BAB IV APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu.
2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu.
3. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda dengan menggunakan integral tertentu.
4. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur dengan menggunakan integral tertentu.
Bab V dalam buku ini membahas aplikasi integral tertentu untuk: 1 luas suatu luasan, 2 volume benda putar 3 luas permukaan, dan 4 menentukan
panjang busur.
5.1 Luas Suatu Luasan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
107
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini
R adalah
bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik
, ,
,
y
dan b
x a
x x
f y
Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan
dx x
f R
A
b a
Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai
integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk
b a
b a
dx x
f dx
x f
R A
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah- langkah sebagai berikut :
a Gambar daerah yang bersangkutan b Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu
c Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang d Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut
e Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu.
Perhatikan contoh-contoh berikut:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
108
1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius. Titik A0,0, B3,0 dan C3,7. Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus
A c
A c
A A
x x
y y
x x
y y
Diperoleh persamaan
3 7
x
y
3 7
7 3
x y
atau x
y
Sehingga luas yang dicari dinyatakan den
dx x
f R
A
b a
5 ,
10 9
6 7
6 7
3 7
3 2
3
x dx
x
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva
2
4 x
y
dan sumbu-sumbu koordinat.
Jawab
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva
2
y x
dan garis
4
x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
109 y
x
, A
7 ,
3 C
, 3
B
x
y
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
Luasan R dibatasi oleh grafik-grafik
, ,
,
x
dan d
y c
y y
g x
. Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x
dinyatakan dalam bentuk
dy y
g R
A
d c
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai
integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:
d c
d c
dy y
g dx
y g
R A
Perhatikan contoh-contoh berikut: 1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A0,0, B-3,0 dan C-3,-7. Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva
2
4 x
y
dan sumbu-sumbu koordinat.
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva
2
y x
dan garis
4
x
b. Daerah antara 2 Kurva
Kategori