13 Fungsi objektif yang digunakan pada fuzzy c-means adalah sebagai berikut
[8]: 2.2
dengan, = Pangkat pembobot,
= Jarak antara data ke pusat cluster, 2.3
= Data yang dicluster, =
= Matriks pusat cluster, =
2.4 Matriks
Orthogonal dan Orthonormal
Dua buah matriks berukuran n x 1, a dan b dikatakan orthogonal satu sama lain jika a b = 0. Lebih jauh, jika a dan b adalah matriks yang dinormalkan yaitu
a a = b b = 1 maka keduanya disebut orthonormal. Sebagai contoh, a =
dan b = adalah dua matriks yang saling orthogonal. Jika untuk yang dinormalkan, yaitu
a dan b
maka keduanya bersifat saling orthonormal [13].
14
2.5 Singular Value Decomposition SVD
Metode aljabar linier yang memecah matriks X berukuran n x p menjadi tiga matriks. U adalah matriks orthogonal berukuran n x r, L adalah matriks
diagonal berisi nilai skalar eigen value berukuran r x r, dan A adalah matriks berukuran r x p. Maka penguraian matriks tersebut adalah:
2.4 di mana
, , kolom
adalah matriks orthonormal yang berisi vektor eigen dari
, kolom A adalah matriks orthonormal yang berisi vektor eigen
dari , dan adalah matriks diagonal yang mengandung akar kuadrat dari
nilai eigen matriks X X [2].
2.6 Biplot
Biplot adalah salah satu upaya menggambarkan data-data yang ada pada
tabel ringkasan dalam grafik berdimensi dua. Biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel pada 1971. Analisis ini dikenal sebagai salah satu teknik statistika
dengan penyajian melalui grafik yang berasal dari matriks data ke dalam suatu plot dengan menggabungkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi kecil.
Kata bi- menunjukkan dua jenis informasi yang terdapat dalam matriks. Baris menunjukkan sampel atau unit sampel, sedangkan kolom menunjukkan
variabel [3]. Melalui peragaan secara grafik dari analisis biplot ini diharapkan dapat
diperoleh informasi tentang: 1. Kedekatan antar objek. Dua objek dengan karakteristik yang sama akan
digambarkan sebagai dua titik yang posisinya berdekatan.
15 2. Keragaman variabel. Variabel dengan keragaman kecil digambarkan sebagai
vektor yang pendek. Begitu pula sebaliknya, variabel dengan keragaman besar digambarkan sebagai vektor yang panjang.
3. Korelasi antar variabel. Variabel digambarkan sebagai vektor. Jika sudut dua variabel lancip 90
maka korelasi bernilai positif. Apabila sudut dua variabel tumpul 90
maka korelasi bernilai negatif. Sedangkan jika sudut dua variabel siku-siku maka tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan variabel dengan objek. Karakteristik suatu objek bisa disimpulkan dari posisi relatifnya yang paling dekat dengan suatu variabel. Jika posisi
objek searah dengan arah vektor variabel maka objek tersebut bernilai di atas rata-rata, jika berlawanan maka nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di
tengah-tengah maka nilainya mendekati rata-rata [13]. Analisis biplot didasarkan pada Singular Value Decomposition SVD dari
matriks data yang sudah terkoreksi terhadap rata-ratanya. Misalnya matriks adalah matriks data yang terdiri dari n objek dan p variabel. Selanjutnya matriks
dilakukan transformasi terhadap nilai rata-ratanya diperoleh matriks . =
2.5 Dengan 1 adalah matriks yang semua unsurnya bernilai 1.
Matriks covarians dari matriks adalah: =
2.6 Misalnya matriks = [r
ij
], i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, p adalah matriks korelasi
dari matriks , maka matriks tersebut dapat ditulis: =
2.7
16 Dengan
= diag adalah matriks diagonal dengan unsur
diagonal utama 1 ; i
= 1, 2, …, p. Unsur r
ij
juga merupakan cosinus sudut antara vektor variabel ke-i dan ke-j : cos = r
ij
. 2.8
Misalkan matriks X didefinisikan sebagai: =
= =
2.9 dan elemen ke-i,,j dari matriks dapat ditulis:
x
ij
= 2.10
merupakan vektor baris ke-i dari matriks , i = 1, 2, …, n dan h
j
merupakan vektor baris ke-j dari matriks
, j = 1, 2, …, p; di mana vektor dan h
j
mempunyai r elemen. Nilai-nilai
α dapat digunakan pada kisaran [0,1], tetapi pengambilan pada nilai- nilai tertentu, yaitu:
α = 0 dan α = 1 akan berimplikasi penting dalam interpretasi biplot [12].
a. Jika α = 0, maka = dan =
, akibatnya: =
= =
= 2.11
17 sedangkan
mempunyai hubungan seperti 2.5, berarti hasil perkalian h
i
h
j
= , dengan demikian penggandaan titik antara vektor h
i
dan h
j
akan memberikan gambaran covarian antara variabel ke-i dan ke-j. Panjang vektor
|h
ij
| = s
i
, s
i
= menggambarkan keragaman variabel ke-i. Korelasi
antara variabel ke-i dan ke-j dijelaskan oleh cosinus sudut antara h
i
dan h
j
, yaitu:
cos = =
= r
ij
2.12 dengan r
ij
adalah korelasi antara variabel ke-i dan ke-j. b. Jika
α = 1, maka = dan = , atau = ; =
= akibatnya:
= =
= =
2.13
Pada keadaan ini jarak Euclid antara dan
akan sama dengan jarak Euclid
antara dan
[12].
Misalnya matriks = , maka:
jarak Euclid antar objek ke-i dan ke-j adalah: d
2.14
18
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder mengenai penyandang masalah kesejahteraan sosial di Indonesia tahun 2009. Data tersebut
diperoleh dari pusat data dan informasi Kementrian Sosial RI. Data ini mencakup sejumlah data penyandang masalah kesejahteraan sosial setiap provinsi di
Indonesia.
3.2. Metode Pengolahan Data
Setelah dilakukan pengumpulan data maka selanjutnya akan dilakukan pengolahan data. Pengolahan data pada analisis biplot adalah dengan menentukan
variabel penelitian. Berikut ini adalah variabel- variabel dan objek-objek Penyandang Masalah Kesejahteraan Sosial PMKS:
Tabel 3.1. Variabel Penelitian
Variabel Keterangan
X
1
Anak Balita Terlantar X
2
Anak Terlantar X
3
Anak Nakal X
4
Anak Jalanan X
5
Wanita Rawan Sosial Ekonomi X
6
Korban Tindak Kekerasan
