2.6.1. Kriptografi Kurva Elips
Kriptografi kurva elips adalah kriptografi logaritma diskrit dengan menggunakan grup titik kurva elips yang berada pada daerah berhingga. Dibandingkan dengan kriptografi
non kurva elips, kriptografi kurva elips memiliki tingkat keamanan yang sama dengan ukuran kunci yang lebih kecil Hankerson et al, 2004.
Penggunaan kurva ellips dalam kriptografi dapat dikombinasikan dengan algoritma kriptografi non kurva elips. Beberapa algoritma tersebut antara lain :
1. Skema enkripsi ElGamal ECC. 2. Tanda tangan digital ECDSA
– Elliptic Curves Digital Signature. 3. Protokol pertukaran kunci Diffie Hellman ECC.
Operasi yang digunakan dalam kriptografi kurva elips adalah operasi grup untuk kurva elips
penjumlahan, dan disebut operasi perkalian pada grup . Pada
tabel 2.9 memberikan hubungan antara dengan
Hankerson et al, 2004.
Tabel 2.9. Hubungan antara Grup dengan kurva
Grup Grup Kurva
Elemen Integer p-1}
Titik x,y pada kurva E + O
Aturan operasi Perkalian modulo p Penjumlahan 2 titik
Notasi Elemen : g,h
Elemen : P,Q Perkalian :
Perkalian : P + Q Invers :
-
Invers : -P Pembagian :
Pembagian : P – Q
Pemangkatan : Perkalian : aP
Discrete Logarithm
Problem Diberikan
dan , cari a
Diberikan dan
, cari a
Persamaan kurva elips yang paling sering digunakan dalam kriptografi kurva elips adalah
......................................................................................... 12 , p 3 dan
. Untuk menentukan titik yang terdapat dalam kurva elips dapat menggunakan
algoritma Euler Criterion Galbraith, 2012.
Universitas Sumatera Utara
.....................................................................................................................................................
13 Jika hasilnya 1 maka titik terdapat dalam kurva elips sedangkan -1 maka titik
tidak terdapat dalam kurva elips. Contoh :
Himpunan pada kurva elips
dengan , dengan . Nilai
, sehingga merupakan
persamaan kurva elips. Untuk menentukan titik yang merupakan anggota dapat dilihat pada tabel 2.10.
Tabel 2.10. Perhitungan Euler Criterion pada setiap kemungkinan titik
x Euler Criterion
1 1
2 -1
3 1
4 5
1 6
1 7
1 x
Euler Criterion 8
-1 9
1 10
-1 11
1 12
1 13
1 14
-1 15
-1 x
Euler Criterion 16
-1 17
1 18
1 19
1 20
-1 21
-1 22
-1
Pasangan koordinat titik x dan y dapat dilihat pada tabel 2.11 dan secara geometris dapat dilihat pada gambar 2.6.
Tabel 2.11. Pasangan koordinat pada kurva elips
x Y
1 22
1 7
1 16
3 10
3 13
4 5
4 5
19 x
y 6
4 6
19 7
11 7
12 9
7 9
16 11
3 11
20 12
4 x
y 12
19 13
7 13
16 17
3 17
20 18
3 18
20 19
5 19
18
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.6. Sebaran titik-titik pada kurva elips untuk
2.6.2. Aturan Penjumlahan Dua Titik pada Kurva Elips
Kategori