Pola Bilangan Persegi Panjang Barisan Bilangan

Buku Guru Kelas IX SMPMTs 74 Tahukah Kamu? Salah satu kegunaan dari susunan bilangan pada segitiga pascal adalah untuk PHQHQWXNDQNRH¿VLHQNRH¿VLHQVXNXVXNXKDVLOSHUSDQJNDWDQa + b n , dengan n adalah bilangan asli. a + b = 1 1 a + b 1 = a + b 1 1 a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 1 2 1 a + b 3 = a3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 1 3 3 1 3HUKDWLNDQKDVLOSHQMDEDUDQGDULa + b 3 GLDWDV.RH¿VLHQa 3 DGDODKNRH¿VLHQa 2 b DGDODKNRH¿VLHQab 2 DGDODKGDQNRH¿VLHQb 3 adalah 1. Contoh 2.1 Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan x 3DGDRQWRKGLEHULNDQVDODKMHQLVVRDOPHQJHQDLVXVXQDQELODQJDQ6LVZD diminta untuk menentukan empat bilangan berikutnya setelah mengamati susunan bilangan yang diberikan sebelumnya. x Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan menentukan aturan pada suatu susunan bilangan. Contoh 2.1 Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan 7HQWXNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ ELODQJDQEHULNXWLQLGDQWHQWXNDQHPSDWELODQJDQEHULNXWQ\D a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Alternatif Penyelesaian: a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 3 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 13, 16, 19, dan 22. MATEMATIKA 75 b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengalikan 4 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 256, 1.024, 4.096, dan 16.384. c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1 = 1 3 , bilangan kedua adalah 1 = 2 3 , bilangan ketiga adalah 27 = 3 3 , bilangan keempat adalah 64 = 4 3 . Bilangan berikutnya diperoleh dengan melakukan pemangkatan tiga terhadap urutan bilangan tersebut. Empat bilangan berikutnya adalah 5 3 = 125, 6 3 = 216, 7 3 = 343, dan 8 3 = 512. d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 2000. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengurangkan 200 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 1.200, 1.000, 800, 600. Contoh 2.2 Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus x Pada Contoh 2.2, siswa diminta untuk mengamati susunan kardus yang ada pada gambar. Kemudian siswa diminta untuk menentukan pola bilangan yang terbentuk dari susunan kardus tersebut. x Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan aplikasi dari pola bilangan dalam kehidupan sehari-hari. Contoh 2.2 Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus Perhatikan susunan kardus yang dibentuk menurut aturan seperti pada gambar di bawah ini: Gambar 2.9 Susunan Kardus D XDWODK WDEHO \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDWVXVXQDQNHNHNHGDQNH b. Pola bilangan apa yang didapatkan? F HUDSDNDKMXPODKNDUGXV\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHPEXDWVXVXQDQNH Buku Guru Kelas IX SMPMTs 76 Alternatif Penyelesaian: D 7DEHO EHULNXW PHQXQMXNNDQ EDQ\DN NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW susunan ke-1 sampai pola ke-4. Susunan ke- 1 2 3 4 Jumlah Kardus 2 4 6 8 b. Susunan berikutnya diperoleh dengan menambahkan satu buah kardus pada bagian atas, serta satu buah kardus pada bagian kanan. Sehingga untuk mendapatkan MXPODKNDUGXV\DQJGLEXWXKNDQDJDUGDSDWPHPEXDWVXVXQDQEHULNXWQ\DDGDODK dengan menambahkan dua buah kardus pada susunan sebelumnya. Jika siswa perhatikan, pola bilangan yang terbentuk merupakan pola bilangan genap. Bilangan pertama adalah dua, dan untuk mendapatkan bilangan berikutnya dapat diperoleh dengan menambahkan dua pada bilangan sebelumnya. c. Jumlah kardus yang diperlukan untuk membuat susunan ke-100 sama dengan ELODQJDQ JHQDS \DQJ NH 6HKLQJJD MXPODK NDUGXV \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN membuat susunan ke-100 adalah 200 buah kardus. Ayo Kita Tinjau Ulang x 3DGD EDJLDQ WLQMDX XODQJ VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQJLQJDW GDQ PHQJXODQJ NHPEDOLPDWHUL\DQJWHODKGLSHODMDULSDGDEDESRODELODQJDQ x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDOVHFDUDPDQGLULGHQJDQPHQJDPDWLSROD bilangan yang ada pada tiap soal serta melengkapi bagian yang kosong. Setelah LWX VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQMHODVNDQ VHFDUD VLQJNDW PHQJHQDL DWXUDQ XQWXN mendapatkan pola berikutnya pada masing-masing susunan bilangan. x 0LQWD VLVZD XQWXN PHQXNDUNDQ MDZDEDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNX GDQ PHQFRFRNNDQVHPXDMDZDEDQ x HULNDQSHQLODLDQSDGDWLDSVLVZDEHUGDVDUNDQMDZDEDQPHUHNDPDVLQJPDVLQJ Ayo Kita Tinjau Ulang 6HEXWNDQEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ\DQJWHODKVLVZDSHODMDULSDGDEDELQLGDQ sebutkan aturan untuk tiap-tiap pola bilangan tersebut. 2. Salinlah urutan bilangan berikut ini, kemudian isilah bagian yang kosong VHKLQJJD PHPEHQWXN VXVXQDQ ELODQJDQ GHQJDQ SROD WHUWHQWX7HQWXNDQ DWXUDQ untuk mendapatkan pola berikutnya. MATEMATIKA 77 a. 3, … , 11, 15, …, 23, …, 31 b. 85, 78, … , 64, 57, …, 43, … c. 32, -16, 8, …, 2, …, 1 2 , …, … d. …, 1 3 , 1, …, 9, 27, …, 243, … Pola Bilangan Latihan 2.1 1. Lakukan penilaian sikap saat siswa melakukan kegiatan Diskusi dan Berbagi. DNXNDQ SHQLODLDQ SHQJHWDKXDQ VDDW VLVZD PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQ\R .LWD 0HQDODU 3. Indikator semua siswa sudah menguasai konsep adalah ketika siswa kelompok rendah sudah mampu menguasai konsep. 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDODWLKDQGHQJDQPDQGLUL DNXNDQNHJLDWDQSHPEHODMDUDQSHQJD\DDQGDQUHPHGLDO Pola Bilangan Latihan 2.1 7HQWXNDQELODQJDQEHULNXWQ\DGDULVXVXQDQELODQJDQ\DQJDGDGLEDZDKLQL a. 2, 10, 50, 250, …, …, … d. 3 4 , 1, 4 3 , 16 9 , …, …, … b. 192, 96, 48, 24, …, …, … e. 243, 81, 27, 9, …, …, … c. 164, 172, 180, 188, …, …, … Penyelesaian: a. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK b. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya GHQJDQò7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK c. Bilangan berikutnya didapatkan dengan menambahkan bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK d. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan 4 3 7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK 64 256 1.024 , , 27 81 243 . Buku Guru Kelas IX SMPMTs 78 e. Bilangan berikutnya didapatkan dengan membagi bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK 1 3 . 2. Lengkapilah susunan gambar yang ada di bawah ini pada bagian yang kosong. + + + + + + Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 2.10 0HOHQJNDSLVXVXQDQJDPEDU Penyelesaian: Guru bisa melihat contoh soal pada Kegiatan 2.1 bab A. Guru dapat memberikan variasi soal lainnya yang berkaitan dengan pola pada suatu susunan gambar. 3. Lengkapilah susunan bilangan di bawah ini berdasarkan pola yang ada pada tiap- WLDSVXVXQDQELODQJDQ a. 3, 5, 9, 15, 23, ..., 45, ..., ... d. 1, 4, 20, 80, ..., 1.600, 8.000, ..., ... b. 5, 10, 8, 14, 11, 18, ..., ..., ... e. 5, 6, 9, 14, 21, ..., ..., 54, ... c. 99, 94, 97, 92, 95, ..., ..., 88, ... Penyelesaian: a. 33; 59; 75 d. 400; 32.000; 160.000 b. 14; 22; 17 e. 30; 41; 69 c. 90; 93; 91

4. Susunan Lantai.

Perhatikan susunan Gambar 2.11 Susunan lantai lantai dari beberapa buah persegi yang diarsir seperti pada gambar di samping ini. Susunan persegi tersebut membentuk suatu pola tertentu. Berapakah banyak persegi yang diarsir pada pola ke-7? MATEMATIKA 79 Penyelesaian: Banyaknya persegi yang diarsir pada susunan pertama adalah 1. Banyaknya persegi yang diarsir pada susunan berikutnya didapatkan dengan menambahkan 4 buah persegi pada susunan sebelumnya. Jadi banyaknya persegi yang diarsir pada susunan ke-7 adalah 25. 5. Perhatikan susunan segitiga pada gambar di bawah ini: Gambar 2.12 Susunan segitiga D 7XOLVNDQODKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHVDPSDLVXVXQDQNH E HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNH F HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHn? Penyelesaian: a. Susunan ke-1 sampai ke-6 berturut-turut adalah 1, 3, 5, 7, 9, dan 11. Susunan berikutnya didapatkan dengan menambahkan dua segitiga pada susunan sebelumnya. b. Jumlah segitiga pada susunan ke-10 adalah 19. F 6XVXQDQELODQJDQ\DQJPHQ\DWDNDQMXPODKVHJLWLJDSDGDWLDSWLDSVXVXQDQ PHQJLNXWLDWXUDQSDGDELODQJDQJDQMLO-XPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHQ DGDODKELODQJDQJDQMLONHn yaitu 2n – 1. 6. Amir mencoba membuat sebuah menara yang disusun dari batang korek api. Berikut adalah susunan menara korek api yang dibuat oleh Amir. 1 tingkat 2 tingkat 3 tingkat Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 2.13 Susunan Batang Korek Api D XDWODKWDEHO\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNRUHNDSL\DQJGLJXQDNDQXQWXN PHPEXDWPHQDUDWLQJNDWWLQJNDWVDPSDLGHQJDQWLQJNDW Buku Guru Kelas IX SMPMTs 80 E HUDSDNDK EDQ\DN NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ MLND PLU LQJLQ PHPEXDW susunan 10 tingkat? c. Berapa banyak batang korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat? -HODVNDQMDZDEDQ Penyelesaian: a. Jumlah batang korek api yang dibutuhkan untuk membuat menara tingkat 1 sampai tingkat 8 berturut-turut adalah 3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, dan 108. b. Banyaknya korek api yang digunakan untuk membuat susunan 10 tingkat adalah 165. c. Bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api yang digunakan untuk membuat tiap-tiap susunan merupakan pola bilangan bertingkat. Susunan bilangan tersebut memiliki selisih tetap sebesar 3 pada tingkat 2. Dengan menggunakan aturan ini, maka akan diperoleh banyaknya batang korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat yaitu 3 2 n n :DZDQ PHPLOLNL EXDK NRWDN GHQJDQ XNXUDQ \DQJ EHUEHGDEHGD 0DVLQJ masing kotak berbentuk kubus. Wawan harus mengisi tiap kotak tersebut dengan NXEXVNXEXV NHFLO \DQJ PHPLOLNL SDQMDQJ VLVL FP :DZDQ WHODK PHQJLVL kotak. Jumlah kubus kecil yang tepat masuk ke dalam tiap-tiap kotak adalah sebagai berikut: 343, 216, 125, ..., ..., ..., ... HQJNDSLODK MXPODK NXEXV NHFLO \DQJ GLEXWXKNDQ XQWXN NHHPSDW NRWDN VHODQMXWQ\D Penyelesaian: 3DGDNRWDNSHUWDPDMXPODKNXEXVNHFLO\DQJWHSDWPDVXNNHGDODPQ\DDGDODK .RWDNLQLEHUEHQWXNNXEXVGHQJDQSDQMDQJVLVLDGDODKVDWXDQNXEXVNHFLO .RWDNNHGXDPHPLOLNLSDQMDQJVLVLVDWXDQNXEXVNHFLO.RWDNNHWLJDVDPSDL NRWDNNHWXMXKEHUWXUXWWXUXWPHPLOLNLSDQMDQJVLVLGDQVDWXDQNXEXV NHFLOHQJDQGHPLNLDQMXPODKNXEXVNHFLO\DQJWHSDWPDVXNNHGDODPNRWDN NHHPSDWVDPSDLNHWXMXKEHUWXUXWWXUXWDGDODKGDQ 8. Lengkapilah bagian-bagian yang kosong dalam pola bilangan di bawah ini: u u u u u u MATEMATIKA 81 Penyelesaian: u u u u u u 9. Perhatikan pola bilangan di bawah ini: a. 1 b. 1 2 3 2 3 4 4 5 6 5 6 7 8 9 7 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 7HQWXNDQELODQJDQSHUWDPDSDGDEDULVNHGDQGDULPDVLQJPDVLQJ VXVXQDQELODQJDQGLDWDVDJDLPDQDFDUDPHQGDSDWNDQQ\DSDNDKVLVZDGDSDW menentukan bilangan pertama pada baris ke-n untuk masing-masing susunan ELODQJDQGLDWDV-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW Penyelesaian: a. Perhatikan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Bilangan-bilangan tersebut membentuk pola bilangan bertingkat dengan selisih tetap sebesar 1 pada tingkat kedua. 1 +1 +1 +1 +1 +2 +3 +4 2 4 7 11 ... Dengan menggunakan aturan ini, dapatkan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Dengan demikian diperoleh bilangan pertama pada baris ke-40, ke-60, dan ke-100 berturut-turut adalah 781, 1.771, GDQLODQJDQSHUWDPDSDGDEDULVNHQDGDODKnn±GHQJDQ n adalah bilangan asli. Buku Guru Kelas IX SMPMTs 82

B. Barisan Bilangan

Pertanyaan Penting x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJDPDWLNHPEDOLFRQWRKFRQWRKVXVXQDQELODQJDQ\DQJ WHODKGLSHODMDULSDGDDE x HULNDQVHGLNLWSHQMHODVDQEDKZDELODQJDQ\DQJPHPLOLNLVXDWXSRODWHUWHQWX akan membentuk barisan bilangan. Pertanyaan Penting 3HUKDWLNDQNHPEDOLFRQWRKFRQWRKVXVXQDQELODQJDQ\DQJWHODKVLVZDSHODMDULSDGD Bab A. Susunan bilangan tersebut memiliki suatu pola atau aturan tertentu. Apa yang GLPDNVXGEDULVDQELODQJDQ8QWXNPHQJHWDKXLMDZDEDQQ\DFREDODNXNDQNHJLDWDQ kegiatan berikut ini. Kegiatan 2.5 Menentukan Urutan dalam Barisan Berdasarkan Tinggi Badan .HJLDWDQ LQL EHUWXMXDQ XQWXN PHQJDUDKNDQ VLVZD DJDU OHELK PHPDKDPL GH¿QLVLGDULEDULVDQELODQJDQ b. Perhatikan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Bilangan-bilangan tersebut membentuk pola bilangan bertingkat dengan selisih tetap sebesar 2 pada tingkat kedua. 1 +1 +2 +2 +2 +3 +5 +7 2 5 10 17 ... Dengan menggunakan aturan ini, dapatkan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Dengan demikian diperoleh bilangan pertama pada baris ke-40, ke-60, dan ke-100 berturut-turut adalah 1.522, 3.482, dan 9.802. Bilangan pertama pada baris ke-n adalah n n± dengan n adalah bilangan asli. MATEMATIKA 83 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJDPDWLGDWDWLQJJLEDGDQVLVZDSDGD7DEHO 3. Pada bagian ayo kita amati, minta siswa untuk mengamati data tinggi badan VLVZDNHODV,;603HULDEHUGDVDUNDQ7DEHO 4. Pada bagian ayo kita menalar minta siswa untuk mengurutkan tinggi badan dari yang terpendek hingga yang tertinggi, serta menuliskan hasil pengurutannya ke GDODP7DEHO 5. Pada bagian ayo kita menalar, minta siswa untuk mendiskusikan soal yang DGD GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNXQ\D 0LQWD VDODK VDWX SHUZDNLODQ VLVZD XQWXN PHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQNHODV 3DGD EDJLDQ D\R NLWD VLPSXONDQ PLQWD VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ GH¿QLVL dari barisan bilangan dan suku dari keterangan yang mereka dapat pada .HJLDWDQHULNDQSHQMHODVDQVHFXNXSQ\DMLNDPDVLKDGDVLVZD\DQJEHOXP PHPDKDPLGH¿QLVLGDULEDULVDQELODQJDQGDQVXNX Kegiatan 2.5 Menentukan Urutan dalam Barisan Berdasarkan Tinggi Badan Ayo Kita Amati 3DGD VHWLDS KDUL 6HQLQ SDJL VHOXUXK VLVZD 603 HULD VHODOX PHODNVDQDNDQ XSDFDUDEHQGHUD0HUHNDVHPXDEHUEDULVVHFDUDUDSLDJDUGDSDWPHQJLNXWLXSDFDUD EHQGHUDVHFDUDNKLGPDW6HWLDSNHODVGL603HULDWHUGLULGDULRUDQJVLVZD3DGD NHODV ,; MXPODK VLVZD ODNLODNL DGDODK RUDQJ GDQ MXPODK VLVZD SHUHPSXDQ MXJD RUDQJ RUPDVL EDULVDQ \DQJ GLEHQWXN ROHK WLDSWLDS NHODV DGDODK WHUGLUL GDULEDULV\DQJVHMDMDUGLPDQDEDULVSHUWDPDGLLVLROHKVLVZDODNLODNLGDQEDULV kedua diisi oleh siswa perempuan. Berikut adalah data siswa laki-laki beserta tinggi EDGDQQ\DGLNHODV,; 7DEHODWD7LQJJLDGDQ6LVZD.HODV,;603HULDGDODPFP Nama Siswa Tinggi Badan Fahim 157 0X¿G 154 Wawan 163 +D¿G 169 Buku Guru Kelas IX SMPMTs 84 Nama Siswa Tinggi Badan Budi 173 Aldo 176 Stevan 151 Andika 165 Andre 160 5XGL 179 Ayo Kita Mencoba 0LQWDVLVZDPHPSHUKDWLNDQGDWDWLQJJLEDGDQGDULVLVZDNHODV,;603 HULDVHSHUWL\DQJWHUOLKDWSDGD7DEHO a. Siapakah siswa tertinggi dan siswa terpendek dalam kelas tersebut? E 0LQWD VLVZD PHQFRED PHQJXUXWNDQ VLVZDVLVZD WHUVHEXW GDODP VXDWX EDULVDQ sesuai dengan tinggi badan tiap-tiap siswa dari yang terpendek sampai yang WHUWLQJJL7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODPWDEHOEHULNXWLQL 7DEHO+DVLO3HQJXUXWDQ6LVZDHUGDVDUNDQ7LQJJLDGDQGDODPFP Urutan ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nama Siswa Tinggi Badan c. Siapakah siswa yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-8, dan berapa tinggi siswa tersebut? Ayo Kita Menalar 0HQXUXWVLVZDEDJDLPDQDDWXUDQXQWXNPHQJXUXWNDQNHVHSXOXKVLVZDWHUVHEXW dalam satu barisan berdasarkan tinggi badannya? MATEMATIKA 85 Informasi Utama Susunan bilangan yang menyatakan tinggi badan kesepuluh siswa tersebut membentuk suatu barisan bilangan GHQJDQDWXUDQSRODWHUWHQWXLODQJDQELODQJDQ yang terdapat dalam barisan bilangan tersebut dikenal dengan nama suku. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U 1 , U 2 , U 3 , …, U n . Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.5 di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Apa yang dimaksud dengan barisan bilangan? Apa yang dimaksud suku dari barisan bilangan? Kegiatan 2.6 Menyusun Batang Korek Api 1. Pada kegiatan ini, guru membagi siswa ke dalam beberapa kelompok. Satu kelompok terdiri atas 3 sampai 4 siswa. 7LDS NHORPSRN GLZDMLENDQ PHPEDZD SHUDODWDQ EHULNXW NRWDN NRUHN DSL kertas karton, lem, kertas untuk mencatat hasil pengamatan. 7LDSNHORPSRNVLVZDGLPLQWDXQWXNPHODNXNDQNHJLDWDQGDQPHQFDWDWKDVLO SHQJDPDWDQSDGD7DEHO 4. Pada bagian ayo kita menalar, minta siswa untuk mendiskusikan soal di yang DGDGHQJDQWHPDQVHNHORPSRNQ\D0LQWDVDODKVDWXSHUZDNLODQVLVZDXQWXN PHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQNHODV HULNDQSHQMHODVDQVHFXNXSQ\DNHSDGDVLVZD\DQJEHOXPPHPDKDPLPDWHUL dengan baik. Kegiatan 2.6 Menyusun Batang Korek Api Ayo Kita Mencoba Buatlah kelompok yang terdiri dari 3 atau 4 anak. Sediakan 2 kotak korek api dan kertas karton. Pada tiap-tiap batang korek api oleskan lem sehingga batang korek api Buku Guru Kelas IX SMPMTs 86 WHUVHEXWGDSDWGLWHPSHONDQSDGDNHUWDVNDUWRQ7HPSHONDQEDWDQJNRUHNDSLWHUVHEXW pada kertas karton dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini: Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 2.14 Susunan batang korek api Ayo Kita Amati 0LQWD VLVZD PHQJDPDWL VXVXQDQ \DQJ GLEHQWXN GDUL EDWDQJ NRUHN DSL VHSHUWL pada gambar di atas. Pada kegiatan tersebut, dapat dilihat bahwa untuk membuat susunan ke-1 dan ke-2 masing-masing diperlukan 4 dan 7 batang korek api. Berapa banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan ke-3, ke-4, dan NH7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQSDGDWDEHOEHULNXW 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQEDQ\DNEDWDQJNRUHNDSLSDGDWLDSVXVXQDQ Susunan ke- Banyak batang korek api 1 4 2 7 3 … 4 … 5 … MATEMATIKA 87 0HQXUXWVLVZDEHUDSDNDKMXPODKWXWXSEDWDQJNRUHNDSL\DQJGLSHUOXNDQXQWXN membuat pola ke-6 dan ke-7? Ayo Kita Menalar 3HUKDWLNDQNHPEDOLELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DEDWDQJNRUHNDSLGDUL KDVLOSHQJDPDWDQVLVZDSDGDNRORPNHGXD7DEHOVHWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQ di bawah ini. D SDNDKELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DEDWDQJNRUHNDSL\DQJGLEXWXKNDQ untuk membuat setiap susunan membentuk suatu barisan bilangan? E HUGDVDUNDQ7DEHOEDJLDQPDQD\DQJPHQXQMXNNDQVXNXVXNXGDULEDULVDQ bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G SDNDKVHOLVLKDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS Informasi Utama Dari Kegiatan 2.6 yang telah siswa lakukan, dapat siswa lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api untuk membuat tiap- tiap susunan membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan aritmetika. Selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap dan disebut beda. Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.6 di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan aritmetika? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Ayo Kita Mencoba 3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHOLODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan pertama sampai kelima dapat dituliskan dalam bentuk 4, 7, 10, 13, 16. Apakah siswa dapat menentukan banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan NHGDQNHDSDWNDKVLVZDPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D Buku Guru Kelas IX SMPMTs 88 8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQLDQ\DNQ\D EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW WLDSWLDS VXVXQDQ VHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan aritmetika yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini: Susunan ke- Suku Pola Bilangan dengan Beda 3 1 4 ±u 3 2 7 ±u 3 3 10 ±u 3 4 13 ±u 3 5 … … 6 … … 7 … … 8 … … Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 4 menyatakan suku ke-1 dari barisan aritmetika tersebut. Bilangan 7 menyatakan suku ke-2 dari barisan aritmetika tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku kedua adalah 7, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan GHQJDQ EHGD DGDODK ± u 3. Angka 4 pada bagian pertama ruas NDQDQ SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ suku pertama dari barisan aritmetika \DQJWHUEHQWXNQJNDPHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQsuku ke-2. Sedangkan DQJNDPHQXQMXNNDQbeda dari barisan aritmetika tersebut. Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatan di atas, minta siswa membuat pertanyaan yang berkaitan dengan kegiatan tersebut. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Apakah hubungan antara suku pertama dengan suku-suku berikutya pada barisan DULWPHWLND7XOLVNDQSHUWDQ\DDQGDODPEXNXWXOLV MATEMATIKA 89 Ayo Kita Menalar a. Bagaimana cara siswa menentukan suku ke-9, 10, dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? E 0HQXUXWVLVZDDSDKXEXQJDQDQWDUDVXNXSHUWDPDEHGDGHQJDQQLODLWLDSWLDS suku dari barisan aritmetika tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan aritmetika tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas. b. Jika suku pertama dari suatu barisan aritmetika disimbolkan dengan a¸ beda dari barisan aritmetika disimbolkan dengan b, dan suku ke-n dari barisan aritmetika disimbolkan dengan U n , tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan b. 7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQGLGHSDQWHPDQPX Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Bagaimana rumus suku ke-n GLVRPERONDQGHQJDQU n GDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan beda dalam barisan aritmetika adalah b? Kegiatan 2.7 Melipat dan Menghitung Potongan Kertas .HJLDWDQLQLGLODNXNDQVHFDUDLQGLYLGX7LDSVLVZDGLPLQWDXQWXNPHPEDZD satu lembar kertas hvs. 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJLNXWLWLDSODQJNDKSDGD.HJLDWDQGDQPHQMDZDE pertanyaan yang ada berdasarkan hasil pengamatan. 3DGDEDJLDQD\RNLWDDPDWLPLQWDVLVZDXQWXNPHQJDPDWLMXPODKSRWRQJDQ kertas yang ada pada setiap lipatan dan menuliskan hasil pengamatan pada 7DEHO Buku Guru Kelas IX SMPMTs 90 3DGDEDJLDQD\RNLWDPHQDODUPLQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVHFDUDPDQGLUL GDQPLQWDVDODKVDWXSHUZDNLODQVLVZDXQWXNPHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQ kelas. HULNDQ NHVHPSDWDQ NHSDGD VLVZD XQWXN EHUWDQ\D GDQ EHULNDQ SHQMHODVDQ secukupnya bagi siswa yang belum memahami materi dengan baik. Kegiatan 2.7 Melipat dan Menghitung Potongan Kertas Ayo Kita Mencoba 3DGDNHJLDWDQLQLVLVZDGLZDMLENDQXQWXNPHPEDZDVDWXOHPEDUNHUWDVKYV,NXWL langkah-langkah kegiatan di bawah ini: LSDWODKVDWXOHPEDUNHUWDV\DQJGLEDZDVHKLQJJDPHQMDGLEDJLDQ\DQJVDPD Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah VXVXQDQ NHUWDV WHUVHEXW PHQMDGL EDJLDQ \DQJ VDPD NHPXGLDQ JXQWLQJODK menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? DNXNDQNHJLDWDQWHUVHEXWVDPSDLNDOL Ayo Kita Amati 0LQWD VLVZD PHQJDPDWL MXPODK SRWRQJDQ NHUWDV \DQJ DGD VHWLDS NDOL VLVZD melakukan kegiatan melipat dan menggunting kertas. Setelah melakukan kegiatan ini sebanyak 1 dan 2 kali, diperoleh banyak potongan kertas yang ada masing-masing VHEDQ\DNGDQ7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQSDGDWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQMXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXN Kegiatan Melipat dan Menggunting Kertas ke- Banyak Potongan Kertas 1 2 2 4 3 … MATEMATIKA 91 Kegiatan Melipat dan Menggunting Kertas ke- Banyak Potongan Kertas 4 … 5 … 6 … 7 … a. Berapakah banyak potongan kertas setelah siswa melakukan kegiatan tersebut sampai 8 kali? E 7HQWXNDQ EDQ\DN SRWRQJDQ NHUWDV MLND VLVZD PHODNXNDQ NHJLDWDQ PHOLSDW GDQ menggunting kertas tersebut sampai 10 kali? Ayo Kita Menalar Perhatikan kembali bilangan-bilangan pada pengamatan terhadap banyak SRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXNVHVXDL7DEHO6HWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQGL bawah ini: a. Apakah bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas membentuk suatu barisan bilangan? E HUGDVDUNDQ 7DEHO EDJLDQ PDQDNDK \DQJ PHQXQMXNNDQ VXNXVXNX GDUL barisan bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G SDNDKSHUEDQGLQJDQDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS Informasi Utama Dari Kegiatan 2.7 yang telah dilakukan siswa, siswa dapat melihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya potongan kertas pada tiap-tiap kegiatan melipat dan menggunting kertas membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan geometri. Perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu bernilai tetap dan disebut rasio. Buku Guru Kelas IX SMPMTs 92 Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.7 di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan geometri? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Ayo Kita Amati 3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHOLODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ MXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJDGDSDGDNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHPRWRQJNHUWDVNH sampai ke-7 dapat dituliskan dalam bentuk 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Apakah siswa dapat menentukan banyak potongan kertas yang terbentuk pada kegiatan ke-8 dan NHJLDWDQNHDSDWNDKVLVZDPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D 8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQLDQ\DNQ\D SRWRQJDQNHUWDVSDGDWLDSWLDSNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHQJJXQWLQJNHUWDVVHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan geometri yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini. Susunan ke- Suku Pola Bilangan dengan Rasio 2 1 2 2 = 2 u 2 1 – 1 2 4 4 = 2 u 2 2 – 1 3 8 8 = 2 u 2 3 – 1 4 16 16 = 2 u 2 4 – 1 5 … … 6 … … 7 … … 8 … … MATEMATIKA 93 Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 2 menyatakan suku ke-1 dari barisan geometri tersebut. Bilangan 4 menyatakan suku ke-2 dari barisan geometri tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku ketiga adalah 8, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan dengan rasio 2 adalah 8 = 2 u 2 3 – 1 . Angka 2 pada bagian pertama ruas kanan SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL \DQJ terbentuk. Pada bagian perpangkatan, angka 2 yang merupakan basis dari SHUSDQJNDWDQWHUVHEXWPHQXQMXNNDQUDVLRGDULEDULVDQJHRPHWUL6HGDQJNDQDQJND PHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQVXNXNHGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatan siswa di atas, coba buatlah pertanyaan yang EHUNDLWDQGHQJDQEDULVDQJHRPHWUL7XOLVNDQSHUWDQ\DDQNDOLDQGLEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar a. Bagaimana cara siswa menentukan suku ke-9, 10, dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? E 0HQXUXWVLVZDDSDKXEXQJDQDQWDUDVXNXSHUWDPDUDVLRGHQJDQQLODLWLDSWLDS suku dari barisan geometri tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan geometri tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas? b. Jika suku pertama dari barisan geometri tersebut disimbolkan dengan a¸ rasio dari barisan geometri disimbolkan dengan r, dan suku ke-n dari barisan geometri disimbolkan dengan U n , tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan r. 7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQGLGHSDQWHPDQPX Buku Guru Kelas IX SMPMTs 94 Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Bagaimana rumus suku ke-n GLVRPERONDQGHQJDQU n GDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan rasio dalam barisan geometri adalah r? Barisan Bilangan Materi Esensi x 0DWHUL HVHQVL PHQJHQDL EDULVDQ ELODQJDQ PHPEDKDV EDULVDQ DULWPDWLND GDQ barisan geometri beserta rumusnya. x Berikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya pada materi yang belum dipahami. x Berikan bantuan pada siswa yang masih mengalami kesulitan dalam memahami materi barisan bilangan. Barisan Bilangan Materi Esensi Susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu disebut barisan bilangan. Kedudukan tiap-tiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku-suku dari barisan bilangan tersebut. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U 1 , U 2 , U 3 , …, U n .

A. Barisan Aritmetika

REDVLVZDSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKVLVZDGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini. 4 +3 +3 +3 +3 +3 7 10 13 16 ... 7HUOLKDWEDKZDVHOLVLKDQWDUGXDVXNXEHUXUXWDQDGDODKDWDXELVDGLWXOLVNDQ sebagai berikut U 2 – U 1 = 3 U 3 – U 2 = 3 MATEMATIKA 95 U 4 – U 3 = 3 U n – U n – 1 = 3 Suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan 3 pada suku sebelumnya. QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQbeda. Pada barisan aritmetika tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 4, dan beda barisan aritmetika tersebut adalah 3, sehingga rumus suku ke-n adalah U n = 4 + n±u 3. Barisan bilangan U 1 , U 2 , U 3 , …, U n disebut barisan aritmetika MLNDVHOLVLKDQWDUD dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih antara dua suku yang berurutan disebut dengan beda. Secara umum, suatu barisan aritmetika dengan suku pertama U 1 = a , dan beda antara dua suku yang berurutan adalah b, maka suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah U n = a + n – 1 u b. Tahukah Kamu? DULVDQ DULWPHWLND GLVHEXW EDULVDQ DULWPHWLND QDLN MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ EHVDUGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKSRVLWLI DULVDQDULWPHWLNDGLVHEXWEDULVDQDULWPHWLNDWXUXQMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQ NHFLOGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKQHJDWLI

B. Barisan Geometri

REDVLVZDSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKVLVZDGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini 2 u2 u2 u2 u2 u2 4 8 16 32 ... 7HUOLKDW EDKZD SHUEDQGLQJDQ DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK DWDX ELVD dituliskan: 2 1 = 2 U U 3 2 = 2 U U