4 Pindah sekolah dan pindah sekolah.
5 Kelemahan dari sistem belajar mengajar dari tingkat-tingkat
pendidikan sebelumnya. 6
Kelemahan yang terdapat dalam kondisi rumah tangga pendidikan, status sosial dan lain sebagainya
7 Terlalu banyak kegiatan diluar jam pelajaran sekolah
8 Kekurangan makan gizi dan sebagainya.
D. Bilangan Real
1. Operasi pada bilangan real
Menurut Bartle dan Sherbert dalam Julan Hernadi, 2015:6. Pada himpunan semua bilangan real
ℝ terdapat dua operasi biner, dinotasikan dengan “+” dan “.” yang disebut penjumlahan addition dan perkalian
multiplication. Operasi biner tersebut memiliki sifat-sifat berikut: a.
Operasi pada penjumlahan i
+ = + untuk semua , ∈ ℝ sifat komutatitif penjumlahan
ii + + = +
+ untuk semua , , ∈ ℝ sifat assosiatif penjumlahan
iii Terdapat
∈ ℝ sedemikian sehingga + = + = untuk semua
, ∈ ℝ eksistensi elemen nol PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv Untuk setiap
∈ ℝ terdapat − ∈ ℝ sedemikian sehingga + − = dan − + = eksistensi elemen negatif
atau invers penjumlahan b.
Operasi pada perkalian i
. = . untuk semua , ∈ ℝ sifat komutatitif perkalian ii
. . = . . untuk semua , , ∈ ℝ sifat assosiatif perkalian
iii Terdapat
∈ ℝ sedemikian sehingga . = dan . = untuk semua
, ∈ ℝ. iv
Untuk setiap ∈ ℝ, ≠ terdapat ∈ ℝ sedemikian
sehingga a. = 1 dan
.a = 1. Untuk operasi
. +
= . + . dan + . = . +
. untuk operasi , , ∈ ℝ merupakan sifat disributif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
2. Sifat-sifat bilangan berpangkat
Untuk menyelesaikan atau menyederhanakan bentuk bilangan berpangkat, digunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, yaitu:
a. Operasi pemangkatan
Secara umum untuk ∈ ℕ , adalah dipangkatkan dengan
didefinisikan oleh = . . . . . . .
⏟
�
b. Perkalian bilangan berpangkat
Untuk ∈ ℝ dan , ∈ ℕ maka perkalian bilangan berpangkat
dapat dinyatakan sebagai berikut: .
=
+
, ≠ Bukti:
= . . . . . . .
⏟
�
= . . . . . . .
⏟
�
+
= . . . . . . .
⏟
�
. . . . . . .
⏟
�
∎
Contoh:
1. .
=
+
= 2.
× =
+
=
c. Pembagian bilangan berpangkat
Untuk ∈ ℝ dan , ∈ ℕ maka pembagian bilangan berpangkat
dapat dinyatakan sebagai berikut: =
−
, ≠ Bukti:
= . . . . . . .
⏟
�
= . . . . . . .
⏟
�
=
. . ..... ⏞
�
. . ..... ⏟
�
Bentuk tersebut dapat diubah menjadi: =
. . . ..... . ⏞
�
. . ..... ⏞
�
. . . ..... ⏟
�
=
−
∎
Contoh:
1. ÷
= =
2. ÷
=
−
= =
d. Perpangkatan bilangan berpangkat
Untuk ∈ ℝ dan , ∈ ℕ maka pemangkatan bilangan berpangkat
dapat dinyatakan sebagai berikut: =
.
, ≠ Bukti:
=
. .
. . . . . ⏟
�� � �
Dengan menggunakan sifat perkalian bilangan berpangkat
=
+ + +. . .+
dengan sebanyak =
.
∎
Contoh:
1. =
×
=
2. =
=
×
= =
e. Perpangkatan dari perkalian dua atau lebih bilangan
Untuk , ∈ ℝ dan ∈ ℕ maka perpangkatan dari perkalian dua
atau lebih bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut: .
= . , ≠ , ≠
Bukti: .
= . . . . . … . . . ⏟
�� � �
Menggunakan sifat komutatif perkalian
.
= . . … . . ⏟
�� � �
. . … . . ⏟
�� � �
.
= ∎
Contoh:
1. .
= . 2.
. . = . .
f. Perpangkatan bilangan pecahan
Untuk , ∈ ℝ dan
∈ ℕ maka pemangkatan bilangan pecahan bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut:
っ
= , ≠ , ≠
Bukti: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= .
. … . .
⏟
�� � �
Menggunakan sifat assosiatif pada perkalian
= . . … . .
⏞
�� � �
. . … . . ⏟
�� � �
= ∎
g. Bilangan berpangkat nol.
Untuk ∈ ℝ maka bilangan berpangkat nol dapat dinyatakan sebagai
berikut: = , ≠
Bukti: =
Dengan menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat =
−
= ∎
h. Bilangan berpangkat negatif
Untuk ∈ ℝ dan
∈ ℕ maka pangkat bilangan negatif dapat dinyatakan sebagai berikut:
−
= , ≠
Bukti:
+
= . . … . .
⏞
�
. … … .
⏟
�
. … . .
⏟
�
+
=
. ….. ⏟
�
= ∎
Contoh:
1.
−
=
2. =
−
=
− ×
=
−
= i.
Bilangan berpangkat pecahan Untuk
∈ ℝ dan ∈ ℕ maka bilangan berpangkat
yang dipangkatkan sebesar n dapat ditulis sebagai berikut:
= . . …
⏟
�
=
.
= =
√ √
diartikan sebagai akar pangkat ke-n dari , sehingga
=
√
Contoh:
1. =
√
=
√
2.
√
= =
= 3.
=
√
=
√
E. Kerangka berpikir
