2. Memiliki elemen identitas e. e
a = a e = a 3. Memiliki elemen inversi a
-1
. a
a
-1
= a
-1
a = e Jika sebuah grup memiliki sifat komutatif a
b = b a disebut abelian, sebaliknya disebut non-abelian.
2.3. Teori Bilangan Bulat
Salah satu teori sangat penting dan sering digunakan pada bidang kriptografi dan merupakan teori yang menjadi dasar bagi kriptografi kunci publik adalah teori
bilangan bulat Munir, 2006. Berikut teori bilangan bulat yang digunakan pada
penelitian ini.
2.3.1. Kekongruenan
Sebuah bilangan bulat a disebut kongruen terhadap bilangan b dalam modulus N jika N dapat habis membagi
. Kekongruenan a dan b dapat ditulis Batten, 2013.
Contoh : 5 kongruen dengan 14 dalam modulus 9 karena 9 habis membagi -9.
2.3.2. Faktor Persekutuan Terbesar Greatest Common Divisior
Faktor persekutuan terbesar pada bilangan bulat a dan bilangan bulat b adalah bilangan bulat terbesar yang dapat membagi habis a dan b Mollin, 2007.
Contoh : Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 dan Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9,
18, sehingga faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 18 adalah 6 atau gcd
2.3.3. Relatif Prima
Bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika faktor persekutuan terbesar antara a dan b adalah 1 atau dapat ditulis sebagai berikut
Schneier, 1996.
Universitas Sumatera Utara
Contoh : Faktor dari 24 adalah 1,2,3,4,6,8,12,24 dan Faktor dari 25 adalah 1,5 ,25. Faktor
Persekutuan Terbesar dari 24 dan 25 adalah 1 sehingga 24 relatif prima terhadap 25 atau gcd24, 25 = 1.
2.3.4. Fungsi Phi Euler
Fungsi Phi Euler adalah banyak bilangan bulat yang lebih besar dari satu dan lebih kecil dari n yang relatif prima terhadap n dengan
. Simbol dari fungsi Phi Euler dari sebuah bilangan n adalah
. Untuk mencari nilai fungsi Phi Euler terdapat beberapa cara aturan Menezes et al, 1996 :
1. Jika p adalah bilangan prima. – .............................................................................................................. 2
2. Jika ................................................................................................... 3
3. Jika n = adalah faktorisasi prima dari n, maka
................................................................... 4 Contoh :
Faktorisasi prima dari 10 adalah 2, 5 sehingga
2.3.5. Algoritma Extended Euclidean
Extended Euclidean adalah algoritma untuk mencari faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat positif serta nilai pengali setiap bilangan. Langkah-langkah untuk
algoritma adalah sebagai berikut Kromodimoeljo, 2010: 1.
. 2.
. 3.
. 4.
. 5.
. 6. Jika
kembali ke langkah 2. 7.
, berhenti.
Universitas Sumatera Utara
, u dan v dengan .
Contoh : , a = 10 , b = 4
Inisialisasi A = 10, B = 4, u = 1, v = 0, s = 0, t = 1 Perhitungan gcd10, 4 secara ringkas dapat dilihat pada tabel 2.1
Tabel 2.1. Algoritma Extended Euclidean.
Iterasi q
R A
B U
V u
v s
T 1
2 2
4 2
1 1
1 -2
2 2
2 1
1 -2
-2 5
Berdasarkan perhitungan pada tabel 2.1 adalah 2
2.3.6. Inversi Modulo
