Matematika 147
Ayo Kita Menanya
? ?
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata- kata berikut:
1. “himpunan yang anggotanya bukan himpunan.....” 2. “komplemen dari himpunan......”
Tulislah pertanyaan kalian di buku tulis
Contoh 2.12
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A= {1, 3, 5, 7}. Tentukan A
c
Penyelesaian Alternatif
Komplemen dari A adalah anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, yaitu A
c
={2, 4, 6}. Setelah kalian memahami komplemen dari suatu himpunan, coba nalarkan pikiran
kalian dengan mengerjakan soal berikut.
Ayo Kita Bernalar
1. Jika M = A
c
, sebutkanlah anggota himpunan M
c
. Bagaimana hubungan M
c
dengan A? 2. Jika
P adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota himpunan A ∩ B
c
, sebutkanlah anggota himpunan P
c
. Bagaimana hubungan P
c
dengan A ∩ B?
Ayo Kita Berbagi
Setelah kalian mencoba menalar, coba tanyakan pada guru kalian tentang kebenaran jawabanmu. Jika masih salah mintalah petunjuk cara menyelesaikannya.
d. Selisih Difference Ayo
Kita Amati Coba amati dengan cermat masalah dan contoh berikut ini.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas VII SMPMTs Edisi Revisi Semester I
148
Masalah 2.12
Aturan pembagian kelas di sebuah SMP didasarkan pada hasil tes I dan tes II. Siswa yang lulus tes I dan tes II akan ditempatkan di kelas VII-A, siswa yang hanya lulus tes
I ditempatkan di kelas VII-B, dan siswa yang hanya lulus tes II akan di tempatkan di
kelas VII-C. Hasil tes 10 orang siswa ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 2.2
Hasil Tes I Pembagian Kelas di SMP
No Nama
Hasil Tes Tes I
Tes II
1 Toni
Lulus Tidak Lulus
2 Wanti
Tidak Lulus Lulus
3 Budi
Lulus Lulus
4 Eka
Lulus Lulus
5 Boby
Lulus Tidak Lulus
6 Rudi
Tidak Lulus Lulus
7 Bela
Lulus Lulus
8 Tino
Lulus Tidak Lulus
9 Diva
Lulus Lulus
10 Nurhasanah
Tidak Lulus Lulus
Jika A adalah himpunan siswa yang lulus tes I dan B adalah himpunan siswa yang lulus tes II.
1. Tentukanlah anggota himpunan A dan himpunan B. 2. Tempatkanlah siswa berdasarkan kelas masing-masing.
3. Gambarkanlah diagram Venn himpunan A dan B.
Alternatif Pemecahan Masalah
1. Anggota himpunan A dan himpunan B. A
= {Toni, Budi, Eka, Boby, Bela, Tino, Diva} B
= {Wanti, Budi, Eka, Rudi, Susan, Diva, Nurhasanah}
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 149
2. Pembagian kelas masing-masing siswa adalah: a. Siswa yang ditempatkan di kelas VII-A yaitu siswa yang lulus tes I dan
tes II. Dapat disebut siswa kelas VII-A adalah anggota himpunan A irisan himpunan B.
b. Siswa yang ditempatkan di kelas VII-B adalah siswa yang hanya lulus tes I. Dapat disebut bahwa siswa kelas VII-B adalah anggota himpunan A yang
bukan anggota himpunan B. c. Siswa yang ditempatkan di kelas VII-C adalah siswa yang hanya lulus tes
II. Dapat disebut bahwa siswa kelas VII-C adalah anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A.
d. Dengan demikian, himpunan siswa ketiga kelas itu adalah: •
Kelas VII-A = {Budi, Eka, Bela, Diva} •
Kelas VII-B = {Toni, Boby, Tino} •
Kelas VII-C = {Wanti, Rudi, Nurhasanah} 3. Diagram Venn himpunan A dan B
ditunjukkan pada gambar berikut.
S
· Nurhasanah · Wanti
· Rudi · Bobi
· Toni
· Tino · Budi
· Eka · Bela
· Diva
A B
Gambar 2.19 Diagram Venn Himpunan A dan B
Contoh 2.13
Diketahui himpunan A adalah himpunan semua bilangan asli yang kurang dari 5 dan B
adalah himpunan semua bilangan ganjil yang kurang dari 5. 1. Jika
C adalah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, maka tentukanlah anggota himpunan C
2. Jika D adalah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan B yang
bukan anggota himpunan A, maka tentukanlah anggota himpunan D
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas VII SMPMTs Edisi Revisi Semester I
150
Penyelesaian Alternatif
Anggota himpunan A dan anggota himpunan B adalah: A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 3} C adalah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan A yang bukan
anggota himpunan B.
Untuk menemukan sebuah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B dapat kita lakukan dengan membandingkan anggota
himpunan A dan himpunan B dengan algoritma sebagai berikut. a. Ambil elemen pertama dari A. Jika elemen tersebut ada di himpunan B
hapus dari anggota A , jika tidak ada di B biarkan pada himpunan A.
b. Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua, ketiga sampai semua elemen A telah selesai dicocokkan.
c. Himpunan A yang tidak terhapus merupakan himpunan yang anggotanya
seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B. 1. Dengan menggunakan algoritma ini, kita lakukan sebagai berikut.
a. Ambil elemen pertama dari A yaitu: 1. Apakah 1 ada di B? Ya. Maka hapus dari A, sehingga A = {2, 3, 4}.
b. Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua, ketiga sampai semua elemen A telah habis dicocokkan.
c. Karena semua anggota himpunan A telah dicocokkan dengan anggota himpunan B, maka himpunan A yang tersisa merupakan himpunan yang
anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, yaitu himpunan C = {2, 4}.
Himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B merupakan selisih himpunan A dan B.
2. D adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A, dengan menggunakan algoritma pada butir 1, kita cari
anggota himpunan D sebagai berikut. a. Ambil elemen pertama dari B yaitu: 1. Apakah 1 ada di A? Ya. Maka hapus
dari B, sehingga B = {3}. b. Ambil elemen kedua dari B yaitu: 3. Apakah 3 ada di A? Ya. Maka hapus dari B,
sehingga B = { }. c. Karena semua anggota himpunan B telah dicocokkan dengan anggota
himpunan A, maka himpunan B yang tersisa merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A
yaitu himpunan D = { }.
Himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A merupakan selisih himpunan B dan A.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 151
Berdasarkan Masalah 2.12 dan Contoh 2.13, kita simpulkan berikut.
Sedikit Informasi
• Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dinotasikan dengan A – B.
• Dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan
A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩ B
c
• Diagram Venn A
− B merupakan daerah yang berwarna:
• Sifat-sifat selisih himpunan Untuk sebarang himpunan A dan B,
berlaku: a. Jika
A ∩ B = ∅, maka A – B = A dan B – A = B
b. Jika A
⊂ B, maka A – B = ∅
S A
B
Gambar 2.16 Diagram
Venn A − B
Ayo Kita Menanya
? ?
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan selisih himpunan. Tulislah pertanyaan kalian di buku tulis
Ayo Kita Menalar
Coba selesaikan soal berikut ini 1. Misalkan
A = {1, 2, 3, ..., 10} dan B = {2, 3, 5, 7, 11, 12}, a. Tentukan anggota himpunan A – B
b. Tentukan anggota himpunan B – A. c. Diskusikan dengan temanmu bagaimana hubungan A – B dengan himpu-
nan A? dan bagaimana hubungan B – A dengan himpunan B? 2. Diberikan himpunan A dan B,
a. Jika A
∩ B = ∅, apakah A – B = A dan B – A = B. Diskusikan dengan teman- mu.
b. Jika A
⊂ B, apakah A – B = ∅. Diskusikan dengan temanmu.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas VII SMPMTs Edisi Revisi Semester I
152
Ayo Kita Berbagi
Presentasikan hasil menalar kalian kepada temanmu di depan kelas, jika ada jawa- ban yang berbeda diskusikan dan mintalah petunjuk dari gurumu.
e. Sifat-sifat Operasi Himpunan
