TUGAS MATEMATIKA TEKNIK 2

TUGAS KELOMPOK
MATEMATIKA TEKNIK 2
RANGKUMAN LAPLACE

ANGGOTA:
1. ANGKIT SABEKTI

(4313215102)

2. DIDIK MULYADI

(4313215110)

3. MUKHAMMAD SIS WAHYUDI

(4313215126)

FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS PANCASILA
2015

TRANSFORMASI LAPLACE

Pengertian Laplace Transform
Transformasi laplace sering dipergunakan untuk menganalisa sinyal dan sistem linier tak
ubah waktu. Transformasi laplace mempunyai banyak karakteristik yang mempermudah
analisa tersebut. Transformasi laplace juga sering digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial sistem. Dalam desain sistem transformasi laplace digunakan
untuk menyatakan fungsi alih sistem. Berikut dibahas mengenai transformasi laplace
dimulai dari rumusan transformasi laplace.


  F  t   F  s  f  t  e  st
0

dengan s adalah bilangan kompleks yaitu s=+j. Penggunaan laplace transform akan
lebih jelas dengan contoh sebagai berikut.
Contoh soal 1:
Diketahui suatu fungsi f(t) sebagai berikut:
f

 t  

0
A

; t 0
; t 0

Carilah tranformasi laplace F(s) dari fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Dari rumusan transformasi laplace, nilai F(s) dapat dicari sebagai berikut:


  F  t   A e  st dt
0

A  st 

e
0

 s
A 
A 0

e 
e
 s
 s
A

s

Dari penyelesain tersebut dapat dilihat bahwa untuk A=1 berarti f (t) = u (t)
F (s) =

maka

1
. Jadi untuk fungsi undak dapat diperlihatkan bahwa hasil transformasi
s

laplace adalah nilai dari fungsi tersebut dibagi dengan s. Untuk lebih memantapkan
penggunaan rumusan transformasi laplace disajikan contoh transformasi laplace dari
fungsi lereng.
Tabel 1 Tabel Transformasi Laplace

No
1

f(t)

F(s)

 t 

1

2

1

1
s

3

t

4

t n 1
(n  1)

5

tn

6
7
8

1
s2
1
sn
n!
s n 1

1
sa
1
1
t n  1e  at
( n  1)!
(s  a) n
1
te  at
(s  a) 2

e  at

9

Sin wt

10

Cos wt

11

t n e  at

12

e  at sin wt

13

e  at cos wt

14

1
1  e  at 
a

w
s  w2
s
2
s  w2
2

n!
( s  a) n 1
w
(s  a) 2  w 2
sa
(s  a) 2  w 2

1
s( s  a)

Contoh soal.2:
Diketahui suatu fungsi sebagai berikut:
f  t   0At

; t 0
; t 0

Carilah F(s).
Penyelesaian:




 f  t   A t e  st dt



0

At

e  st
 s



0



A e  st
dt
s


0

A  st
e dt
s 
0

A
 2
s

dari penyelesaian tersebut dapat dilihat bahwa hasil transformasi laplace untuk fungsi
lereng adalah gradient fungsi lereng dibagi dengan s. Dengan beberapa contoh tersebut
dapat dilihat bahwa transformasi laplace mengubah fungsi-fungsi umum dalam t seperti

fungsi undak, fungsi lereng, fungsi sinus dan fungsi-fungsi lain menjadi fungsi-fungsi
aljabar variabel kompleks s.
Penggunaan integral untuk mencari transformasi laplace dari suatu fungsi sering
menjadi pekerjaan yang kurang menyenangkan. Untuk lebih mempermudah proses
transformasi pada Tabel 3.1, disajikan tabel transformasi laplace.
Karakteristik Transformasi Laplace
Transformasi Laplace mempunyai beberapa sifat penting yang berguna untuk analisa
sinyal dan sistem linier tak ubah waktu. Sifat-sifat Transformasi Laplace antara lain
adalah sebagai berikut:

 A f  t   A F  s 
 f1  t   f 2  t   F1  s  F2  s 

1)

£

2)

£

3)

£

4)

£

5)

 dn

n
£   n f  t   s F  s  
 dt


6)
7)

8)

d

f  t   s F  s   f  0 
 dt


1
 d2

2
f

t


s
F

s


sf

0



f
 0 

2
 dt


£  f  t  dt F  s  



£



n k

 k  1

f

 0 

k1

 f  t  dt 

s

t 0 

s

   f t  dt  Fs s    s 1   f t  dt  
n

n

n

k 1

k

n  k 1

t
 F  s
£  f  t  dt  
s
0



9)

n

s

f  t  dt lim F  s 
s 0

0





jika f  t  d  t  ada
0



10) £ e  at f  t   F  s  a 
11) £  f  t    u  t      e  s F  s   0
d2
12) £ t f  t   2 F  s 
ds




2





13) £ t n f  t    1 n
14) £  t f  t   

dn
F  s
ds n

d
F  s
ds

t 0 



1



15) £  f  t    F  s  d  s 
t
 0


16) £  f


 t 
    a F  as 
 a 

Penggunaan sifat-sifat tersebut dalam membantu transformasi sinyal atau sistem
diaplikasikan dalam contoh berikut:
Contoh soal 3.
Carilah transformasi Laplace dari gambar sinyal berikut ini:

f (t)
1
a2
2a
a

t

1
a2

Penyelesaian:
Persamaan dari sinyal diatas adalah:
1
1
f  t   2  u  t   u  t  a    2  u  t  a   u  t  2a  
a
a
1
2
1
 2 u  t   2 u  t  a   2 u  t  2a 
a
a
a

F (s) = £ f (t)
1
2
1
 u  t    2  u  t  a    2  u  t  2a  
2
a
a
a
1 1 2 1
1 1
 2  2 e  as  2 e  2 as
a s a s
a s
1
 2 1  2e  as  e  2 as
a s






Penyelesaian tersebut didapat dengan mengingat karakteristik:

£ [u(t)] =

1
s

£  f  t    u  t     e  s F  s 

,  0

Transformasi Laplace Balik
Transformasi balik dipergunakan untuk mendapatkan fungsi atau sinyal dalam bentuk t
dari suatu fungsi laplace s.
 1  F  s    f  t 
1
f t  
2j

c  j

F  s  e

st

ds  t  0 

c  j

c = dipilih > dari semua bagian real titik singular.
Cara ini sangat sulit untuk dikerjakan maka dipakai Tabel Transformasi Laplace yang
ada pada Tabel 3.1, yaitu dengan cara mengubah fungsi ke dalam bentuk yang ada
dalam tabel.

F  s 

B s  k  s  z1  s  z 2    s  z m 

A s   s  p1  s  p 2    s  p n 

F  s 

 m  n

a
a2
an
B s 
 1 
 
A s  s  p1 s  p 2
s  pn

dengan a k (k = 1, 2, …..n), a k dihitung sebagai berikut:
 a1


ak
an
B s  
a2
 s  pk  A s   s  pk  s  p  s  pk   s  p    s  p  s  pk     s  p  s  pk  


1
2
k
n

 s  pk ja
ak

di:

B  s 
ak  s  pk 
A  s   s  p

k

 ak 
 pk t
 1 
 ak e
 s  pk 
f  t   1  F  s   a1e p1 t  a2 e  p2 t    an e  pn t

 t 0 

Berikut contoh penggunaan tabel tranformasi laplace unntuk mendapatkan kembali f(t)
dari F(s) dengan orde penyebut lebih tinggi.
Contoh soal.4:
Diketahui F(s) sebagai berikut:
s4
 s  1  s  2 

F  s 

carilah f (t).
Penyelesaian:
a
a
s4
 1  2
 s  1  s  2 s  1 s  2

F  s 

dengan rumusan a k didapat:


s4
 s  4
a1  s  1

3

 s  1  s  2  s  1  s  2  s  1



s4
 s  4
a 2  s  2 

 2



s

1


s

2


 s  2  s  1  s  2

jadi:
f  t   1  F  s  
 3 
  2 
 1 
  1 

s

1


 s  2 
3 e  t  2 e  2 t
 t 0





 3 e  t  2 e  2t u  t 

Berikut contoh penggunaan tabel tranformasi laplace untuk mendapatkan kembali f(t)
dari F(s) dengan orde pembilang lebih tinggi.
Contoh soal.5:
s 3  5 s 2  9s  8
G  s 
 s  1  s  2 

carilah g (t).

Penyelesaian:
Pembagian pembilang dengan penyebut menghasilkan:
G  s  s  2 

s4

 s  1  s  2

d
  t   2 t   3 e  t  2 e  2 t
dt

; t 0

Untuk fungsi dalam yang melibatkan banyak kutub maka Transformasi Laplace
baliknya dikerjakan dengan ekspansi parsial sebagai berikut:
Contoh soal.6:
s 2  2s  3

Tinjau F  s  

 s  1 3

Penyelesaian:
Ekspansi pecahan parsial menghasilkan
F  s 

b3
b2
b
B  s


 1
3
2
A  s   s  1
 s  1  s  1

 s  1 3 B  s  b3  b2  s  1  b1  s  1 2
A  s
saat s = -1 maka:

3 B  s 
b3
 s  1

A  s   s  1


b2 didapatkan dengan diferensiasi persamaan (1)

d 
 s  1 3 B  s   b2  2b1  s  1

ds 
A  s 

dengan s = -1,
d 
3 B  s 
b2
  s  1

ds 
A  s   s  1

b1 didapatkan dengan diferensial kuadrat persamaan (1)

d2 
 s  1 3 B  s  
2 b1
2 
A  s   s  1
ds 

Secara umum penyelesaian Laplace balik n kutub dapat diringkas sebagai berikut:

1
d n k 
 s  a n B  s 
 n  k  ! ds n  k 
A  s   s  a

bk 

dengan n = derajat polinomial banyak kutub.
k = n, n-1, n-2, …….1
dengan demikian didapatkan b1 , b2 , b3 sebagai berikut:





2

3 s  2s  3 
b3   s  1
 s  1 3  s  1






 s 2  2s  3

s  1

2
b2 

2
d 
3  s  2 s  3 

s

1


ds 
 s  1 3  s  1

d


( s 2  2 s  3) 
 ds
 s  1
 2 s  2  s  1
0





2
1 d2 
3 s  2s  3 
b1 

s

1


2! ds 2 
 s  1 3  s  1


1  d2
  2 ( s 2  2 s  3) 
2!  ds
 s  1
1
 .2
2
1

jadi untuk contoh soal.6.
f  t   1  F  s  
 2
0
1 
 1 


3
2
 s  1 s  1
  s  1
t 2 e  t  e  t


t


1 e

 t 2 1 e  t
2

t

 t 0 
u t 

Transformasi Laplace Untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial
Cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial tanpa harus
menggunakan perumpamaan tanggapan adalah dengan transformasi Laplace.
Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial yang pertama dilakukan adalah
pengubahan persamaan ke bentuk s. Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut:
Contoh soal.7:
Carilah penyelesaian untuk persamaan diferensial berikut ini:

x  3 x  2 x 0 ,

x  0  a , x  0  b

Penyelesaian:


   2
 x  s x  s  s x o  x 0

  
 x  s x  s   s x  o 
 

 

    2
 x 3 x  2 x s x  s  s x 0  x 0  s x  s  x 0  2 x  s





 

 s  3s  2 x  s  as  3a  b
2

maka,
( s 2  3s  2 ) x  s  as  b  3a
as  b  3a
X  s  2
s  3s  2
as  b  3a

 s  1  s  2
2a  b a  b


s 1
s2

Laplace balik dari X (s) menghasilkan:
X  t   1  X  s  
 2a  b 
a  b
 1 
  1 


s  2
 s 1 
 2a  b  e  t   a  b  e  2t

 t 0