bab 4 aplikasi integral tertentu revisi
BAB IV
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu.
2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu.
3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu
4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu.
Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan 4) luas permukaan.
Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar.
Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:
(2)
4.1 Luas Suatu Luasan
Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan yf(x) atau xg(y) atau yf(x),xg(y)yang berbatasan dengan
sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan dengan persamaan y f(x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas
sumbu X atau luasan dengan persamaan x g(y) dan sumbu-sumbu koordinat yang
terletak disebelah kanan sumbu Y. Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.
Gambar 4.1
Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan yf(x) dan sumbu-sumbu
koordinat yang terletak di bawah sumbu X atau luasan dengan persamaan x g(y)
dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Y. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.
) (x f y
) (y f x
a
x xb
d y
c y
Y
X
X Y
(3)
Gambar 4.2
Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya
) ( 2 f x
y dan y2 g(x). Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva.
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar luasan dibawah ini
) (x f y
) (y f x
a
x xb
d y
c y
Y
X
Y
(4)
Gambar 4.3
R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva y f(x),x a,x b. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R
dinyatakan dengan
dx x f R
A
b
a
( )
) (
Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk
b
a b
a
dx x f dx x f R
A( ) ( ) ( )
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :
a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.
b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu X atau sumbu Y , selanjutnya bagilah luasan dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.
c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas persegi panjang
d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk. Y
R
) (x f y
X a
(5)
e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas luasan.
Contoh:
1) Segitiga ABC terletak pada XOY , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
Jawab
Gambar segitiga ABC adalah
Gambar 4.4
Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus
A c A c A A x x y y x x y y Diperoleh persamaan 0 3 0 7 0 0 x y 3 7 7
3y xatau y x
Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan A R f x dx
b a
( ) ) ( 5 , 10 9 6 7 6 7 3 7 3 0 2 3 0
xdx xX Y ) 0 , 3 ( B ) 0 , 0 ( A ) 7 , 3 ( C
(6)
2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva y4 x2 dan sumbu-sumbu koordinat.
Jawab
Luasan y4 x2 yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah
Gambar 4.5
Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:
dx x f R
A
b
a
( )
) (
2 2
2 4 x dx
2
0
2
4
2 x dx
2
0 3
3 1 4
2
x x
3 .03
3 1 0 . 4 2 2 . 3 1 2 . 4 2
3 32 3 8 8
2
X 2
2
Y
2
4 x
y
(7)
3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva xy2 dan garis x4
Gambar 4.6
Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan
4
0
4
0
) ( )
(x dx f x dx f
4
0
4
0
) ( )
(x dx f x dx f
4
0
4
0
dx x dx
x
4
0
2 x dx
3 32 8 . 3 4 3
2 2
4
0 2 /
3
x
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
R
X
Y
4
x
2
y
x
(8)
Gambar 4.7
Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva xg(y), y c, yd,dan x0
.
Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan dalam bentuk
dy y g R
A
d
c
( )
) (
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:
d
c d
c
dy y g dx y g R
A( ) ( ) ( )
R
)
(
y
f
x
Y
X
c
(9)
Contoh
1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva xy2 dan garis y2, y2 Jawab
Luasan xy2 dan garis y2, y2 dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 4.8 Sehingga luas luasan tersebut adalah
A R g y dy
d
c
( )
) (
3 16 3
1 2 2
2 0 3 2 0
2 2
2 2
y dy y
dy y
b. Daerah antara dua kurva
Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah yf(x)dan )
(x g
y dengan f(x)g(x)pada selang
a,b
. Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasanR
X
Y
2
y
2
y
x
2
(10)
negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva. Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.
Gambar 4.9
f x g x
xA
( ) ( )
Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:
b
a
dx x g x f R
A( ) ( ( ) ( ))
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
d
c
dy y g y f R
A( ) ( ( ) ( ))
Soal-soal
Y
a
x
x
b
)
(
)
(
x
g
x
f
x
(11)
Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut. 1. Luasan R dibatasi oleh kurva yx2 2 dan
y2x2 x 4
2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva y x, y2x dan x
y 5
3. Luasan R dibatasi oleh kurva y x dan y x6
4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva yx6, y x3 dan 2yx0. Kemudian hitunglah luasnya.
5. Luasan R dibatasi oleh kurva y2 4 xdan y2 4 4x
4.2 Volume Benda Putar
a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh yf(x),xa,xb Selanjutnya R
diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus:
dx y V
b
a
2 .(12)
Gambar 4.10
Gambar 4.11
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu y1 f(x),y2 g(x),xa,xb. Dengan
2 1 y
y Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
X Y
b a
) (x f y
(13)
b
a
dx y y
V 2
2 2 1
Gambar 4.12
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh xg(x),yc,y d Selanjutnya R
diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu
yaitu: V x dy
d
c
2 .(14)
Gambar 4.13
X Y
) (y f x
d y
c y
(15)
Gambar 4.14
Gambar 4.15
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu x1 f(x),x2 g(x),yc,yd. Dengan
2 1 x
x Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
d
c
dy x x
V 2
2 2 1
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
dx x A V
b
a
( )
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.
(16)
Misal daerah dibatasi oleh yf(x),y0,x1,danxb diputar dengan sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang
a,b
.Misal pusat cakram
x0,0
dan jari-jari rf
x0 . Maka luas cakram dinyatakan :
0 2 0 f x xA
Oleh karena itu, volume benda putar :
b
a
dx x f V ( ) 2
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan xg(y),x0, ycdan yd diputar
mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
d
c
dy y g V ( ) 2
Bila daerah yang dibatasi oleh yf
x 0 , yg
x 0, f(x)g(x)untuk setiap
a b
x adan x bx , , diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:
b
a
dx x g x f
V 2( ) 2( )
Bila daerah yang dibatasi oleh xf
y 0,xg
y 0, f(y)g(y) untuk setiap
c d
y cdan y dy , , diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
d
c
dy y g y f
V 2( ) 2( )
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y x2 dan y2 8x diputar mengelilingi
a. sumbu X. b. sumbu Y Jawab :
(17)
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ). a. Pada selang
0,2
, 8x x2 .Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
5 48 8
2
0
2 2 2
x x dxV
b. Pada selang
8 ,
4 ,
0 y y2
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
5 48 8
2
0
2 2 2
y y dyV
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva : x
y x
y 2 2, dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis y2
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di
1,1
dan
2, 2
. Pada selang
1,0
berlakux x 2
2 .
Jarak kurva y 2 x2, y x terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah
4 x
dan
2 x
.Sehingga volume benda putarnya adalah:
5 36 2
4 0
1
2 2
2
dx x x
V
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan
(18)
r r
h rh rV
2 1 2
rata rata jari jari
r r r rr r
dengan 2 1 , , 2 1
2 :
Bila daerah yang dibatasi oleh yf(x), y0,xa,xb diputar mengelilingi sumbu
Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r xdanr xdan tinggi tabung )
(x f
h Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
x dx xf Vb
a
2Misal daerah dibatasi oleh kurva
x y g
x f x g x x
a b
x adanx b fy , , ( ) ( ), , , diputar mengelilingi sumbu Y.
Maka volume benda putar
f x g x
dx xV
b
a
2 ( ) ( )
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan xf(y),x0,yc, yd
diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
f y
dy yV
d
c
2 ( )
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
y x g
y f y g y y
c d
dan y cdan y d fx , , ( ) ( ), , , diputar mengelilingi
sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
f y g y
dx yV
d
c
2 ( ) ( )
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola
Jawab 2
2 x
y dan di atas parabola y x2 diputar mengelilingi sumbu Y.
x x x dxV
1
0
2 2
2 2
(19)
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang 0y 1 dibatasi x 2 ydan sumbu Y sedang pada selang
dibatasi 1y2
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
y dx
y dyV
2 2
1 1
0 2
2
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y 1 x2
, sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal,
1 x2
dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ).Oleh karena itu, volume benda putar :
6 5 1
1
2 2
0 1
dx x x V
(20)
Gambar 4.16
Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva yf(x). Berdasarkan
definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur B
P P P P P P P
AP1, 1 2, 3 4,... n2 n1, n1 yang menghubungkan titik-titik pada busur itu.
Jika banyaknya titik-titik pada kurva yf(x)banyaknya menuju tak hingga maka
panjang tiap tali busur tersebut menuju nol.
Selanjutnya jika A(a,c)dan B(b,d)sebarang dua titik pada kurva yf(x)dengan
turunan y f(x) adalah y'f'(x)yang masing-masing kontinu pada interval b
x
a maka panjang tali busur dinyatakan oleh
b
a AB
dx dx dy ds s
2
1
Dengan cara yang sama, jika A(a,c)dan B(b,d)dua titik pada kurva yang
persamaannya dinyatakan dengan xf(y) dengan xf(y) turunannya adalah )
( ' ' f y
x yang masing-masing kontinu pada cydmaka panjang busur AB
dinyatakan oleh
B Pn
2 P Y
X
) (x f y
i
P
j
P
A
P
o
1 P
(21)
d c AB dy dy dx ds s 2 1Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
2
1
)(
)(
tt
t
dengan
tg
y
tf
x
Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:
2 1 2 2 t t AB du dt dy dt dx ds s Contoh1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis y 2x3
antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak. Jawab
Karena y2x3 diperoleh 2 dx dy sehingga
3 1 2 3 1 2 2 1 1 dx dx dx dy s
5
13 3 51 52 5 x
Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik 2
2 ( )
)
(XB XA YB YA
AB
5 2 20 16 4 ) 5 9 ( ) 1 3
( 2 2
AB
(22)
2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva y2 8x2 jika A(0,0) dan B(1,2) Jawab
Karena y2 8x2 maka x
dx dy
y 16
2 atau
2 8 16 x x dx dy
dan berubah dari x 0 dan 1
x sehingga
dx dx x x dx dx dy s
1 0 1 0 2 2 1 0 2 32 1 8 16 1 1
1 033 x
33
3) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva x 3y3/2 1 untuk 0y4.
Jawab
Karena x3y3/2 1 maka y
dy dx 2 9 sehingga
d c dy dy dx S 2 1
4 0 2 2 91 y dy
4
0 4
81 1 y dy
Dengan menggunakan substitusi .
Misal m y
4 81 1
diperoleh m y
4 81 1
2
sehingga mdm dy
4 81
2
Karena y 0 maka m1 dan Karena y4 maka m 90
(23)
90 1 90 1 3 4 0 3 1 81 8 81 8 4 81 1
y dy m mdm m
3 1 90 30 81 8
4) Tentukan panjang tali busur pada kurva 24xyx4 8 antara x 1danx2
Jawab
Karena 24xyx4 8 maka xdy ydx x3dx
4 ) (
24
Atau
24x
dy
4x3 24y
dxsehingga diperoleh3 4 4 3 3 8 16 24 24 8 24 24 24 24 4 x x x x x x x y x dx dy
Karena y berubah dari x 1danx2 sehingga
2 1 2 1 dx dx dy s
2 1 2 4 8 16 1 dy x x \
2 1 2 2 4 16 64 1 dx x x
2 1 2 2 16 8 1 dx x x 2 1 3 32 3 1 8 1 x x 24 55 3 55 8 1 32 3 1 8 1 16 3 8 8 1 5) Tentukan panjang tali busur pada kurva x1t,y23t,0t 1
Jawab
Karena x1t maka 1 dt dx
dan karena y23t maka 3 dt dy
(24)
2 1
2 2
t
t AB
dt dt dy dt
dx ds s
1
0
2 2 3
1 dt
1
0
10dt
t 10
10 10Soal-soal
Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh 1)
2 1
3/23 2
x
y antara x 1dan x2
2)
2/3
3/24 x
y antara x 1dan x 8
3) x3y3/2 1 antara y 0dan y4
4) 6xyx4 3 antara x 1dan x2
5) ,1 4
2 1 2 , 2
3 2 3
t y t t
x
6)
2 0
, 5 cos 4 , sin
4
t y t t
x
4.4 Luas Permukaan Benda Putar
Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang XOY mengelilingi salah satu sumbu pada bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu
Perhatikan gambar berikut.
R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva yf(x),xa,xb diputar mengelilingi sumbu
x
(25)
Gambar 4.17
Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga terbentuk benda pejal
Gambar 4.18
X X
) (x f y
R
a
x xb
X X
) (x f y
R
a
(26)
Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas r1 dan 2
r
Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah
t r r A atau tinggi jari jari rerata A 2 2 ) )( ( 2 2 1
Selanjutnya andaikan yf(x),axb dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n
bagian dengan menggunakan axo x1x2x3 ...xn1xn. Dengan demikian
kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan si menyatakan panjang potongan
i
ke dan andaikan yi adalah sebuah titik pada potongan si. Karena pita potongan
diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh
. 2 i i
i y s
A Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan denganxi 0diperoleh
luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:
i n
i i
P y s
A
1 0 2 lim
b a b a dx dx dy y yds A 2 1 2 2 Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis c
y dan ydmaka luas permukaannya dinyatakan dengan
d c d c dy dy dx x xds A 2 1 2 2 Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
) ( ),
(t y g t f
x dengan atbmaka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh rumus
(27)
b
a b
a
dt dt dy dt
dx t g yds A
2 2
) ( 2
2
Contoh soal
1) Luasan R dibatasi oleh kurva y6x,x 0,x 1 diputar mengelilingi sumbu
x
.Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
Gambar 4.19
Karena y6xmaka 6 dx dy
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
x y6 Y
Y
X X
1
x x1
x y6
(28)
dx x
dx x
dx dx dy y
yds A
b
a
37 6 2
6 1 6 2
1 2
2
1
0
2 1
0 1
0
2
1
0 2
2 1 37
12
x
37 6
2 1 37 12
2) Luasan R dibatasi oleh kurva yx2,y0,y1 diputar mengelilingi sumbu y.
dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
(29)
Gambar 4.20
Karena y x2 maka x y sehingga
y dy
dx 2
1
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
b
a
xds A 2
dy dy dx y
2 1
0
1
2
dy y y
2 1
0 2
1 1
2
dy y y
2 1
0 2
1 1
2
X X
Y Y
2 x y
(30)
dy y y y
1
0 4
1 4 2
dy y y y
1
0
1 4 2
1 2
dy y
1
0
1 4
1 0 2 3 1 4 4 1 . 3 2
y
5 5 1
6
3) Kurva 25 2, 2 3
x x
y diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas
permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan. Jawab
Gambar 4.21
Karena y 25 x2 maka diperoleh
2
25 x x dx
dy
X
Y Y
(31)
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
b
a
yxds A 2
dx dx dy x 2 1 0 2 1 25 2
dy x x x 2 2 1 0 2 25 1 252
dx x x x
22 1 0 2 25 1 25 2 dx x x
3 2 2 2 25 25 25 2
3 210
x
3 ( 2)
10
50
Soal-soal
1) Sebuah luasan R dibatasi kurva ,1 7 3
3
x x
y diputar mengelilingi sumbu x,
dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
2) Sebuah luasan R dibatasi kurva ,1 3
8 2 2 6 x x x
y diputar mengelilingi sumbu x,
dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
3) Sebuah luasan R dibatasi kurva xy3,x0,y0 dan diputar mengelilingi
sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
4) Sebuah luasan R dibatasi kurva x 9 x2,3x3 dan diputar mengelilingi
sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
(32)
5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x. Tentukan luas permukaannya.
a) xt,yt2,0t1
b) x1 t2,y2t,0t1
c) xcost,y sint,0t1
(1)
b
a b
a
dt dt dy dt
dx t g yds A
2 2
) ( 2
2
Contoh soal
1) Luasan R dibatasi oleh kurva y6x,x 0,x 1 diputar mengelilingi sumbu
x
.Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
Gambar 4.19
Karena y6xmaka 6 dx dy
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
x y6 Y
Y
X X
1
x x1
x y6
(2)
dx x
dx x
dx dx dy y
yds A
b
a
37 6 2
6 1 6 2
1 2
2
1
0
2 1
0 1
0
2
1
0 2 2 1 37
12
x
37 6
2 1 37 12
2) Luasan R dibatasi oleh kurva yx2,y0,y1 diputar mengelilingi sumbu y. dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
(3)
Gambar 4.20
Karena y x2 maka x y sehingga
y dy
dx
2 1
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
b
a
xds A 2
dy dy dx y
2 1
0 1
2
dy y y
2 1
0 2
1 1
2
dy y y
2 1
0 2
1 1
2
X X
Y Y
2
x y
(4)
dy y y y
1
0 4
1 4 2
dy y y y
1
0
1 4 2
1 2
dy y
1
0
1 4
1
0 2 3 1 4 4 1 . 3 2
y
5 5 1
6
3) Kurva 25 2, 2 3
x x
y diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas
permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan. Jawab
Gambar 4.21
Karena y 25 x2 maka diperoleh
2 25 x
x dx
dy
X
Y Y
(5)
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
b
a
yxds A 2
dx dx dy x 2 1 0 2 1 25 2
dy x x x 2 2 1 0 2 25 1 252
dx x x x
22 1 0 2 25 1 25 2 dx x x
3 2 2 2 25 25 25 2
3 2 10 x
3 ( 2)
10
50
Soal-soal
1) Sebuah luasan R dibatasi kurva ,1 7 3
3
x x
y diputar mengelilingi sumbu x, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
2) Sebuah luasan R dibatasi kurva ,1 3 8 2 2 6 x x x
y diputar mengelilingi sumbu x, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
3) Sebuah luasan R dibatasi kurva xy3,x0,y0 dan diputar mengelilingi sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
4) Sebuah luasan R dibatasi kurva x 9 x2,3x3 dan diputar mengelilingi
sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
(6)
5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x. Tentukan luas permukaannya.
a) xt,yt2,0t1 b) x1 t2,y2t,0t1 c) xcost,y sint,0t1