Pewarnaan Sisi Pada Graf

39 tersebut yang bertetangga. Sedangkan bilangan kebebasan sisi adalah jumlah maksimal sisi dari G dalam himpunan bebas.Bilangan kebebasan sisi dinotasikan dengan . Contoh 2.84 Diberikan sebuah graf N. Akan dicari bilangan kebebasan sisi dari N. Gambar 2.24. Graf N Berdasarkan gambar diatas diperoleh bahwaH= , I= , J= ,K= merupakan himpunan kebebasan sisi. Jadi = 3. Definisi 2.85 Sebuah pewarnaan sisi pada graf Gadalah pemberian warna pada sisi – sisi dalam graf , di mana satu warna untuk setiap sisi . Contoh 2.86 Gambar2.25 menunjukkan pewarnaan sisi pada grafO, dengan himpunan warna {1, 2, 3, 4, 5}di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, 4=warna jingga, 5=warna ungu. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40 Gambar 2.25. Graf Dengan Pewarnaan Sisi-5 Definisi 2.87 Jika sisi- sisi yang bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka pewarnaan sisi dikatakan pewarnaan sisi sejati. Contoh 2.88 Gambar 2.25 menunjukkan bahwa setiap dua sisi yang bertetangga memiliki warna yang berbeda, sehingga graf O menggunakan pewarnaan sisi sejati. Definisi 2.89 Pewarnaan sisi - k adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang menggunakan k warna. Contoh 2.90 Pada Gambar 2.25, pewarnaan pada grafO menggunakan pewarnaan sisi-3. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41 Definisi 2.91 Misalkan diberikan pewarnaan sisi – k pada graf tak kosong G, dengan menggunakan 1,2,….,k warna dan misalkan adalah himpunan sisi – sisi di G yang diberi warna i. Maka himpunan – himpunan tak kosong dari EG disebut kelas warna sisi dari G untuk pewarnaan sisi – k yang diberikan. Contoh 2.92 Perhatikan Gambar 2.25, akan dicari kelas warna sisi dari graf O. Gambar 2.25 menunjukkan bahwa 1. Sisi dan diberi warna warna merah. Jadi , , dengan 1 = warna merah. 2. Sisi dan diberi warna warna biru. Jadi , , dengan 2 = warna biru. 3. Sisi dan diberi warna warna hijau. Jadi , dengan 3 = warna hijau 4. Sisi diberi warna warna hijau. Jadi dengan 4 = warna jingga. 5. Sisi diberi warna warna ungu. Jadi dengan 4 = warna ungu. Definisi 2.93 Misalkan G adalah graf. Suatu graf G disebut graf yang sisi – sisinya dapat diwarnai –k jika terdapat pewarnaan sisi –k pada G. 42 Contoh 2.94 Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 2.26. Graf O Dengan Pewarnaan Sisi - Karena terdapat pewarnaan sisi denganpadaO maka O adalah graf yang sisi- sisinya dapat diwarnai . Definisi 2.95 Misalkan G adalah graf dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks kromatik dari G adalah jumlah minimum warna yang diperlukan sedemikian sehingga sisi – sisi yang bertetangga di G diwarnai dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks kromatik pada graf G dinotasikan dengan . Contoh 2.96 Perhatikan Gambar 2.26. Gambar tersebut menunjukkan bahwa graf O dapat diwarnai menggunakan minimal tiga warna, sehingga indeks kromatiknya atau . Teorema 2.97 Jika G adalah graf tak kosong dengan ukuran maka 43 Bukti: Misalkan G adalah graf dan . Himpunan adalah kelas warna sisi pada pewarnaan sisi – k dari graf G. Berarti ada sisi di G yang tidak termuat di Karena maka merupakan partisi dariEG. Sehingga untuk setiap i . Oleh karena itu Jadi yang ekivalen dengan , sehingga .  Karena grafG diwarnai dengan pewarnaan sisi-k berarti sisi – sisi yang bertetangga di G diberi kwarna berbeda. Suatu sisi dikatakan bertetangga jika bersisian dengan suatu titik yang sama. Pewarnaan sisi pada sebuah grafG harus memberikan warna yang berbeda pada sisi-sisi yang bertetangga sehingga untuk setiap titik v di G jumlah warna yang digunakan untuk mewarnai sisi yang bersisian dengan titik v harus sesuai dengan derajat titik v pada G atau deg . Jadi 1 44 Contoh 2.98 Diberikan graf P dan pewarnaan sisi-4, dengan himpunan warna {1,2,3,4} di mana1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, 4=warna jingga. Akan dicari . Gambar 2.27.GrafP Gambar 2.27 menunjukkan graf P dengan orde dan ukuran . Himpunan kebebasan sisi yang dapat dibentuk antara lain:A={ , , }, B={ , , }, C={ , , }. Sehingga berdasarkan Definisi 2.83didapatkan , maka menurut Teorema 2.97 diperoleh bahwa . Karena merupakan bilangan bulat maka . Pewarnaan sisi-4 pada Gambar 2.27 menunjukkan bahwa . Jadi didapatkan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45

BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF

Konsep bilangan keterhubungan pelangi merupakan salah satu variasi dari pewarnaan sisi. Bilangan keterhubungan pelangi diperkenalkan oleh Chartrand, Johns, McKeon and Zhang pada tahun 2006. Konsep baru ini dilatarbelakangi oleh ditemukannya kelemahan dalam pegiriman informasi pada agen pemerintahan. Departemen Keamanan Dalam Negeri Amerika Serikat dibentuk tahun 2003 sebagai respon atas ditemukannya kelemahan dalam pengiriman informasi setelah terjadinya serangan teroris pada 11 September 2001. Keamanan informasi harus terjaga karena berhubungan langsung dengan keamanan nasional dan juga terdapat prosedur yang memungkinkan para agen pemerintah untuk mengakses informasi, sehingga setiap jalur pengiriman informasi membutuhkan kata sandi angka yang banyak. Muncul pertanyaan, berapa jumlah minimal angka yang dibutuhkan sedemikian sehingga tidak terjadi pengulangan kata sandi angka pada setiap satu lintasan komunikasi atau lebih antara dua agen pemerintahan. Pertanyaan tersebut dapat dimodelkan dengan bilangan keterhubungan pelangi. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf meliputi definisi, contoh dan teorema. 46

A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf

Pada subbab ini akan dibahas mengenai lintasan pelangi, graf terhubung pelangi, pewarnaan pelangi dan bilangan terhubung pelangi meliputi definisi, contoh dan teorema. Definisi 3.1 Misalkan graf G adalah graf terhubung tak trivial dan adalah sebuah bilangan bulat positif. Didefinisikan pewarnaan sisi , sehingga dua sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Suatu lintasan dari titik u ke v di G disebut lintasan pelangi jika tidak ada dua sisi pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama. Contoh 3.2 Perhatikan graf dengan pewarnaan sisi – 3, dengan himpunan warna {1, 2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau. Akan ditunjukkan bahwa terdapat lintasan pelangi di P. Gambar3.1. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi Untuk setiap dua titik u dan v terdapat lintasan pelangi dari titik u ke vsepertiyang dijelaskan pada Tabel 3.1.