Subgrup �-normal HASIL DAN PEMBAHASAN

II. HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1 Subgrup �-normal

Subgrup �-normal merupakan bentuk khusus dari subgrup yang diperoleh dari pengaitan antara subgrup dan subgrup normal dari suatu grup. Definisi 2.1.1 [3] Diberikan grup ,∗ dan subgrup dari . Subgrup disebut subgrup � - normal dari grup asalkan terdapat subgrup normal � dari grup sedemikian sehingga ∗ � = dan ∩ � ≤ � , dimana � adalah suatu subgrup normal maksimal dari yang termuat dalam . Setiap subgrup normal maksimal merupakan subgrup �-normal, seperti yang diberikan dalam teorema berikut: Teorema 2.1.2 Diberikan grup ,∗ dan subgrup normal dari . Subgrup normal merupakan subgrup � -normal dari jika dan hanya jika merupakan subgrup normal maksimal dari . Bukti: Diketahui merupakan subgrup �-normal dari , maka terdapat subgrup normal � dari sedemikian sehingga ∗ � = dan ∩ � ≤ � . Oleh karena � adalah subgrup normal maksimal dari yang termuat di dalam , maka haruslah � = . Dengan demikian merupakan subgrup normal maksimal dari . Sebaliknya, diketahui adalah subgrup normal maksimal dari . Oleh karena � merupakan subgrup normal maksimal dari yang termuat di dalam , maka = � . Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa terdapat subgrup normal � = sedemikian sehingga ∗ = dan ∩ ≤ = � . Jadi terbukti bahwa merupakan subgrup �-normal dari . ∎ Berikut ini diberikan akibat dari Teorema 2.1.2 yang menerangkan subgrup normal sebagai subgrup �-normal dan grup grup faktornya: Akibat 2.1.3 Diberikan grup ,∗ dan merupakan subgrup normal dari . Subgrup normal merupakan subgrup � -normal dar i jika dan hanya jika grup faktor ⁄ adalah grup simple. Bukti: Diketahui subgrup normal merupakan subgrup �-normal dari . Berdasarkan Teorema 3.2, merupakan subgrup normal maksimal dari . Oleh karena merupakan subgrup normal maksimal, maka grup faktor ⁄ adalah grup simple . Sebaliknya, diketahui grup faktor ⁄ adalah grup simple, maka merupakan subgrup normal maksimal dari . Oleh karena merupakan subgrup normal maksimal, maka berdasarkan Teorema 2.1.2, merupakan subgrup �-normal dari . ∎ Berikut ini diberikan lemma mengenai pengaitan antara beberapa subgrup dari suatu grup dan grup faktor: Lemma 2.1.4 [4] Diberikan grup ,∗ dan , , merupakan subgrup dari . Jika ≤ , maka ∩ ∗ = ∗ ∩ . Lemma 2.1.5 [4] Diberikan grup ,∗ dan adalah subgrup dari sedemikian sehingga � ≤ ≤ dengan � adalah subgrup normal dari yang memenuhi � ≤ � ≤ dimana � adalah subgrup normal dari . Grup = ∗ � jika dan hanya jika � ⁄ = � ⁄ ∗ � � ⁄ . Berikut ini diberikan teorema mengenai grup faktor dan subgrup �-normal dari grup faktor: Teorema 2.1.6 [3] Diberikan grup ,∗ , subgrup dari dan � adalah subgrup normal dari yang memenuhi � ≤ . Subgrup merupakan subgrup � -normal dari jika dan hanya jika � ⁄ adalah subgrup � -normal dari � ⁄ . Bukti: Diketahui merupakan subgrup �-normal dari , maka terdapat subgrup normal � dari sedemikian sehingga = ∗ � dan ∩ � ≤ � . berdasarkan Lemma 2.1.5 diperoleh � ⁄ = � ⁄ ∗ � ∗ � � ⁄ . Berdasarkan Lemma 2.1.4 diperoleh ∩ � ∗ � � ⁄ = � ∗ ∩ � � ⁄ ≤ � ∗ � � ⁄ dengan � ∗ � � ⁄ merupakan subgrup normal maksimal dari � ⁄ yang termuat di dalam � ⁄ . Dengan demikian diperoleh � ⁄ � � ⁄ = � ∗ � � ⁄ sedemikian sehingga � ⁄ ∩ � ∗ � � ⁄ ≤ � ⁄ � � ⁄ . Jadi, terbukti bahwa � ⁄ adalah subgrup �-normal dari � ⁄ . Sebaliknya diketahui � ⁄ adalah subgrup �- normal dari � ⁄ , maka terdapat ideal � � ⁄ sedemikian sehingga � ⁄ = � ⁄ ∗ � � ⁄ dan � ⁄ ∩ � � ⁄ ≤ � ⁄ � � ⁄ . Dari Lemma 2.1.5 diperoleh = ∗ �. Oleh karena � ⁄ ∩ � � ⁄ ≤ � ⁄ � � ⁄ , diperoleh ∩ � ≤ � . Jadi, terbukti bahwa adalah subgrup �-normal dari . ∎ Selanjutnya diberikan definisi dan teorema mengenai grup yang tidak memiliki subgrup �-normal kecuali {�} dan dirinya sendiri: Definisi 2.1.5 [1] Diberikan grup ,∗ . Grup disebut � -simple asalkan tidak mempunyai subgrup � -normal kecuali {�} dan sendiri. Teorema 2.1.6 [1] Diberikan grup ,∗ . Grup merupakan �- simple jika dan hanya jika adalah grup simple. Bukti: Diketahui adalah grup �- simple, maka subgrup �-normal dari hanya {�} dan sendiri. Oleh karena subgrup �-normal dari hanya {�} dan sendiri, maka {�} merupakan subgrup normal maksimal dari . Oleh karena {�} merupakan subgrup normal maksimal, maka tidak ada subgrup normal lain yang memuat {�} kecuali dan {�} sendiri. Dengan demikian subgrup normal dari hanya {�} dan sendiri. Jadi terbukti bahwa adalah grup simple . Sebaliknya, diketahui merupakan grup simple . Oleh karena adalah grup simple , maka {�} merupakan satu-satunya subgrup normal maksimal dari . Misalkan bukan grup �- simple , maka terdapat subgrup �-normal dari dengan {�} . Terdapat subgrup normal � = , sedemikian sehingga ∗ � = dan ∩ � ≤ � dengan � merupakan subgrup normal maksimal dari yang termuat di dalam . Oleh karena satu-satunya subgrup normal maksimal dari hanyalah {�}, maka � = {�}. Oleh karena � = {�} ≤ dan ∩ � = ∩ = ≤ {�}, maka = {�}. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa bukan �- simple grup. Jadi terbukti bahwa adalah �- simple grup. ∎

2.2 Subring �