BAB II RUANG METRIK
Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang metrik, kekonvergenan, himpunan terbuka yang akan melandasi pembahasan bab-bab selanjutnya.
A. Ruang Metrik
Pada sub bab ini akan dibahas definisi dan contoh ruang metrik.
Definisi 2.1.1.
Diketahui himpunan X tidak kosong. Suatu metrik metric pada X adalah fungsi d dari
X X
× ke R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
a. d
p,q ≥0; untuk setiap p,q∈X.
b. d
p,q=0 jika dan hanya jika p = q. c.
d p,q= dq,p; untuk setiap p,q
∈X d.
d p,q
≤ dp,r+ dr,q; untuk setiap p,q,r∈X Pertidaksamaan segitiga
Suatu ruang metrik adalah pasangan X,d, dengan X himpunan tidak kosong dan d
adalah metrik pada X. Anggota ruang metrik disebut titik point. Bilangan d
x,y disebut jarak titik x ke titik y. Sering kali pasangan X,d disingkat dengan X
saja apabila metriknya sudah cukup jelas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.1.1
Diberikan X sebarang himpunan yang tidak kosong. Didefinisikan fungsi dx,y =
⎩ ⎨
⎧ =
≠ y
x y
x ,
, 1
, untuk setiap x,y ∈X
Akan ditunjukkan X,d adalah ruang metrik. i
d x,y
≥0 ii
d x,y=0 jika dan hanya jika x = y
iii d
x,y = dy,x Untuk i, ii, dan iii jelas dari definisi fungsi
y x
d ,
di atas. iv
Jika dx,y=0, jelas dx,y ≤ dx,z + dz,y
Jika dx,y=1, kemungkinannya : a.
x =z dan z
≠y d
x,y ≤ dx,z + dz,y
b. x
≠z dan z=y d
x,y ≤ dx,z + dz,y
c. x
≠z dan z≠y d
x,y ≤ dx,z + dz,y
Untuk selanjutnya ruang metrik ini disebut ruang metrik diskrit.
Contoh 2.1.2 Diberikan X = R dan didefinisikan fungsi d :
R R
R →
×
dengan definisi d
x,y=
y x
−
;
untuk setiap x,y
∈R.
Akan ditunjukkan X, d adalah ruang metrik. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i d
x,y =
y x
−
≥0, jelas dari definisi.
ii d
x,y =
y x
−
= 0 jika dan hanya jika x=y.
iii d
x,y =
y x
−
=
x y
+ −
=
x y
− −
=
1 −
x y
−
=
1
x y
−
=
x y
−
= d y,x
iv d
x,y =
y x
−
=
y z
z x
− +
−
=
y z
z x
− +
−
≤
z x
−
+
y z
−
= d x,z + dz,y
Selanjutnya ruang metrik ini disebut ruang metrik biasa usual metric space.
Contoh 2.1.3 Diberikan X = R
n
dan didefinisikan fungsi d: R
R R
n n
→ ×
dengan definisi
, y
x d
=
2 1
1 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
∑
= n
i i
i
y x
, untuk setiap ,...,
, ,
,..., ,
2 1
2 1
n n
y y
y y
x x
x x
= =
∈R
n
. Akan ditunjukkan X,d adalah ruang metrik
i ,
y x
d ≥ 0, jelas dari definisi.
Kategori