16
2.2.1 Fungsi Satu Arah
Didalam kriptografi terdapat fungsi yang penting, yaitu fungsi satu arah ona-way function fungsi satu arah didefinisikan sebagai berikut.
Fungsi f dari yang memetakan himpunan A ke himpunan B dikatakan fungsi satu-arah jika fx
“mudah” dihitung untuk semua x
A tetapi “sangat sukar” atau bahkan “hampir tidak mungkin secara komputasi”
menemukan inversnya, yaitu menemukan x sedemikian sehingga fx = y untuk semua y anggota jelajah f.
Contoh: Misalkan X
= {1,2,3,4……………10} didefinisikan fungsi f pada X sedemikian sehingga fx =
11 mod
3
x
x f
untuk semua x anggota X,
jelas kita mudah menghitung f1 = 3, f2 = 9, f3 = 5, f4 = 4, f5 = 1, f6 = 3, f7 = 9, f8 = 5, f9 = 4, f10 = 1. tetapi, sangat sukar
menemukan x sedemikian sehingga fx=4. Pekerjaan menemukan x semakin sukar lagi jika bilangan yang digunakan adalah bilangan yang
besar.
2.2.2 Relasi Keterbagian Definisi 2.2.2
Diberikan suatu bilangan bulat a, b dengan a
0. Bilangan a
dikatakan membagi habis bilangan b a divides b ditulis a | b, jika dan
hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian sehingga b = ka.[3]
17 Jika a | b dan k adalah bilangan bulat dengan b = ka maka k disebut
hasil bagi quotient dari b oleh a. Dapat juga disebut bahwa k adalah faktor dari b yang menjadi komplemen dari a. Jadi a dan k merupakan
komplementer dari b. Berikut beberapa sifat dari operasi pembagian, dengan asumsi bahwa
a
.
Algoritma Pembagian Teorema 2.2.2.a Grimaldi,1999
Untuk semua
b a,
maka a
[ | |
] a
b b a
a b
b
c a
c b
b a
| ]
| |
[
c
bx a
b a
| |
untuk setiap
x
d
y
x cy
bx a
c a
b a
, ;
| ]
| |
[
Bukti: a. Karena |
a b dan | b a maka ada bilangan bulat k dan m
sedemikian sehingga
ka b
dan
a mb
. Jadi
. a m
k a
m ka
Karena
a
persamaan ini terpenuhi hanya jika
1 mk
. Untuk m dan k bilangan bulat, persamaan ini terpenuhi hanya jika
1 m k
. Jadi
b a
b. Jika
b a |
dan
c b |
maka menurut definisi 2.2.1 ada bilangan bulat k dan m sedemikian sehingga
ka b
dan
mb c
. Oleh
18 karena
ka b
maka a
t a
u cm
k a
c m k
a
sedemikian
sehingga
c a |
c. Jika
b a |
maka ada bilangan bulat k sedemikian sehingga
ka b
. Jika persamaan ini dikali dengan x maka
a t
a u
. J
a d
i |
b x
k a
x b xk
x a a
b x
. d.
Jika
b a |
dan
c a |
maka
ka b
dan ma
c
untuk suatu k dan
m bialngan
bulat sehingga
b xc
y k a
x m a
y
akx m
y
.
Kita dapatkan
| cy
bx a
.
Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan
b
, maka a dibagi oleh b kita mendapatkan hasil bagi quotient dan sisa pembagian remainder. Hal ini dinyatakan
dalam teorema berikut ini yang dikenal dengan nama Algoritma Pembagian.
Teorema 2.2.2.b Algoritma Pembagian
Jika a dan b suatu bilangan bulat dengan b 0 , maka ada bilangan bulat q dan r yang tunggal sedemikian sehingga
r bq
a
dengan
b r
.
19
Bukti:
Jika a
b | maka a bq r dengan r = 0. Andaikan b tidak
membagi a. Untuk himpunan
{ |
} S a tbt Z
, akan dibuktikan S memuat bilangan bulat positif. Jika
a
dan
t
ditulis
. a a ob
Jadi
S a
dan dengan demikian S memuat bilangan positif. Jika
,
a
ambil
1
a t
maka kita dapatkan
1 a tb a a b
1
a b b
. Karena
1 b
maka
1 b
sehingga 1 a
b . Karena
b
maka
a tb
. Dalam hal ini kita dapatkan S memuat bilangan bulat positif . Sehingga
merupakkan The Well Ordering Property WOP, S memliki unsur positif terkecil andaikan itu r. Akan dibuktikan
r b
. Jika
b r
maka
a b
b q
a |
1
. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa b tidak membagi a.
Jika
b r
maka
c b
r
untuk
Z c
dan
S b
q a
c c
b r
qb a
1
. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa r adalah element
terkecil dari S, oleh karena itu
b r
. Untuk membuktikan ketunggalan q dan r, andaikan
,
1 1
r b
q a
untuk b
r
1
dan ,
2 2
r b
q a
untuk b
r
2
. Maka
b r
r q
q b
r b
q r
b q
1 2
2 1
2 2
1 1
,
20 karena
b r
r
2 1
, . Hal ini terpenuhi hanya jika
1 2
q q
atau
1 2
1 2
k i
t a
d a
p a
t k
a n
qq r r
. Jadi hasil bagi dan sisa adalah unik.
2.2.3 Aritmetika Modulo
Kategori