Penyelesaian :
Dari persamaan di atas didapat
2. Spline Kuadrat
Spline Kuadrat menyediakan sebuah persamaan kuadrat yang men- ghubungkan sedikitnya tiga pasangan data yang berdekatan di dalam him-
x fx
1.11 1.22
1.33 1.44
1.49 0.104
0.1983 0.2846
0.3641 0.3986
1.2 1.1
1 .
1 1
. 1
2 .
1 0953
. 1823
. 0953
.
1
≤ ≤
− −
− +
= x
x x
f 1.3
1.2 2
. 1
2 .
1 3
. 1
1823 .
2624 .
1823 .
2
≤ ≤
− −
− +
= x
x x
f 1.4
1.3 3
. 1
3 .
1 4
. 1
2624 .
3365 .
2624 .
3
≤ ≤
− −
− +
= x
x x
f 1.4
1.3 3
. 1
3 .
1 4
. 1
2624 .
3365 .
2624 .
4
≤ ≤
− −
− +
= x
x x
f 1.5
1.4 4
. 1
4 .
1 5
. 1
3365 .
4055 .
3365 .
5
≤ ≤
− −
− +
= x
x x
f
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Spline Linear
punan data n
i x
f x
i i
, .
. .
, 2
, 1
, ,
= . Bentuk umum dari persamaan kuadrat
diantara titik
i i
x f
x , dan
1 1
,
+ +
i i
x f
x adalah
i i
i i
c x
b x
a x
f +
+ =
2
1 ,
. .
. ,
2 ,
1 −
= n
i
2.2 oleh karena itu, setiap dua titik-titik data yang berdekatan mempunyai sebuah
persamaan interpolasi yang diberikan oleh 2.2 dengan 3 konstanta
i i
i
c b
a dan
, ,
. Untuk n titik data terdapat n-1 selang, maka ada 3n-1 konstanta yang harus-
dicari dan yang memenuhi 3n-1 persamaan atau kondisi sebagai berikut : 1. Spline harus melalui titik-titik data. Nilai-nilai fungsi harus sama pada
simpul-simpul dalam untuk i = 1 sampai n dimana 1
, .
. .
, 2
, 1
− =
n i
. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai berikut :
i i
i i
i i
i
x f
c bx
x a
x f
= +
+ =
2
1 ,...,
3 ,
2 ,
1 −
= n
i 2.3
1 1
2 1
1 +
+ +
+
= +
+ =
i i
i i
i i
i i
x f
c x
b x
a x
f
1 ,...,
3 ,
2 ,
1 −
= n
i 2.4
2. Spline harus kontinu pada bagian dalam titik-titik data. Kondisi ini dapat dinyatakan menggunakan derivatif pertama dari spline kuadrat.
1 1
1
2 2
+ +
+
+ =
+
i i
i i
i i
b x
a b
x a
1 ,...,
3 ,
2 ,
1 −
= n
i 2.5
3. Kondisi terakhir yang dapat dibentuk bebas sebagai turunan kedua dari
spline diantara dua titik data pertama menjadi nol. Sejak turunan pertama untuk spline pertama adalah
i
a 2
, kondisi ini dapat dinyatakan =
i
a . 2.6
Contoh 2.2 Gunakan Tabel 2.1 untuk mencari nilai Interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33
1.44 1.49] menggunakan Spline Kuadrat. Penyelesaian :
Data tabel terdapat 5 titik data. Dengan menggunakan persamaan 2.3 sampai dengan persamaan 2.6 dihasilkan 35-1 = 12 kondisi yang dibutuhkan untuk
mendapatkan 35-1 = 12 konstanta yang dibutuhkan. Persamaan 2.3 menghasilkan :
. =
c b
. a
. .
= c
b .
a .
. =
c b
. a
. .
= c
b .
a .
3365 4
1 96
1 2624
3 1
69 1
1823 2
1 44
1 0953
1 1
21 1
4 4
4 3
3 3
2 2
2 1
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
Persamaan 2.4 menghasilkan :
. c
b .
a .
. c
b .
a .
. c
b .
a .
. c
b .
a .
4055 5
1 25
2 3365
4 1
96 1
2624 3
1 69
1 1823
2 1
44 1
4 4
4 3
3 3
2 2
2 1
1 1
= +
+ =
+ +
= +
+ =
+ +
Persamaan 2.5 menghasilkan :
b a
. b
a .
b a
. b
a .
b a
. b
a .
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
8 2
8 2
6 2
6 2
4 2
4 2
+ =
+ +
= +
+ =
+
Persamaan 2.6 menyatakan : a1 = 0
Dengan menggunakan pensubtitusian didapatkan
8895 1
43 2
6 5371
498 09
8553 1
526 2
69 8617
87
4 4
4 3
3 3
2 2
2 1
1 1
. c
. b
. a
. c
. b
. a
. c
. b
. a
. c
. b
a
− =
= −
= −
= =
= −
= =
− =
− =
= =
Maka persamaan Spline Kuadrat yang dihasilkan adalah
5 .
1 4
. 1
8895 .
1 43
. 2
6 .
4 .
1 3
. 1
5371 .
498 .
09 .
3 .
1 2
. 1
8553 .
1 526
. 2
69 .
2 .
1 1
. 1
8617 .
87 .
2 4
2 3
2 2
1
≤ ≤
− +
− =
≤ ≤
− +
= ≤
≤ −
+ −
= ≤
≤ −
=
x x
x x
f x
x x
x f
x x
x x
f x
x x
f
Dari persamaan di atas didapat
3. Spline Kubik
Spline kubik adalah menurunkan polinom orde ketiga untuk setiap selang di antara simpul,seperti dalam :
i i
i i
d x
c x
b x
a x
f +
+ +
=
2 3
. x
fx 1.11
1.22 1.33
1.44 1.49
0.104 0.1994
0.2844 0.3655
0.3991
Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Spline Kuadrat
Jadi untuk n + 1 titik data i = 0, 1, 2, . . . , n, terdapart n interval maka diperlukan 4n konstanta yang harus dicari yang persamaan-persamaannya di-
cari dengan mengikuti definisi 2.2.
Definisi 2.2
Diberikan fungsi f pada
[ ]
b a,
dan suatu himpunan angka yang disebut simpul
b x
x x
a
n
= =
. .
.
1
. Suatu interpolasi spline kubik S, untuk
x f
adalah suatu fungsi yang memenuhi kondisi :
a .
x S
adalah polinom kubik, x
S
k
menyatakan polynomial pada segmen
[ ]
1
,
+ k
k
x x
untuk k = 0, 1, . . . , n-1 ;
b .
k k
x f
x S
= k = 0, 1, . . . , n-1 ;
c
.
1 1
1
+ +
+
=
k k
k k
x S
x S
k = 0, 1, . . . , n-2 ;
d .
1 1
1 +
+ +
=
k k
k k
x S
x S
k = 0, 1, . . . , n-2 ;
e .
1 1
1 +
+ +
=
k k
k k
x S
x S
k = 0, 1, . . . , n-2 ;
f . Memenuhi salah satu kondisi
i
= =
n
x S
x S
Batas Natural
ii x
f x
S =
dan
n n
x f
x S
= Batas Apitan
Bentuk Interpolasi Spline Kubik untuk fungsi f , dengan mengikuti kondisi-
kondisi dalam Definisi 2.1 a
.
3 2
k k
k k
k k
k k
x x
d x
x c
x x
b a
x S
− +
− +
− +
= k = 0, 1, . . . , n-1 ;
2.7 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
b .
k k
x f
x S
=
3 2
k k
k k
k k
k k
k k
k k
x x
d x
x c
x x
b a
x S
− +
− +
− +
=
k k
k K
d c
b a
+ +
+ =
k
a =
k k
x f
a =
∴ 2.8
c
.
1 1
1 +
+ +
=
k k
k k
x S
x S
maka
3 1
2 1
1 1
k k
k k
k k
k k
k k
k k
x x
d x
x c
x x
b a
x S
− +
− +
− +
=
+ +
+ +
dan
3 1
1 2
1 1
1 1
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
− +
− +
− +
=
k k
k k
k k
k k
x x
d x
x c
x x
b a
x S
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
− +
− +
− +
=
k k
k k
k k
k k
k k
k k
x x
d x
x c
x x
b a
x S
1 1
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
=
k k
k k
d c
b a
1 +
=
k
a
1 1
1 +
+ +
=
k k
k k
x S
x S
maka
3 1
2 1
1 1
k k
k k
k k
k k
k k
k
x x
d x
x c
x x
b a
a −
+ −
+ −
+ =
+ +
+ +
jika
k k
x x
−
+1
di ganti
k
h maka
3 1
2 1
1 1
1 1
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k
x x
d x
x c
x x
b a
a x
S −
+ −
+ −
+ =
=
+ +
+ +
+ +
Kategori