20 karena
b r
r
2 1
, . Hal ini terpenuhi hanya jika
1 2
q q
atau
1 2
1 2
k i
t a
d a
p a
t k
a n
qq r r
. Jadi hasil bagi dan sisa adalah unik.
2.2.3 Aritmetika Modulo
Aritmetika modulo modular arithmetic memainkan peranan yang penting dalam komputasi integer, khususnya pada aplikasi kriptografi.
Operator yang digunakan pada aritmetika modulo adalah mod. Operator
mod memberikan sisa pembagian. Misalnya 23 dibagi 5 memberikan hasil 4 dan sisa 3, sehingga kita tulis 23 mod 5 = 3.
Definisi 2.2.3.1
Misalkan a adalah bilangan bulat dan m, q adalah bilangan bulat .
Operasi a mod m dibaca a modulo m menghasilkan sisa pembagian a oleh m. Dengan kata lain a mod m = r Jika dan hanya jika a = mq + r,
dengan
m r
[10].
Definisi 2.2.3.2 Kekongruenan
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. Jika m membagi a
– b, maka a dikatakan kongruen terhadap b modulo
m ditulis mod
m b
a
. Bilangan bulat m disebut sebagai modulus
dari kekongruenan .[2]
21
Sifat-sifat Dasar Kekongruenan Teorema 2.2.3.2.a
Misalkan m adalah bilangan bulat positif. Ambil sebarang bilangan bulat a, b dan c. Maka
i mod
m a
a
ii Jika
mod m
b a
maka
mod m
a b
iii Jika
mod m
b a
dan
mod m
c b
maka
mod m
c a
Teorema 2.2.3.2.b
Misalkan m adalah bilangan bulat positif. 1. Jika
mod m
b a
dan c adalah sembarang bilangan bulat maka
i
mod m
c b
c a
ii
mod m
bc ac
iii mod
m b
a
p p
untuk suatu bilangan bulat tak ngatif p.
2. Jika
mod m
b a
dan
mod m d
c
, maka i
mo m
d b
c a
ii
mod m
bd ac
Teorema 2.2.3.2.c Modulus Keterbagian
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat. Ambil m dan d bilangan bulat positif dengan d|m. Jika
mod m
b a
, maka
mod d
b a
.
Bukti: Diketahui d|m dan m|a-b. Berdasarkan teorema 2.2.1.1.b maka diperoleh
d|a-b.
22
Teorema 2.2.3.2.d
Jika 1
, gcd
m
a maka ada x tunggal dengan
m x
sedemikian sehingga
mod 1
m ax
Teorema 2.2.3.2.e
Jika
1 m
, a, b, dan c bilangan bulat dengan
c
,
gcd , 1 cm
maka m
o d
a c b
c m
sehingga
m od
a b m
.
Bukti: Berdasarkan
teorem asebelumnya
ada x
sedemikian sehingga
1 m
od cx
m
. Dengan demikian
m o
d a
c b c
m
akan menghasilkan
m o
d a
c x b
c x
m
atau
1 1 m
o d
a b m
. Jadi
m od
a b m
2.3 Analisis Data
