Fungsi GRAF DAN PEWARNAAN SISI

15 Berikut merupakan contoh dari relasi dua himpunan dan cara penyajian relasi menggunakan diagram panah. Contoh 2.15 Diberikan dua buah himpunan dan maka . Jadi merupakan relasi dari himpunan Cdan himpunanD seperti pada Gambar 2.1 Gambar 2.1. Relasi Dari Himpunan C Ke HimpunanD Selanjutnya adalahrelasi khusus antara elemen-elemen dalam himpunan X dan elemen-elemen dalam himpunan Y. Definisi 2.16 Fungsi pemetaan adalah relasi khusus f antara elemen-elemen dalam suatu himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y. Kekhususannya terletak dalam dua hal, yaitu a. Setiap elemen dalam himpunan Xberelasi dengan suatu elemen dalam himpunanY. b. Elemen dalam himpunan Yyang berelasi dengan elemen dari himpunan Xitu tunggal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16 Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y dinotasikan dengan . Jika , maka elemen yang berelasi dengan elemen itu oleh fungsi f disebut bayangan dari dan dilambangkan dengan . Contoh 2.17 Misalkan dan . Maka relasi merupakan suatu fungsidari himpunan F ke himpunan G, sedangkanrelasi bukan merupakan fungsitetapi merupakan relasi dari himpunan Fke himpunan G, sebab berelasi dengan lebih dari satuelemen di G yaitu a dan b,seperti yang terlihat pada Gambar 2.2.b. Gambar 2.2. a Fungsi Dari Himpunan FKe Himpunan G, b Relasi Himpunan FKe Himpunan G Berikut ini dijelaskan pengertian fungsi injektif, surjektif dan bijektif beserta contohnya. Definisi 2.18 Suatu fungsi disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap berlaku maka .Sedangkan suatu fungsi disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap terdapat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17 sedemikian sehingga . Lalu suatu fungsi disebut fungsi bijektif korespondensi satu-satu jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif dan sekaligus surjektif. Contoh 2.19 Misalkan , dan adalah suatu fungsi maka merupakan fungsi injektif tetapi tidak surjektif sebab untuk tidak terdapat sedemikian sehingga seperti terlihat pada Gambar 2.3. Selanjutnya misalkan , dan adalah suatu fungsi maka merupakan fungsi surjektif tetapi tidak injektif sebab tetapi seperti terlihat pada Gambar 2.3. Sedangkan misalkan adalah suatu fungsi maka merupakan fungsi injektif dan surjektif sehingga dapat disebut fungsi bijektif seperti terlihat pada Gambar 2.3. Gambar 2.3. a Fungsi Injektif, b Fungsi Surjektif,c Fungsi Bijektif . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 Definisi 2.20 Atap dari suatu bilangan real x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x dan dinotasikan dengan . Contoh 2.22 Misalkanx = 8.3 dan x = 9 maka berdasarkan Definisi 2.21 berturut-turut diperoleh dan . C. Teori Graf Pada subbab ini akan dibahas mengenai teori graf meliputi definisi dan contoh graf, keterhubungan dan jenis graf Definisi 2.23 Graf G adalah pasangan himpunan dengan adalah himpunan tak kosong dari obyek – obyek yang disebuttitik dan adalah himpunan mungkin kosong pasangan tak berurutan dari titik –titik yang berbeda dari yang disebut sisi,di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang elemennya disebut titik ujung dari sisi tersebut. Contoh 2.24 Gambar 2.4 menyatakan graf A dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19 Gambar 2.4Graf A Sedangkantitik dan adalah titik ujung dari sisi Definisi 2.25 Graf trivialadalah graf dengan satu titik. Sedangkangraf tak trivialadalah graf yang memiliki dua titik atau lebih. Contoh 2.26 Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 2.5. aGraf Taktrivial B, b Graf Trivial C Gambar 2.5 menunjukkan bahwa dan sehingga jumlah titik pada graf B dan C berturut-turut 3 dan 1. Jadi graf B merupakan graf tak trivial sedangkan graf C merupakan graf trivial. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 20 Definisi 2.27 Dua buah titik dikatakan bertetangga jika dan hanya jika terhubung oleh suatu sisi. Sisi tersebut dikatakan bersisiandengan setiap titik ujungnya. Contoh 2.28 Perhatikan pada Gambar 2.5b. Pada gambar tersebut titik dan dihubungkan oleh sisi sehingga titik dan dikatakan bertetangga, tetapi titik tidak bertetangga dengan titik sebab tidak dihubungkan oleh suatu sisi, sehingga sisi dikatakan bersisian dengan titik . Definisi 2.29 Dua buah sisi yang bersisian pada titik ujung yang sama disebut bertetangga. Contoh 2.30 Perhatikan Gambar 2.5a. Gambar tersebut menunjukkan sisi dan sisi bersisihan pada titik ujung , sehingga dan dikatakan bertetangga. Definisi 2.31 Misalkan G adalah suatu graf. Gelung dari G adalah suatu sisi dengan satu titik ujung. 21 Contoh 2.32 Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 2.6. Graf D Sisi memiliki satu titik ujung yaitu titik , sehingga merupakan gelung dariD. Definisi 2.33 Misalkan Gadalah suatu graf. Sisi – sisi di G yang mempunyai himpunan ttik ujung yang sama disebut sisi pararel dari G. Contoh 2.34 Pada Gambar 2.6, sisi dan menghubungkan dua titik yang sama yaitu dan sehingga dan merupakan sisi pararel. Sedangkan dan tidak menghubungkan dua titik yang sama, maka dan bukan merupakan sisi pararel. Definisi 2.35 Misalkan Gadalah graf dan v adalah titik pada G. Derajat v atau degv adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan titik v. Sedangkanderajat 22 maksimal dari G adalah derajat terbesar dari titik-titik pada G dan dinotasikan dengan . Contoh 2.36 Perhatikan Gambar2.6.Gambar tersebut menunjukkan bahwa 1. Terdapat tiga sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi , dan sehinggadeg . 2. Terdapat dua sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi dan sehinggadeg . 3. Terdapat satu sisi dan satu gelung yang bersisihan dengan titik yaitu sisi dan sehinggadeg . Jadi . Definisi 2.37 Suatu graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai gelung atau sisi pararel. Contoh 2.38 PerhatikanGambar 2.5a. Pada grafB tidak terdapat gelung atau sisi pararel, sehingga graf B merupakan salah satu contoh dari graf sederhana. 23 Definisi 2.39 Misalkan G adalah graf. Orde dari adalah jumlah titik - titik dalam graf G, dinotasikan dengan . Contoh 2.40 Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa , sehingga . Definisi 2.41 Misalkan G adalah graf, ukuran dari G adalah jumlah sisi dalam graf G. Ukuran graf G dinotasikan dengan . Contoh 2.42 Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa , sehingga . Definisi 2.43 Misalkan G adalah graf. Sebuah jalan W dari titik u ke titik v adalah barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan sisi yang bertetangga pada G dari titik – titik di G. Sehingga jalan disajikan dalam bentuk - , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24 di mana menyatakan titik-titik dan menyatakan sisi-sisi, , , dan untuk setiap , - dan adalah titik ujung dari . Jalan dari titik u ke titik v singkatnya disebut jalan u-v. Jalan pada suatu graf bisa dinyatakan hanya dengan barisan titik asalkan tidak memuat sisi pararel. Jika tidak memuat sisi pararel maka setiap jalan di tidak menimbulkan dwimakna dan dapat dijelaskan dengan barisan titik saja. Pada skripsi ini jalan dinyatakan dengan barisan titik apabila graf tidak memuat sisi pararel. Contoh 2.44 Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik dan , merupakan jalan . Oleh karena merupakan sisi pararel maka jalan dinyatakan menggunakan barisan titik dan sisi. Untuk titik dan , merupakan jalan dan bisa nyatakan menggunakan barisan titik saja karena bukan merupakan sisi pararel. Definisi 2.45 Misalkan adalah graf. Lintasan dari u ke v pada Gadalah jalan dari uke v di mana tidak terjadi pengulangan sisi maupun titik. Lintasan dari uke v singkatnya disebut lintasan u-v. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25 Contoh 2.46 Perhatikan Gambar 2.5a. Pada gambar tersebut, merupakan lintasan . Definisi 2.47 Jalan tertutup adalah jalan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama. Contoh 2.48 Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik di graf D, jalan merupakan jalan tertutup pada graf D. Definisi 2.49 Sirkuit pada G adalah jalan tertutup yang terdiri dari minimal satu sisi dan tidak terjadi pengulangan sisi. Contoh 2.50 Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 2.7. Graf E Jalan merupakan sirkuit pada graf E sebab tidak terjadi pengulangan sisi. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 26 Definisi 2.51 Siklus adalah lintasan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama. Contoh 2.52 Perhatikan Gambar 2.7. Pada gambar tersebut jalan bukan merupakan siklus karena terdapat pengulangan titik yaitu dan . Sedangkan jalan merupakan siklus pada graf E. Definisi 2.53 Panjang dari suatu jalan adalah jumlah dari sisi – sisi di dalam sebuah jalan Contoh 2.54 Perhatikan pada Gambar 2.7. Pada graf E, jalan merupakan jalan dari titik ke , di mana , , adalah sisi-sisi pada jalan, maka panjang jalan dari titik ke adalah jumlah sisi-sisi pada jalan tersebut yaitu tiga. Definisi 2.55 Misalkan adalah graf. Sebuah lintasan gedoesik antara titik dan titik pada adalah lintasan - dengan panjang minimum. Lintasan gedoesik antara titik udan vpada singkatnya disebut geodesik - . 27 Contoh 2.56 Perhatikan Gambar 2.7. Untuk dua titik dan , lintasan merupakan lintasan dengan panjang dua, selanjutnya lintasan merupakan lintasan dari titik dengan panjang dua, lalu lintasan merupakan lintasan dari titik ke dengan panjang dua, sedangkan lintasan merupakan lintasan dari titik dengan panjang satu. Oleh karena itu lintasan merupakan lintasan geodesik antara titik dan , sebab lintasan tersebut memiliki panjang yang minimal dibanding lintasan lainnya.

D. Jarak dan Keterhubungan

Definisi 2.57 Misalkan adalah graf. Dua titik dan di dikatakan terhubung jika dan hanya jika terdapat sebuah jalan dari ke . Contoh 2.58 Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 2.8. Graf F Untuk dua titik dan terdapat jalan dari ke , sehingga titik dan dapat dikatakan terhubung. Definisi 2.59 28 Suatu graf dikatakan graf terhubung jika dan hanya jika untuk setiap dua titik dan pada terhubung. Contoh 2.60 Perhatikan Gambar 2.8. Untuk setiap dua titik u dan v pada F terdapat jalan dari titik u kev maka Fmerupakan graf terhubung seperti yang terlihat pada Tabel 2.1. Tabel 2.1. Jalan dari titik u ke v untuk setiap , di F Titik u Jalan titik u ke v Titik v Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 2.9. Graf G Untuk dua titik dan pada graf G, tidak terdapat jalan dari titik ke , sehingga graf G tidak terhubung. Definisi 2.61