Ciri Bilangan Habis Dibagi

2. Ciri Bilangan Habis Dibagi

Untuk menguji suatu bilangan bulat habis dibagi oleh bilangan bulat lain sangat diperlukan ketika akan menentukan faktorisasi dari suatu bilangan bulat. Sebagai contoh, untuk menentukan apakah 758 habis dibagi 2,dapat diketahui dari ciri758 yaitu bilangan genap, dengan melihat digit terakhir bilangan tersebutatau melihat digit satuannya yaitu 8. Jika diuraikan bilangan 758 = 750 + 8 = 75(10) + 8. Karena 2 membagi sebarang bilangan berkelipatan 10, untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi oleh 2 cukup dengan memperhatikan apakah digit satuannya dapat dibagi oleh 2. Jika digit satuannya tidak habis dibagi oleh 2 maka bilangan itu tidak habis dibagi oleh 2. Uji serupa dapat dikembangkan untuk keterbagian oleh 3, 5, 7, dan 11. Selanjutnya akandiuraikan aturan-aturan keterbagian sebagai berikut ini.

a. Uji keterbagian oleh � � .

Suatu bilangan bulat habis dibagi oleh 2 � jika dan hanya jika �digit terakhirnya menyatakan suatu bilangan yanghabis dibagi oleh 2 � .

Contoh: Tentukan apakah 83.026 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8. Jawab.

2 | 83.026 karena 2 | 6

4 | 83026 karena 4 | 26 8|83026 karena 8 |026.

Matematika SMP KK A

b. Uji keterbagian oleh � � .

Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh5 � jika dan hanya jika n buah digit terakhirnya menyatakan suatu bilangan yanghabis dibagi oleh5 � . Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0 atau 5.

Contoh: Tentukan apakah 83.025 dapat dibagi oleh 5, 25, dan 125. Jawab.

5 | 83.025 karena 5 | 5

25 | 83025 karena 25 | 25 125 |83025 karena 125 |025.

c. Uji keterbagian oleh �� � .

Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 10 � jika dan hanya jika n buah digit terakhirnya menyatakan suatu bilangan yanghabis dibagi oleh10 � . Sebagai

contoh suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 100 atau 10 2 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya menyatakan suatu bilangan yang habis dibagi oleh 100 atau 10 2 . Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 1.000 atau 10 3 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya menyatakan suatu bilangan yang habis

dibagi oleh 1.000 atau 10 3 .

d. Uji keterbagian oleh 3 atau 9

Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah digit- digitnya merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 3.

Untuk mendapatkan ciri tersebut perhatikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3 berikut ini. Tidak ada pangkat dari 10 yang dapat dibagi oleh 3, tetapi bilangan-bilangan 9, 99, 999, dan yang sejenisnya adalah dekat dengan bilangan pangkat dari 10 dan dapat dibagi oleh 3. Tulis kembali bilangan- bilangan yang menggunakan 999, 99, dan 9 sebagai berikut:

Kegiatan Pembelajaran 2

=5. �� � +7. �� � + 2 . 10 + 1 (cek lagi angka nya)

Jumlah dari bilangan-bilangan yang ada dalam kurung pertama dapat dibagi oleh 3 yaitu 3 (5 . 333 + 7 . 33 + 2 . 3). Jadi keterbagian 5.721 oleh

3 tergantung pada jumlah bilangan-bilangan yang ada di dalam kurung ke dua. Di dalam kasus ini, 5 + 7 + 2 + 1 = 15 dan 3 membagi habis 15. Dengan demikian, untuk memeriksa apakah 5721 dapat dibagi oleh 3, cukup diperiksa apakah 5 + 7 + 2 + 1 dapat dibagi oleh 3. Jadi secara umum suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 3.

Argumen serupa dapat digunakan untuk menunjukkan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 9. Suatu bilangan bulat habis dibagi oleh 9 jika dan hanya jika jumlah dari digit-digitnya merupakan suatu bilangan yang habis dibagi oleh 9.

Contoh Tentukan apakah 14.238 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9. Jawab. Karena 1 + 4 + 2 + 3 + 8 = 18 dan 3 | 18, akibatnya 3 | 14238. Karena 9 | 18,

akibatnya 9 | 14238.

e. Uji keterbagian oleh 7

Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 7 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan tanpa digit satuannya dikurangi dua kali unit satuan asalnya, dapat dibagi oleh 7

Matematika SMP KK A

f. Uji keterbagian oleh 11

Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 11 jika dan hanya jika angka-angka bilangan tersebut diurutkan dari satuannya, jumlah digit-digit yang berada pada urutan ganjil, dikurangi jumlah digit-digit yang berada pada urutan genap melambangkan suatu bilangan yang habis dibagi oleh 11.Uji keterbagian oleh hasil kali 2, 3, 5, 7, dan 11

Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh hasil kali dari 2, 3, 5, 7, atau 11 jika dan hanya jika bilangan itu dapat dibagi oleh masing-masing bilangan tersebut.

Contoh Tentukan apakah 875 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6. Jawab.

(i) 87 – 2 . 5 = 77 dan 7 | 77, Jadi 7 | 875 (ii) (5 + 8) – 7 = 6 dan 11| 6Jadi, 11 | 875 (iii) 2 |875 karena 875 bilangan ganjil, Jadi 6 | 875