Batang dengan kedua ujungnya dianggap jepit.

MODUL 3 -2- Metoda “Slope Deflection” Besarnya variabel-variabel tadi akan dihitung dengan menyusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada dengan ketentuan bahwa momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul haruslah dalam keadaan seimbang atau dapat dikatakan jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Disini diperlukan perumusan dari masing-masing momen batang sebelum menyusun persamaan-persamaan yang dibutuhkan untuk menghitung variabel-variabel itu. Rumus-rumus momen batang tersebut mengandung variabel-variabel yang ada yaitu rotasi titik simpul. Dengan persamaan-persamaan yang disusun, besarnya variabel dapat dihitung. Setelah besarnya variabel didapat, dimasukkan kedalam rumus-rumus momen batang, maka besarnya momen batang-batang tersebut dapat dihitung. Demikianlah konsep dari metoda “Slope Deflection” untuk menyelesaikan struktur statis tidak tertentu.

3.1.2. Perumusan Momen Batang

Momen batang dapat ditimbulkan dengan adanya beban luar, rotasi titik simpul ujung-ujung batang dan juga akibat perpindahan relatif antara titik simpul ujung batang atau yang biasa disebut dengan pergoyangan. Seberapakah besarnya momen akibat masing-masing penyebab tadi, dapat diturunkan sebagai berikut :

A. Batang dengan kedua ujungnya dianggap jepit.

1. Akibat beban luar Momen batang akibat beban luar ini seterusnya disebut sebagai Momen Primair M P , yaitu momen akibat beban luar yang menggembalikan rotasi nol θ = 0 pada ujung batang jepit. MODUL 3 -3- Metoda “Slope Deflection” Dari ketiga pembebanan tadi, rotasi di i dan j haruslah sama dengan nol karena i dan j adalah jepit. θ ij = EI 6 L M - EI 3 L M - EI 24 qL ji P ij P 3 = 1 θ ji = EI 3 L M - EI 6 L M - EI 24 qL ji P ij P 3 = 2 EI 24 qL 3 ij = θ L i j M Pij M Pji q a. Batang ij dibebani beban q, dengan kondisi i dan j jepit EI L i j EI 24 qL 3 ji = θ q II b. Beban terbagi rata q MP ij i j EI 3 L M ij P ij = θ EI 6 L M ij P ji = θ c. Beban M Pij MP ji i j i i EI 6 L M ji P ij = θ EI 3 L M ji P ji = θ d. Beban MP ji Gambar 4.1. Batang i-j dengan beban terbagi rata q akibat beban q akan terjadi lendutan, tetapi karena i dan j jepit, maka akan terjadi momen di i dan j untuk mengembalikan rotasi di jepit sama dengan nol, yaitu θ ij = 0 dan θ ji = 0. Momen itulah yang disebut momen primair M P , M Pij di ujung i dan M Pji di ujung batang j. Berapakah besarnya M Pij dan M Pji bisa kita cari sebagai berikut. Kondisi batang i-j yang dibebani beban terbagi rata q dan terjadi M Pij dan M Pji karena ujung-ujung i dan j jepit, dapat dijabarkan sebagai balok dengan ujung-ujung sendi dibebani beban terbagi rata q, Gambar b, beban momen M Pij Gambar c dan beban momen M Pji Gambar d. MODUL 3 -4- Metoda “Slope Deflection” Dari kedua persamaan itu didapatkan besarnya Mp ij dan Mp ji yaitu : M Pij = M Pji = 12 1 qL² Dengan cara yang sama dapat diturunkan rumus besarnya momen primair dari beban terpusat sebagai berikut : 2. Akibat rotasi di i θ ij j M Pji P j Beban terpusat P ditengah bentang M Pij = M Pji = 8 1 PL M Pij = ² L b ² Pa M ² L ² Pab ji P = θ ji = EI 3 L M ji Akibat rotasi θ ij , di ujung i terjadi momen Mij, dan untuk mempertahankan rotasi di j sama dengan nol θ ji = 0 akan terjadi momen M ji . Kondisi pada Gambar a dapat dijabarkan sebagai balok dengan ujung-ujung sendi dengan beban M ij Gambar b dan beban M ji Gambar c. Dari kedua pembebanan tersebut, rotasi di j harus sama dengan nol. θ ji = EI 3 L M - EI 6 L M ji ij = M ji = ½ M ij Disini kita dapatkan bahwa apabila di i ada momen sebesar M ij , untuk memper- tahankan rotasi di j sama dengan nol 0, maka momen tadi diinduksikan ke j dengan faktor induksi setengah 0,5. i M Pij EI 2 L 2 L i P EI L a b M ji M ij θ ij EI i j L a. Batang ij dengan rotasi θ ij i θ ij = EI 3 L M ij θ ji = EI 6 L M ij j M ij b. Beban M ij di i θ ij = EI 6 L M ji M ji Gambar 4.2 c. Beban M ji di j θ ji = 0 MODUL 3 -5- Metoda “Slope Deflection” Besarnya rotasi di i : θ ij = EI 6 L M - EI 3 L M ji ij Dengan memasukkan Mji = ½ M ij , didapat θij = ij ij ij L EI 4 M → EI 4 L M θ = 4 Sehingga didapat besarnya momen akibat θ ij : M ij = ij ji ij L EI 2 M dan L EI 4 θ θ = Kita buat notasi baru yaitu kekakuan sebuah batang K dengan definisi : Kekakuan batang K adalah besarnya momen untuk memutar sudut sebesar satu satuan sudut θ = 1 rad, bila ujung batang yang lain berupa jepit. Untuk θ ij = 1 rad, maka K ij = L EI 4 3. Akibat rotasi di j θ ji 4. Akibat pergoyangan ∆ Karena ujung-ujung i dan j jepit maka akan timbul momen Mij dan Mji untuk mengembalikan rotasi yang terjadi akibat pergoyangan. Seolah-olah ujung i dan j berotasi θ ij = θ ji = L ∆ , sehingga besarnya momen : i j M ij θ ji M ji L EI Gambar 4.3. akibat M ji Dengan cara sama seperti penurunan rumus akibat θ ij , maka akibat rotasi θ ji , maka akibat rotasi θ ji didapat : M ji = ji ij ji L EI 2 M ; L EI 4 θ θ = i ∆ M ij M ji EI Gambar 4.4. akibat ∆ L j j Akibat pergoyangan perpindahan relatif ujung-ujung batang sebesar ∆, maka akan terjadi rotasi θ ij dan θ ji θ ij = θ ji = L ∆ MODUL 3 -6- Metoda “Slope Deflection” M ij = ∆ θ θ . ² L EI 6 . L EI 2 L EI 4 ji ij = + M ji = ∆ θ θ . ² L EI 6 . L EI 2 L EI 4 ij ji = + Dari keempat hal yang menimbulkan momen tadi, dapat ditulis rumus umum momen batang sebagai berikut: Untuk i dan j jepit : M ij = M Pij + ∆ θ θ ² L EI 6 L EI 2 L EI 4 ji ij + + 4.1 – 1a M Pji = M Pji + ∆ θ θ ² L EI 6 L EI 2 L EI 4 ij ji + + 4.1 – 1b Dengan K ij = L EI 4 M ij = M Pij + K θ ij + ½ θ ji + 1,5 L ∆ 4.1 – 2a M ji = M Pji + K θ ji + ½ θ ij + 1,5 L ∆ 4.1 – 2b

B. Batang dengan salah satu ujungnya sendi rol