakah ada pasangan yang sama di Q? Ada.
Jadi 1 adalah anggota himpunan P yang sekaligus menjadi anggota himpunan
R. 2. Lakukan cara yang sama untuk elemen kedua, ketiga, keempat, dan kelima dari
P. Setelah semua elemen P telah habis diproses, maka anggota himpunan P yang sekaligus menjadi anggota himpunan R adalah 1, 3, dan 5.
Berdasarkan Masalah 2.7 dan Contoh 2.10, dapat disimpulkan irisan himpunan sebagai berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 133
Ayo Kita Menggali Informasi
+
=
+
Misalkan S adalah himpunan semesta, irisan himpunan A dan B adalah himpunan
yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A dan anggota
himpunan B, dilambangkan dengan A
∩ B. Irisan dua himpunan dinotasikan A
∩ B = {x | x
∈ A dan x ∈ B}. A
∩ B dalam diagram Venn disajikan sebagai daerah yang diarsir
Diketahui himpunan A = {1, 3, 5}
B = {2, 4, 6, 8}
Selidikilah apakah A ∩ B = B ∩ A = Ø
Untuk menyelidiki apakah A ∩ B = Ø, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari A, yaitu 1. Apakah ada pasangan yang sama di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
2. Dengan melakukan cara yang sama untuk semua elemen himpunan A, ternyata tidak ada elemen himpunan A yang sama dengan elemen himpunan B.
Berarti tidak ada anggota himpunan A yang mempunyai pasangan dengan anggota himpunan B, artinya tidak ada anggota himpunan A
yang sekaligus menjadi anggota himpunan B. Hal ini berarti irisan himpunan A dengan himpunan B adalah
himpunan kosong atau A ∩ B = Ø.
Untuk menyelidiki apakah B ∩ A = Ø kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari B, yakni 2. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya
2. Dengan melakukan cara yang sama untuk semua elemen himpunan B, ternyata tidak ada elemen himpunan B yang sama dengan elemen himpunan A.
Berarti tidak ada anggota himpunan B yang mempunyai pasangan dengan anggota himpunan A, artinya tidak ada anggota himpunan B
yang sekaligus menjadi anggota himpunan A. Hal ini berarti irisan himpunan B dengan himpunan A adalah kosong
atau B ∩ A = Ø. Berdasarkan hasil penyelidikan diperoleh A ∩ B = Ø dan B ∩ A =
Ø, sehingga dapat ditulis A ∩ B = B ∩ A = Ø.
Oleh karena A ∩ B = B ∩ A = Ø, maka tidak ada anggota himpunan A yang
menjadi anggota himpunan B. Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau saling asing, jika tidak ada anggota
A yang merupakan anggota B, dilambangkan dengan AB.
S A
B
Gambar 2.11 Diagram Venn A
∩ B
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas VII SMPMTs Edisi Revisi Semester I
134
Ayo Kita Menanya
? ?
Berdasarkan hasil pengamatan kalian coba tulislah pertanyaan yang berkaitan dengan irisan dari dua himpunan
Ayo Kita Menalar
1. Jika A = himpunan pria, dan B = himpunan wanita, apa yang bisa kamu temukan? 2. Diberikan
A = {x │x 5, x bilangan asli} dan B = {x│x 5, x bilangan asli},
apakah A ∩ B = Ø? Jika A ∩ B = Ø, apakah B ∩ A = Ø?
Ayo Kita Berbagi
Coba diskusikan hasil menalar kalian dengan temanmu, dan presentasikan hasilnya di depan kelas jika ada perbedaan coba taanyakan kepada gurumu.
Ayo Kita Amati
Amatilah masalah penggunaan diagram Venn dalam kehidupan sehari-hari berikut ini.
Masalah 2.8
Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran Matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran Fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran
matematika dan isika. a Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas
b Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika? c Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran isika?
d Berapa banyak siswa dalam kelas itu?
Alternatif Pemecahan Masalah
Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 135
Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran isika,
sebaliknya juga demikian. Misalkan A
adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka nA = 30.
Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar isika, maka
nB = 25. Misalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya
senang belajar matematika. Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya
senang belajar isika. Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas.
A ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan isika,
maka nA ∩ B = 10.
a Diagram Venn
b Siswa yang hanya senang pelajaran matematika.
Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang
hanya senang belajar matematika ditambah
dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
nA = nM + nA
∩ B 30
= nM + 10 nM
= 30 – 10 = 20
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang. c Siswa yang hanya senang pelajaran isika.
Banyak siswa yang senang pelajaran isika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar isika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-
duanya. nB
= nF + nA ∩ B
25 = nF + 10
nF = 25 – 10 = 15
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.
Gambar 2.12 Diagram Venn
S A
20 10
B
15
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas VII SMPMTs Edisi Revisi Semester I
136
d Banyak siswa dalam kelas Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar
matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar isika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
nS = nM + nI + nA
∩ B = 20 + 15 + 10
= 45 Jadi banyak siswa satu kelas itu adalah 45 orang.
Ayo Kita Menggali Informasi
+
=
+
Contoh 2.11
Diketahui himpunan A = {1, 3, 5, 7 dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Selidiki apakah
A ⊂ B, bagaimana hubungan A ∩ B dengan himpunan A?
Penyelesaian Alternatif
Kedua himpunan itu adalah: A = {1, 3, 5, 7
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Untuk menyelidiki apakah A
⊂ B, kita lakukan langkah berikut. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B yaitu: 1
∈ A dan 1
∈ B; 3 ∈ A dan 3 ∈ B; 5 ∈ A dan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈ B. Karena seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka disimpulkan A
⊂ B. Hubungan A
∩ B dengan himpunan A: Karena: 1
∈ A dan 1 ∈ B; 3 ∈ A dan 3 ∈ B; 5 ∈ A dan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈ B Maka A
∩ B = {1, 3, 5, 7} Ternyata A
∩ B = A Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa
Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 137
Ayo Kita Menanya
? ?
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan penggunaan diagram Venn dalam kehidupan sehari-hari. Tulislah pertanyaan
kalian di buku tulis
Ayo Kita Menalar
Di antara warga RT 05 yang terdiri atas 50 orang, ternyata 20 orang berlangganan majalah, 25 orang berlangganan koran, dan 5 orang berlangganan keduanya.
a. Gambarlah suatu diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas b. Berapa banyak warga RT 05 yang tidak berlangganan koran atau majalah?
c. Berapa banyak warga RT 05 yang berlangganan koran saja? e.Berapa banyak warga RT 05 yang berlangganan majalah saja?
f. Berapa banyak warga RT 05 yang tidak berlangganan majalah?
Ayo Kita Berbagi
Setelah kalian yakin bahwa jawabanmu benar, coba presentasikan jawabanmu di depan kelas.
b. Gabungan Union
