Saran-saran Kesimpulan dan Saran

35 pengaruh terhadap kekonvergenannya. Untuk menjamin kekonvergenan kedua metode dapat dipakai metode hibrida metode campuran, yakni: 1. Iterasi dimulai dengan metode stabil misalnya metode Bagi Dua atau metode Posisi Palsu. 2. Setelah dekat ke akar digunakan metode TB atau NR untuk mempercepat iterasi dan memperoleh hampiran yang lebih akurat Salah satu cara adalah menggabungkan algoritma yang dipakai pada fungsi MATLAB fzero dan algoritma NR atau TB yang telah dibahas dalam penelitian ini. Permasalahannya adalah bahwa pada fungsi MATLAB fzero tidak dilakukan perhitungan turunan, sedangkan pada metode NR dan modifikasi NR diperlukan perhitungan turunan. Hal ini membuat pe- mrograman menjadi cukup rumit, terlebih dengan adanya keterbatasan MATLAB. Pertim- bangan lain yang perlu diperhatikan adalah kriteria kapan metode lokal dipakai. Dalam hal ini dapat digunakan kriteria pada Teorema 3 atau Teorema 4. Oleh karena penelitian ini hanya dibatasi pada fungsi-fungsi satu variabel, maka pe- nelitian ini dapat diteruskan ke fungsi-fungsi dua atau tiga variabel. Masalah ini lebih rumit daripada masalah pencarian akar fungsi satu variabel. Kajian kedua metode pada fungsi- fungsi multivariabel merupakan tantangan yang menarik untuk dikaji lebih lanjut. Permasalahan lain yang cukup menarik adalah penerapan metode numerik untuk mencari hampiran akar kompleks. Kedua metode yang telah dikaji tidak secara langsung da- pat menghasilkan hampiran akar kompleks. Demikian pula, pemakaian metode NR untuk fungsi polinomial yang dapat diubah ke bentuk binomial akan lebih efisien jika dilakukan modifikasi rumus perhitungan. 36 Daftar Pustaka Atkinson, Kendal 1993. Elementar Numerical Analysis. second edition. John Wiley Sons, Singapore. Borse, G.J 1997. Numerical Methods with MATLAB, A Resource for Scientiests and Engi- neers. PWS Publishing Company, Boston. Conte, Samuel D. Carl de Boor 1981. Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic Ap- proach. 3 rd edition. McGraw-Hill Book Company, Singapore Gerald, Curtis F. Patrick O. Wheatly 1994. Applied Numerical Analysis. 5 th edition. Addi- son-Wisley Pub. Co., Singapore Jacques, Ian Colin Judd 1987. Numerical Analysis. Chapman and Hall, New York. Mathews, John H 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. second edition. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New York. Scheid, Francis 1989. Schaums Outline Series Theory and Problems of Numerical Analysis. 2ed. McGraw-Hill Book Company, Singapore. Volkov, E. A 1990. Numerical Methods. Hemisphere Publishing Company, New York. 37 Lampiran

A. Bukti lain 54 :

Untuk hampiran-hampiran 1 dan n n x x - yang sangat dekat dengan r , faktor 2 n f K f x z - = pada 50 dapat diganti dengan , 2 f r K f r - º asalkan fr ¹ r merupakan akar sederhana, sehingga galat 50 dapat ditulisakan sebagai 1 1 | | | || || |, 1 n n n E K E E n + - = ³ 55 Sekarang didefinisikan sebuah barisan { } n B dengan | || |, 0. n n B K E n = ³ 56 Agar hampiran konvergen ke , n x r haruslah dipenuhi n B konvergen ke nol. Dari 55 diper- oleh hubungan 1 1 , 2. n n n B B B n + - = ³ 57 Untuk menjamin 0 jika , n B n ® ® ¥ pilih 1 2 dengan 0 | | 1. B B d d = = Dari 57 diperoleh 2 3 5 8 5 3 4 6 , , , , , B B B B d d d d = = = = K dan secara induktif dapat diperoleh ru- mus , n F n B d = 58 dengan 1 2 1 2 1 dan , 3. n n n F F F F F n - - = = = + ³ Jadi n F merupakan barisan Fibonacci. Dapat ditunjukkan dengan mudah lihat Lampiran B bahwa , 5 n n n F m n - = 59 dengan 1 5 1.618034 2 m + = » dan 1 5 0.618034. 2 n - = » - Dari 58 dan 59 diper-oleh bahwa 1 1 1 . n n n n n F n F F F n B B m n m m d d d d + + + - = = = Oleh karena 0 untuk , n n n ® ® ¥ maka 1 1 untuk . n n B n B m + ® ® ¥ Akan tetapi, dari de- finisi 56 kita tahu bahwa 1 1 1 1 | || | | | | | . | | | | n n n n n n B K E E K B KE E m m m m + - - - = = Akhirnya diperoleh 38 1 2 1 1 0,618034 1 | | | | | | | | . | | lim lim n n n n n n E B K K K E B m m m m + + - - ® ¥ ® ¥ + = = » W

B. Bukti 59

Diketahui barisan Fibonacci 1 2 1 2 1 dan , 3. n n n F F F F F n - - = = = + ³ Akan ditunjukkan bahwa , 5 n n n F m n - = dengan 1 5 1.618034 2 m + = » dan 1 5 0.618034. 2 n - = » - Mula-mula didefinisikan fungsi G x sebagai berikut 2 3 4 1 2 3 4 . G x F x F x F x F x = + + + + K 60 Kalikan kedua ruas dengan x : 2 3 4 5 1 2 3 4 . xG x F x F x F x F x = + + + + K 61 Kalikan kedua ruas dengan 2 x : 2 3 4 5 6 1 2 3 4 . x G x F x F x F x F x = + + + + K 62 Dari ketiga persamaan di atas diperoleh 2 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 1 , G x xG x x G x F x F F x F F F x x x x x - - = + - + - - + = + + + = K K sehingga 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 5 1 5 1 5 1 1 2 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 5 1 5 x G x x x x x x x x x x x x x x x x m n m m m n n n m n m n m n = - - é ù ê ú ê ú = - ê ú + - ê ú - - ê ú ê ú ë û é ù ê ú = - ê ú - - ë û é ù = + + + + - + + + + ë û é ù = - + - + - + ë û K K K 63 Dengan membandingkan suku-suku ruas kanan 60 dan 63 diperoleh 59. W