Pemetaan Definisi 2.1 Pemetaan Kumpulan Contoh Jurnal Matematika Murni | 2582 7731 1 SM

118 Volume 3 No. 2 Mei 2014 Definisi 2.3.2 Barisan Konvergen Barisan di ruang metrik = , dikatakan konvergen jika ada ∈ , maka lim →∞ , = disebut limit dari dapat juga ditulis dengan lim →∞ = atau → Barisan yang tidak konvergen disebut divergen Kreyszig, 1978:25. Teorema 2.3.3 Jika barisan konvergen di dalam ruang metrik , , maka barisan tersebut terbatas dan limit barisan tunggal. Definisi 2.3.4 Barisan Cauchy Barisan di dalam ruang metrik , dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk semua , berlaku , Ghozali, 2010:12. Teorema 2.3.5 Setiap barisan yang konvergen dalam suatu metrik , merupakan barisan Cauchy Definisi 2.3.6 Ruang Metrik Lengkap Ruang metrik , dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy konvergen di dalam Sherbet dan Bartle, 2000:330. 4. Ruang Vektor Bernorma Definisi 2.4.1 Ruang Vektor Bernorma Ruang vektor bernorma adalah ruang vektor dengan pemetaan ∥ ∥: → � + , dengan sifat-sifat 1. ∥ ∥= jika dan hanya jika = ∈ 2. ‖ ‖ = | |‖ ‖ untuk setiap ∈ dan skalar 3. ‖ + ‖ ‖ ‖ + ‖ ‖ untuk setiap , ∈ Ruang vektor bernorma ini dinotasikan dengan , ∥ ∥ dan pemetaan ini ∥ ∥ disebut norma pada ruang Cohen, 2003:174. Contoh Misalkan merupakan ruang vektor berdimensi hingga di � dengan basis { , , , … , } yang mana ∈ dapat juga ditulis dengan = ∑ � = dengan � , � , � , … , � ∈ �. Maka fungsi ‖ ‖: → ℝ didefinisikan dengan ‖ ‖ = ∑|� | = Merupakan norma di

5. Kekonvergenan dalam Ruang Bernorma

Menurut Cohen 2003:178 dalam mempertimbangkan ruang bernorma menjadi ruang metrik dapat diketahui dengan satu cara. Kemudian gagasan yang terkait pada kekonvergenan barisan di ruang metrik dapat dipindahkan ke ruang bernorma. Oleh sebab itu, dapat disimpulkan dengan barisan di ruang norma konvergen jika terdapat bilangan dan terdapat elemen ∈ serta terdapat bilangan bulat positif seperti ‖ − ‖ dimana dapat ditulis dengan → atau � � = dan disebut limit pada barisan. Definisi 2.5.1 Ruang Banach Setiap ruang vektor bernorma yang lengkap disebut ruang Banach Cohen, 2003:178. 6. Teorema Titik Tetap Definisi 2.6.1 Misalkan � merupakan pemetaan dari ruang metrik , ke dalam dirinya sendiri a. Sebuah titik ∈ sedemikian sehingga � = maka disebut titik tetap pada pemetaan � b. Jika ada , dengan , maka untuk setiap pasangan dari titik , ∈ diperoleh � , � , Kemudian � disebut pemetaan kontraksi atau kontraksi sederhana, sedangkan disebut kontraksi konstan di � Cohen, 2003:116. Teorema 2.6.2 Jika � adalah pemetaan kontraksi di ruang metrik maka � kontinu di . Teorema 2.6.3 Teorema Titik Tetap Titik Tetap Banach Setiap pemetaan kontraksi di ruang metrik lengkap hanya mempunyai titik tetap tunggal. 7. Pemetaan Definisi 2.7.1 Pemetaan Misalkan dan adalah ruang metrik. Pemetaan � dari himpunan ke himpunan dinotasikan dengan �: → adalah suatu Cauchy – ISSN: 2086-0382 119 pengawanan setiap ∈ dikawankan secara tunggal dengan ∈ dan ditulis = � . Definisi 2.7.2 Pemetaan Kontinu Misalkan = , dan = , adalah ruang metrik. Pemetaan �: → dikatakan kontinu di titik ∈ jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap ∈ dengan , maka berlaku � , � Pemetaan � dikatakan kontinu pada jika � kontinu di setiap titik anggota . Definisi 2.7.3 Komposisi Pemetaan Misalkan , dan adalah ruang metrik. jika : → dan : → maka komposisi pemetaan merupakan pemetaan dari → yang didefinisikan = untuk setiap ∈ Komposisi = = dan jika komposisi sebanyak suku, maka … = Definisi 2.7.4 Pemetaan Kontraksi Misalkan , merupakan ruang metrik. Pemetaan �: → dikatakan pemetaan kontraksi, jika ada konstanta dengan berlaku � � , untuk setiap , ∈ PEMBAHASAN Dalam matematika teorema titik tetap Banach juga dikenal sebagai teorema pemetaan kontraksi yang merupakan alat penting dalam teori ruang metrik, untuk menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan diri pada ruang metrik, dan menyediakan metode kontraksi untuk menemukan titik tetap Banach, 1992:133. Teorema 3.1.2 Misalkan � adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik , ke dalam dirinya sendiri. Maka � adalah pemetaan Kannan, untuk setiap adalah bilangan bulat positif Kannan, 1969:71-78. Bukti Menurut definisi pemetaan kontraksi definisi 2.7.4 bahwa misalkan , merupakan ruang metrik. Pemetaan �: → dikatakan pemetaan kontraksi, jika ada konstanta dengan sehingga � � , untuk setiap , ∈ . Sekarang akan ditunjukkan bahwa � adalah pemetaan Kannan, jika ada konstanta dengan sehingga � , � [ � , + � , ] untuk setiap , ∈ . � ,� = �� − , �� − � − , � − = �� − , �� − � − , � − Sehingga diperoleh � ,� , 3.1 untuk setiap , ∈ . Karena , � , + � ,� + � , Dengan menggunakan ketaksamaan 3.1, maka diperoleh � ,� , [ � , + � ,� + � , ] = � , + � ,� + � , Sehingga mengakibatkan − � , � [ � , + � , ] � ,� � � −� � [ � , + � , ] 3.2 untuk setiap , ∈ . Karena , maka dapat diambil sebarang dengan , sehingga − − − atau −� � Oleh karena itu � � −� � Dimana � � −� � = , dengan menggunakan ketaksamaan 3.2 diperoleh � ,� [ � , + � , ] untuk setiap , ∈ , dimana . Sehingga terbukti bahwa � adalah pemetaan Kannan. Contoh 120 Volume 3 No. 2 Mei 2014 Misalkan adalah himpunan bilangan real dengan − dan didefinisikan metrik dengan , = | − | � adalah pemetaan pada ruang metrik , ke dalam dirinya sendiri dengan � = { − , | | , | | Maka � , � = |� − � | |� | + |� | = | | + | | Sehingga mengakibatkan � , � | | + | | 3.3 untuk setiap , ∈ . , � = | − � | | | − |� | dan , � = | − � | | | − |� | Sehingga , � + , � | | − |� | + | | − |� | = | | − | | + | | − | | = | | − + | | − = | | + | | = | | + | | Maka , � + , � | | + | | 3.4 Oleh karena itu, dengan menggunakan ketaksamaan 3.3 dan 3.4 diperoleh � , � [ , � + , � ] untuk setiap , ∈ . Jadi, terbukti bahwa � adalah pemetaan Kannan. Dari teorema dan contoh di atas akan ditunjukkan bahwa pemetaan Kannan mempunyai titik tetap yang tunggal. Pertama akan ditunjukkan bahwa ruang metrik , adalah lengkap, dapat diketahui bahwa kondisi pemetaan Kannan adalah � ,� [ � , + � , ] 3.5 untuk setiap , ∈ , dimana . � ,� + = �� − , �� Dengan menggunakan ketaksamaan 3.5, diperoleh � , � + [ � − ,� + � ,� + ] Mengakibatkan − � , � + � − ,� � ,� + − � − ,� 3.6 Dengan mengubah menjadi − dari persamaan di atas, diperoleh � − , � − � − ,� − Maka dari ketaksamaan 3.6, diperoleh � ,� + − − � − ,� − = − � − , � − − ,� untuk setiap , ∈ , dimana . � ,� + � ,� + + � + ,� + + ⋯ + � + − ,� + Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, diperoleh � ,� + − ,� + − + ,� + … + − + − ,� = − [ + − + − + ⋯ + − + − ] , � − [ + − + − + ⋯ + ∞] ,� Dengan rasio − , maka barisan tersebut konvergen yaitu konvergen terhadap − � 1−� . Maka + − + − + ⋯+ ∞ = − − = − − Dari persamaan di atas diperoleh Cauchy – ISSN: 2086-0382 121 � , � + − − − , � Karena barisan � adalah barisan Cauchy yang konvergen maka mempunyai titik tetap tunggal yaitu � = . Teorema 3.1.4 Misalkan , ∈ dan , ∈ [ , ] dengan � , � [ � , + � , + , ] Maka � mempunyai titik tetap tunggal di Fisher, 1976:193-194. Bukti Ambil titik ∈ dan barisan di didefinisikan dengan = � − , ∈ Maka , = � , = � , = � , … , − = � − , = � − Akan ditunjukkan bahwa adalah barisan Cauchy , = � ,� [ � , + � , ] + , = [ , + , ] + , = [ , + , ] + , − , + , , = � ,� [ � , + � , ] + , = [ , + , ] + , = [ , + , ] + , − , + , − , + , , = � ,� [ � , + � , ] + , = [ , + , ] + , = [ , + , ] + , − , + , − , + , . . . , − = � ,� − [ � , + � − , − ] + , − = [ , − + + , ] + , − = [ − , + + , − ] + , − − , − + , − − , − + , − Secara umum diperoleh jika merupakan bilangan bulat positif maka berlaku , + − , + , = , + , 3.7 dengan = − dan = . Karena , ∈ [ , ], jelas bahwa dan Ambil dan ambil bilangan , ∈ ℕ dengan sifat ketaksamaan segitiga pada metrik dan jumlah dari barisan geometri, didapatkan untuk , , + + + , + + + , + + ⋯ + − , + + + + + + + ⋯ + − , + + + + + + + + ⋯ + − , + + + + ⋯ + − − , + + + + + ⋯ + − − , = ∑ − − = , + ∑ − − = , = ∑ ∞ = , + ∑ ∞ = , 3.8 Karena dan , maka deret ∑ ∞ = pada ketaksamaan 3.8 konvergen ke − dan deret ∑ ∞ = konvergen ke − Sehingga diperoleh , − , + − , untuk . Karena � →∞ = dan � →∞ = , maka � →∞ , = maka adalah barisan Cauchy. Karena lengkap, maka konvergen. Katakan → . Artinya sedemikian sehingga jika ∈ ℕ, untuk setiap berlaku , � Akan ditunjukkan bahwa adalah titik tetap dari pemetaan �. Dari sifat ketaksamaan segitiga dan prinsip Fisher, didapatkan , � , + ,� = , + � − , � , + [ � − , − + � , ] + − , Karena → diperoleh ketaksamaan , � � + [ � − , − + � , ] + − , 122 Volume 3 No. 2 Mei 2014 � − + − � − , − + − , = � − + − − , + − , Menurut ketaksamaan 3.8 − , − − , + − , Sehingga diperoleh � − + − − − , + − − , + − , = � − + − , + − , = � − + , + − , Untuk → ∞, maka → dan → , sehingga , � − Karena sebarang, maka , � = atau � = , dengan demikian terbukti bahwa pemetaan Fisher pada yang lengkap mempunyai titik tetap tunggal. Contoh Misalkan adalah barisan Cauchy di Akan ditunjukkan bahwa barisan di tersebut konvergen, untuk setiap ∈ dan = , , , … yang telah didefinisikan pada ruang atau ∑ | | ∞ = konvergen terhadap . Dimana adalah barisan Cauchy, untuk setiap terdapat bilangan bulat positif , sehingga √∑| − | ∞ = dengan , . Dengan menggunakan definisi , diperoleh ∑ | − | ∞ = , , sehingga | − | , , untuk setiap ∈ . Maka untuk setiap , adalah barisan Cauchy di sehingga � →∞ ada ketika merupakan ruang metrik lengkap. � →∞ dimana = , , , … Akan ditunjukkan bahwa ∈ dan konvergen terhadap . Maka dapat dikatakan lengkap ∑ | − | = , , Dapat diperhatikan bahwa = , , , … Maka merupakan titik dan � →∞ = · ∑ | − · | = , Ambil titik , , , … , , , , , … , , , , , … , ∈ dengan menggunakan ketaksamaan segitiga di , diperoleh √∑| − | = √∑| − | = + √∑| − | = Misalkan = · , = dan = , sehingga diperoleh √∑| · | = √∑| · − | = + √∑| | = + √∑ | | = + √∑ | | ∞ = Jika dan konvergen terhadap ∑ | | ∞ = , tentu ∈ . Oleh karena itu, dapat dilihat pada ketaksamaan segitiga sebelumnya √∑| − · | ∞ = , Yang mengakibatkan bahwa barisan konvergen terhadap dan adalah lengkap. PENUTUP Dari pembahasan pada bab sebelumnya, dapat ditarik kesimpulan bahwa teorema titik tetap Banach juga dikenal sebagai teorema pemetaan kontraksi, sebelum mencari ketunggalan titik tetap dapat dicari kelengkapan ruang metrik, dikatakan lengkap jika suatu barisan Cauchy tersebut konvergen, sehingga dapat dibuktikan bahwa teorema titik tetap di ruang Banach mempunyai titik tetap yang tunggal. Dalam membuktikan teorema titik tetap di ruang Banach, diperlukan suatu teorema yaitu: Pemetaan Kannan � , � [ � , + � , ] untuk setiap , ∈ dan ∈ [ , ], maka � mempunyai titik tetap tunggal di . Dan Pemetaan Fisher � ,� [ � , + � , + , ] untuk setiap , ∈ dan , ∈ [ , ], maka � mempunyai titik tetap tunggal di . Cauchy – ISSN: 2086-0382 123

1. Saran