14
Tahapan iterasi dalam penaksiran koefisien regresi Winahju, 2010 adalah: 1. Dihitung penaksir
β, dinotasikan b menggunakan least square, sehingga
didapatkan
,
ˆ
i
y
dan ε
i,0
= y
i
−
,
ˆ
i
y
, i = 1, 2, ... n yang diperlakukan sebagai nilai awal y
i
adalah hasil eksperimen. 2. Dari nilai-nilai residual ini dihitung
ˆ σ , dan pembobot awal w
i,0
=
, ,
i i
ε ε
ψ .
Nilai ψε
i
dihitung sesuai fungsi Huber, dan ε
i,0
= ε
i,0
ˆ σ .
3. Disusun matrik pembobot berupa matrik diagonal dengan elemen w
1,0
, w
2,0
, . . . , w
n,0
, dinamai W .
4. Dihitung penaksir koefisien regresi: b
Robust ke 1
= X
T
W X
-1
X
T
W Y
5. Dengan menggunakan b
Robust ke 1
dihitung pula
∑
=
−
n i
i i
y y
1 1
,
| ˆ
|
atau
∑
= n
i i
1 1
.
| |
ε .
6. Selanjutnya langkah 2 sampai dengan 5 diulang sampai didapatkan
∑
= n
i m
i 1
.
| |
ε
konvergen. Nilai
∑
= n
i m
i 1
.
| |
ε yang konvergen adalah selisih antara
�
�+1
dan �
�
mendekati 0; � = banyak iterasi.
Persamaan 2.15 menunjukkan bahwa penduga-M hanya menggunakan median pada pembentukan nilai pembobot. Kelemahan median adalah kurangnya
pertimbangan pada pola sebaran data dan bukan merupakan fungsi dari keseluruhan data. Rousseeuw dan Yohai 1984 memperkenalkan penduga-S yang
merupakan pengembangan dari penduga-M. Penduga-S menggunakan simpangan baku sisaan untuk mengatasi kelemahan dari median. Menurut Salibian dan Yohai
2006 penduga-S �̂
�
dinyatakan dalam bentuk rumus sebagai berikut: �̂
�
= min ∑
� �
�
�
�
�
�
� �=1
atau �̂
�
= min ∑
� �
�
�
−�
��
�
�
�
�
�
� �=1
2.17
Penyelesaian persamaan 2.17 adalah dengan cara menurunkannya terhadap � sehingga,
15
���
�
��
= ∑
�
��
�
� �=1
�
�
�
�
�
� = 0 2.18
� disebut fungsi pengaruh yang merupakan turunan dari �, sedangkan �
�
didefinisikan sebagai: �
�
= �
� ∑ �
� �
2
− �∑ �
� �
� �=1
�
2 �
�=1
��−1
2.19 Di mana
�
� �
adalah sisaan yang diperoleh melalui penduga-M. Persamaan 2.18 dapat diselesaikan melalui MKT terboboti secara iterasi yang disebut
Iteratively Reweighted Least Squares Iterasi kuadrat terkecil terboboti kembali. Sisaan awal yang digunakan pada penduga-S adalah sisaan yang diperoleh dari
penduga-M. Selanjutnya dikatakan bahwa Iterasi kuadrat terkecil terboboti kembali merupakan proses pendugaan melalui metode kuadrat terkecil terboboti
dilanjutkan dengan menghitung sisaan dan pembobot ��
�
yang baru dan dilakukan pendugaan secara berulang-ulang sampai konvergen. Kekonvergen
tercapai jika perubahan jumlah mutlak sisaan, ∑
| �
�:�
|
� �=1
dari iterasi terakhir ke iterasi berikutnya kurang dari 0,01 Salibian dan Yohai, 2006.
Fungsi � pada persamaan 2.17 disebut fungsi kriteria � disarankan
memakai fungsi obyektif berikut Tukey, 1977, dalam Chen, 2002: �u
i
= �
c
2
[1 −�1−
u i c
2
�
3
] 6
, | �
�
| ≤ c
c
2
6
, | �
�
| c 2.20
dengan fungsi pengaruh: ��
�
= �
′
�
�
= �
�
�
1 −
u
i
c 2
2
, | �
�
| ≤ c
0, | �
�
| c Oleh karena
�
�
=
��
�
�
�
, sehingga: �
�
= �
[1 −
u
i
c 2
]
2
, | �
�
| ≤ c
0, | �
�
| c 2.21
Rousseeuw dan Leroy 1987 menyarankan nilai � = 1,547 agar mendapatkan
nilai breakdown point 50. Fungsi pengaruh atau penimbang ini disebut fungsi Tukey atau bisquare weight atau biweight. Selanjutnya diterangkan juga bahwa
secara umum ide dalam biweight adalah bahwa sisaan yang kecil mendapatkan
16
bobot yang besar. Secara ringkas, fungsi obyektif dan pembobot dari estimator Least Square, Huber, dan Tukey Bisquare dapat dilihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Fungsi Objektif , Fungsi Influence dan Fungsi Pembobot untuk
Least Square, Huber, dan Tukey Bisquare
Metode Least
Square Huber
Tukey Bisquare Fungsi
objektif
2 i
LS
e e
=
ρ
−
≤ =
r e
untuk r
e r
r e
untuk e
e
i i
i i
H
| |
, 2
| |
| |
, 2
2 2
ρ
≤
− −
= r
e untuk
r r
e untuk
e
i i
r e
k
i
2 3
2 6
B
6 1
1
2
ρ
Fungsi influence
i LS
e e
=
ψ
− −
≤ =
r e
untuk r
r e
untuk r
r e
untuk e
e
i i
i i
H
ψ
≤
− =
r e
untuk r
e untuk
e e
i i
r e
i
i
2 2
B
1 ψ
Fungsi Pembobot
1 =
e w
LS
≤ =
r e
untuk e
r r
e untuk
e w
i i
i H
1
≤ −
= r
e untuk
r e
untuk e
w
i i
r e
i
2 2
B
1
Sumber: Fox 2002, Montgomery 1992
Langkah-langkah menentukan regresi robust penduga-S Salibian dan Yohai, 2006 adalah sebagai berikut:
a. Didapatkan vektor penduga awal �
1
, �
2
, … , �
�
dari model regresi dengan MKT didapatkan galat
�
�
. b. Dari sisaan awal dihitung
�
�
sesuai persamaan 2.15 untuk mendapatkan �
�
berdasarkan persamaan 2.14. c. Menghitung nilai
�
�
sesuai persamaan 2.21. d. Dengan menggunakan MKT terboboti didapatkan penduga kuadrat terkecil
terboboti:
β = X’WX
-1
X’WY
e. Menjadikan sisaan langkah d sebagai sisaan awal pada langkah b, sehingga didapatkan nilai
�
�
dan pembobot �
�
yang baru. f.
Iterasi diulang sampai didapatkan kekonvergenan sehingga diperoleh �
�
, �
1 �
, … , �
� �
yang merupakan penduga-M sehingga didapatkan sisaan �
� �
.
17
g. Dari sisaan yang diperoleh pada langkah f, dihitung robust �
�
sesuai persamaan2.19 untuk mendapatkan nilai
�
�
sesuai persamaan 2.14. h. Menghitung nilai
�
�
sesuai persamaan 2.21. i.
Digunakan MKT terboboti untuk mendapatkan penduga kuadrat terkecil terboboti:
β = X’WX
-1
X’WY
j. Menjadikan sisaan yang diperoleh pada langkah i sebagai sisaan pada
langkah g, sehingga didapatkan nilai �
�
dan pembobot �
�
yang baru. k. Iterasi ulang sampai didapatkan kekonvergenan sehingga diperoleh
�
�
, �
1 �
, … , �
� �
yang merupakan penduga-S.
2.5.2 Regresi Robust Penduga Least Trimmed Squares LTS
