Subring � HASIL DAN PEMBAHASAN

Definisi 2.1.5 [1] Diberikan grup ,∗ . Grup disebut � -simple asalkan tidak mempunyai subgrup � -normal kecuali {�} dan sendiri. Teorema 2.1.6 [1] Diberikan grup ,∗ . Grup merupakan �- simple jika dan hanya jika adalah grup simple. Bukti: Diketahui adalah grup �- simple, maka subgrup �-normal dari hanya {�} dan sendiri. Oleh karena subgrup �-normal dari hanya {�} dan sendiri, maka {�} merupakan subgrup normal maksimal dari . Oleh karena {�} merupakan subgrup normal maksimal, maka tidak ada subgrup normal lain yang memuat {�} kecuali dan {�} sendiri. Dengan demikian subgrup normal dari hanya {�} dan sendiri. Jadi terbukti bahwa adalah grup simple . Sebaliknya, diketahui merupakan grup simple . Oleh karena adalah grup simple , maka {�} merupakan satu-satunya subgrup normal maksimal dari . Misalkan bukan grup �- simple , maka terdapat subgrup �-normal dari dengan {�} . Terdapat subgrup normal � = , sedemikian sehingga ∗ � = dan ∩ � ≤ � dengan � merupakan subgrup normal maksimal dari yang termuat di dalam . Oleh karena satu-satunya subgrup normal maksimal dari hanyalah {�}, maka � = {�}. Oleh karena � = {�} ≤ dan ∩ � = ∩ = ≤ {�}, maka = {�}. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa bukan �- simple grup. Jadi terbukti bahwa adalah �- simple grup. ∎

2.2 Subring �

� -max Subring � - max merupakan merupakan bentuk khusus dari subring dari suatu ring yang diperoleh dari pengaitan antara subring dengan ideal. Definisi 2.2.1 [5] Diberikan ring �, +,∙ dan subring dari �. Subring disebut subring � -max dari ring � asalkan terdapat ideal � dari ring � sedemikian sehingga + � = � dan ∩ � ≤ � , dimana � adalah ideal maksimal dari � yang termuat dalam . Setiap ideal maksimal dari suatu ring merupakan subring � - max, seperti yang diberikan dalam teorema berikut: Teorema 2.2.2 [5] Diberikan ring �, +,⋅ dan sebagai ideal dari ring � . Ideal merupakan subring � -max dari � jika dan hanya jika adalah ideal maksimal dari � . Bukti: Diketahui ideal merupakan subring � - max dari ring �, maka terdapat ideal � dari � sedemikian sehingga + � = � dan ∩ � ≤ � . Oleh karena � adalah ideal maksimal dari � yang termuat di dalam maka haruslah � = . Jadi terbukti bahwa adalah ideal maksimal dari �. Sebaliknya, diketahui adalah ideal maksimal dari �. Oleh karena � merupakan ideal maksimal dari � yang termuat di dalam , maka � = . Selanjutnya terdapat ideal � sedemikian sehingga + � = � dan ∩ � ≤ � . Jadi, terbukti bahwa merupakan subring � - max dari ring �. ∎ Berikut ini diberikan beberapa akibat dari Teorema 2.2.2 yang menerangkan hubungan ideal, ring faktor dan subring � - max: Akibat 2.2.3 [5] Jika �, +,⋅ merupakan ring dengan elemen satuan, maka setiap ideal dari � termuat di dalam subring � -max dari � . Bukti: Diketahui � ring dengan elemen satuan, maka � memiliki minimal dua ideal trivial. Oleh karena setiap ideal dari � termuat dalam suatu ideal maksimal dan berdasarkan Teorema 2.2.2 setiap ideal maksimal dari � adalah subring � - max dari �, maka ideal dari � termuat di dalam subring � - max. Jadi terbukti bahwa setiap ideal dari � termuat di dalam subring � - max dari �. ∎ Akibat 2.2.4 [5] Diberikan ring �, +,⋅ dan merupakan ideal dari � . Ideal merupakan subring � -max dari � jika dan hanya jika ring faktor �⁄ adalah ring simple. Bukti: Diketahui ideal merupakan subring � - max dari �, maka berdasarkan Teorema 2.2.2 adalah ideal maksimal dari �. Oleh karena adalah ideal maksimal, maka �⁄ merupakan lapangan. Oleh karena �⁄ lapangan, maka ideal dari �⁄ hanya {0} dan �⁄ . Jadi terbukti bahwa �⁄ merupakan ring simple . Sebaliknya, diketahui �⁄ adalah ring simple , maka ideal dari �⁄ hanya � � ⁄ = {�̅} dan �⁄ . Oleh karena ideal dari �⁄ hanya � � ⁄ = {�̅} dan �⁄ , maka �⁄ merupakan lapangan. Oleh karena �⁄ adalah lapangan, maka merupakan ideal maksimal dari �. Berdasarkan Teorema 2.2.2, merupakan subring � - max dari �. ∎ Berikut ini diberikan beberapa lemma mengenai pengaitan subring dengan subring, subring dengan ideal, dan ring faktor: Lemma 2.2.5 [4] Diberikan ring �, +,⋅ dan , , adalah subring dari � . Jika ≤ , maka + ∩ = ∩ + . Lemma 2.2.6 [4] Diberikan ring �, +,⋅ . Jika adalah subring di � dan suatu ideal di � , maka ∩ adalah ideal dari . Lemma 2.2.7 [4] Diberikan ring �, +,⋅ dan adalah subring dari � sedemikian sehingga � ≤ ≤ � dengan � adalah ideal yang memenuhi � ≤ � ≤ � dimana � adalah ideal dari � . Ring � = + � jika dan hanya jika � � ⁄ = � ⁄ + � � ⁄ . Berikut ini diberikan teorema mengenai subring � -max dari suatu ring dan suatu local subring: Teorema 2.2.8 [5] Diberikan ring �, +,⋅ . Diketahui subring dari � dan � adalah local ring yang memenuhi ≤ � ≤ � . Jika adalah subring � -max dari � , maka adalah subring � -max dari � . Bukti: Misalkan merupakan subring � -max dari � dan ≤ � ≤ �, maka terdapat ideal � dari � yang memenuhi + � = � dan ∩ � ≤ � . Oleh karena � ≤ �, maka berdasarkan Lemma 2.2.5 diperoleh � = � ∩ � = � ∩ + � = + � ∩ � . Oleh karena � subring dan � ideal dari �, maka berdasarkan Lemma 2.2.6 � ∩ � merupakan ideal dari � dan ∩ � ∩ � = ∩ � ∩ � ≤ � ∩ �. Oleh karena � lokal, maka terdapat ideal maksimal tunggal � dari �. Oleh karena ≤ � ≤ �, maka ∩ � ∩ � = ∩ � ∩ � = ∩ � ≤ � . Oleh karena � adalah ideal maksimal tunggal dari �, maka ∩ � ∩ � ≤ � ∩ � ≤ � . Dengan demikian � merupakan ideal maksimal dari � yang termuat di dalam . Jadi terbukti bahwa merupakan subring � -max dari �. ∎ Selanjutnya diberikan teorema mengenai sifat subring � -max pada ring faktor sebagai berikut: Teorema 2.2.9 [5] Diberikan ring �, +,⋅ , subring dari � dan � adalah ideal dari � sedemikian sehingga � ≤ . Subring adalah subring � -max dari � jika dan hanya jika � ⁄ adalah subring � ⁄ � � ⁄ -max dari � � ⁄ . Bukti: Diketahui adalah subring � - max dari �, maka terdapat ideal � dari � sedemikian sehingga � = + � dan ∩ � ≤ � . Oleh karena � = + � dan ∩ � ≤ � , maka berdasarkan Lemma 2.2.7 diperoleh � � ⁄ = � ⁄ + � + � � ⁄ dan berdasarkan Lemma 2.2.5 diperoleh ∩ � + � � ⁄ = � + ∩ � � ⁄ ≤ � + � � ⁄ dimana � + � � ⁄ adalah ideal maksimal dari � � ⁄ yang termuat di dalam � ⁄ . Dengan demikian diperoleh � ⁄ � � ⁄ = � + � � ⁄ , sedemikian sehingga � ⁄ ∩ � + � � ⁄ ≤ � ⁄ � � ⁄ . Jadi, terbukti bahwa � ⁄ adalah subring � ⁄ � � ⁄ - max dari � � ⁄ . Sebaliknya, diketahui � ⁄ adalah subring � ⁄ � � ⁄ - max dari � � ⁄ , maka terdapat ideal � � ⁄ dari � � ⁄ sedemikian sehingga � � ⁄ = � ⁄ + � � ⁄ dan � ⁄ ∩ � � ⁄ ≤ � ⁄ � � ⁄ . Oleh karena � � ⁄ = � ⁄ + � � ⁄ , maka diperoleh � = + �. Oleh karena � ⁄ ∩ � � ⁄ ≤ � ⁄ � � ⁄ , diperoleh ∩ � ≤ � . Jadi, terbukti bahwa adalah subring � - max dari � . ∎

III. KESIMPULAN