I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan pada saat ini sangat pesat dalam bidang sains dan teknologi. Teori graf yang merupakan bidang ilmu matematika yang banyak
digunakan dalam merepresentasikan permasalahan atau kondisi di kehidupan sehari-hari, khususnya dalam permasalahan desain jaringan dan terapan
komputasi, misalnya : desain jaringan komputer, desain jaringan telekomunikasi, desain jaringan transportasi, desain jejaring sosial, dan lain-lain.
Secara sederhana, graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan
untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti. Teori graf
dikemukan oleh seorang matematikawan Swiss, Leonhard Euler pada tahun 1736 sewaktu menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg Konigsberg Problem
yaitu bagaimana melewati tujuh jembatan yang menghubungkan daratan dan dibelah oleh sungai Pregel di Polandia masing-masing tepat satu kali dan kembali
ketempat semula. Daratan yang dihubungkan oleh jembatan dinyatakan sebagai titik dan jembatan dinyatakan sebagai sisi.
Untuk permasalahan jembatan Konigsberg, Leonhard Euler menyatakan bahwa
tidak mungkin melewati jembatan tersebut tepat satu kali karena banyaknya
jembatan yang menghubungkan daratan berjumlah ganjil, tetapi sebaliknya hal ini dapat terjadi jika banyaknya jembatan yang menghubungkan masing-masing
daratan adalah berjumlah genap.
Suatu graf GV,E dengan V adalah suatu himpunan titik yang tidak boleh kosong dan E adalah himpunan sisi yang boleh kosong. Graf dikatakan terhubung jika
terdapat path lintasan antara sebarang dua titik di graf G. Sisi paralel adalah dua atau lebih sisi yang menghubungkan dua titik yang sama dalam suatu graf dan
loop adalah suatu sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama.
Graf berlabel adalah suatu graf yang tiap titiknya dan atau sisinya memiliki label berupa bilangan asli. Jika suatu graf hanya titiknya diberi label maka pelabelan
disebut pelabelan titik. Jika suatu graf hanya sisinya diberi label maka pelabelan disebut pelabelan sisi. Jika suatu graf titiknya dan sisinya diberi label maka
pelabelan disebut pelabelan total. Jika diberikan n titik dan m sisi; dengan
n 1
dan
m 1
, maka banyak graf yang dapat terbentuk, diantaranya adalah graf tak terhubung dan graf terhubung,
dengan graf yang terbentuk memiliki loop dan atau sisi paralel didalamnya.
Adapun penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya mengenai penentuan banyaknya suatu graf baik berupa graf tak terhubung berlabel dan graf
terhubung berlabel, antara lain: 1.
Winarni 2015, meneliti tentang penentuan banyaknya graf tak terhubung berlabel jika diberikan n titik, m sisi tanpa sisi paralel. Untuk n
3 dan
m 1
rumus yang diperoleh yaitu 2m 2
2
, dan untuk
n 4
dan
m 1
rumus yang diperoleh yaitu 3m 1
m 1 2m 2
3 3
2
. 2.
Arifah 2015, meneliti tentang penentuan banyaknya graf terhubung berlabel jika diberikan n titik, m sisi tanpa sisi paralel. Untuk
n 3
dan
m 2
rumus yang diperoleh yaitu 2
1 2
m
, untuk
n 4
dan m 3
diperoleh graf sebanyak 16, dan untuk
n 4
dan m
3 rumus yang
diperoleh yaitu 3m 1
m 1 m 1
3 3
3 3
. Penelitian ini dimaksudkan untuk menentukan banyaknya graf berlabel graf tidak
terhubung dan graf terhubung tanpa sisi paralel untuk
n 1
dan
m 1
serta membangun sistem untuk menghitung banyaknya graf tersebut.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini akan dibatasi pada graf berlabel, khususnya pelabelan titik tanpa sisi paralel untuk
1 n 4
dan
m 1
.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah: 1.
Menentukan banyaknya graf berlabel baik berupa graf tak terhubung dan graf terhubung khususnya pelabelan titik tanpa sisi paralel, jika diberikan n
titik dan m sisi dengan 1 n
4 dan m 1
.
2. Menentukan bentuk umum graf berlabel tanpa sisi paralel yang telah
terbentuk.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah: 1.
Menambah pemahaman konsep teori graf dan aplikasinya khususnya tentang penentuan graf berlabel yang terbentuk.
2. Memberikan dasar atau acuan bagi penelitian-penelitian selanjutnya dalam
mengembangkan dan menerapkan teori graf khususnya pada permasalahan komputasi.
Gambar 1. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 sisi
e
1
e
5
e
3
e
2
e
4
v
3
v
2
v
1
v
4
e
6
II. LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
mendukung dalam penelitian ini.
2.1 Konsep Dasar Teori Graf
Berikut ini akan diberikan konsep dasar teori graf yang bersumber dari Gross dkk
2014: Suatu graf G = V,E, beranggotakan dua himpunan V dan E, dengan anggota dari
V disebut titik dari G dan anggota E disebut sisi dari G. Himpunan V adalah himpunan tak kosong yang berhingga dan himpunan E adalah himpunan dari satu
atau dua titik dari V.
Jika suatu titik v merupakan titik akhir atau ujung dari sisi e, maka titik v dikatakan menempel incident pada sisi e, dan sisi e juga menempel pada titik v,
serta suatu titik u dikatakan bertetangga adjecent dengan titik v, jika kedua titik
Gambar 3. Contoh subgraf H dari graf G
e
2
e
1
e
5
e
3
e
4
v
3
v
2
v
1
v
4
e
6
v
5
v
6
e
6
G :
e
2
e
1
v
3
v
2
v
1
v
5
e
6
H :
tersebut terhubung oleh sisi yang sama. Banyaknya n titik atau V n
pada graf
G disebut urutan atau orde dan banyak m sisi atau E m
pada graf G disebut ukuran atau size. Untuk contoh dari Gambar 1 terlihat bahwa sisi e
5
, e
6
menempel pada titik v
4
serta untuk titik v
1
bertetangga dengan v
2
dan v
3
. Derajat degree dari suatu titik v pada graf G dinotasikan sebagai degv, adalah
banyaknya sisi yang menempel pada titik v dengan loop terhitung dua. Untuk contoh dapat terlihat pada Gambar 1 bahwa degv
1
= 2, degv
2
= 4, degv
3
= 4 dan degv
4
= 2. Titik terasing merupakan titik yang memiliki derajat nol, sedangkan titik pendant
atau titik ujung adalah titik yang memiliki derajat satu. Untuk contoh pada Gambar 2 terlihat titik v
4
merupakan titik pendant dan titik v
5
merupakan titik terasing.
Suatu subgraf dari graf G adalah graf H dengan VH
VG dan EH
EG maka H disebut sebagai subgraf dari G atau graf G adalah supergraf dari H.
Gambar 2. Contoh graf dengan 1 titik pendant dan 1 titik terasing
e
1
e
5
e
3
e
2
e
4
v
3
v
2
v
1
v
4
v
5
Kategori