Hukum Dasar Aljabar Boole

342

5. Aljabar Boolean

Aljabar boolean adalah kumpulan aturan, hukum dan teorema yang dapat menyatakan operasi logika dalam bentuk persamaan dan dapat dimanipulasi secara matematis. Aljabar yang digunakan untuk menggambarkan fungsi-fungsi logika tersebut dengan simbol-simbol disebut “Hukum-hukum Aljabar Boolean”. Untuk menggunakan aljabar Boolean dengan benar, kita harus mengikuti aturan dan hukum-hukumnya. Tiga hukum yang terpenting adalah: hukum komutatif, hukum asosiatif dan hukum distributif. Tiap hukum-hukum ini dibuat dengan menggunakan aksioma, tabel kebenaran, diagram logika atau teorema atau hukum yang telah terbukti.

5.1 Hukum Dasar Aljabar Boole

Hukum aljabar boole pada dasarnya adalah dari penjalinan logika AND, OR dan NOT, berikut merupakan gambaran dari hukum tersebut: 5.1.1 Hukum De Morgan Hukum De Morgan diambil dari nama seorang matematik dari inggris 1806- 1871 merupakan pengembangan dari aljabar Boole, yaitu menyelesaikan berbagai masalah dalam aljabar Boole dengan menggunakan negasi NAND atau NOR. Tabel 5. 1 Teorema Aljabar Boolean =1 Di unduh dari : Bukupaket.com 343 De Morgan yang pertama NAND adalah sebagai berikut: De Morgan yang kedua NOR adalah sebagai berikut: Contoh : Q = A . B + A . B Penyelesaian dari contoh ini dilakukan dengan menggunakan hukum de morgan 1 karena A NAND B dan NOT A NAND B, sehingga kita dapatkan: Q = A . B + A. B = A + B + A + B = A + A + B + B = A + B Hasil terakhir ternyata NOT A dan NOT A dalam jalinan OR dan NOT dengan NOT B dalam jalinan OR, berdasarkan hukum yang terdahulu dapat disederhanakan sebagai berikut: Q = A + A + B + B 5.2 Gerbang NAND sebagai gerbang universal i Gerbang NOT dari gerbang NAND Jika semua masukan gerbang NAND dengan 2-masukan dihubungkan, maka diperoleh sebuah gerbang dengan satu masukan dan membentuk gerbang NOT A=1 A A=1 A B + B = B A + A = A Di unduh dari : Bukupaket.com 344 ii Gerbang AND dari gerbang NAND Untuk ini diperlukan dua buah gerbang AND. Jika keluaran NAND pertama dimasukan ke masukan NAND kedua yang dibentuk sebagai inverter, hasilnya merupakan rangkaian gerbang AND. Keluaran gerbang NAND pertama merupakan keluaran terbalik gerbang AND. NAND kedua bertindak sebagai pembalik, menghasilkan rangkaian gerbang AND. iii Gerbang OR dari gerbang NAND Untuk membentuknya diperlukan tiga buah gerbang NAND. Dua gerbang NAND pertama bekerja sebagai gerbang NOT dengan menggabungkan kaki masukan-masukan gerbang NAND tersebut. Keluaran gerbang NOT ini dimasukan ke gerbang NAND. Hasilnya ialah gerbang OR. Dengan menggunakan teorema DeMorgan kedua dapat diperlihatkan bahwa semua logika dapat dilakukan dengan menggunakan rangkaian NOR berkali- kali. Gerbang-gerbang NAND dan NOR merupakan gerbang umum karena dapat digunakan berulang kali untuk menghasilkan gerbang logika lainnya. Jadi gerbang-gerbang ini dapat membentuk kumpulan rangkaian digital. 5.3 Karnaugh Map Aljabar Boolean merupakan dasar untuk penyederhanaan rangkaian logika. Salah satu teknik yang paling mudah untuk penyederhanaan rangkaian logika adalah metode peta Karnaugh. Metode grafik ini berdasarkan aljabar boolean. A B A B A B Y‟‟ Y‟‟ Y A B A+B Di unduh dari : Bukupaket.com 345 1. Prosedur K-Map dapat dilakukan pada persamaan Maksterm Jumlah dari Perkalian dan minterm perkalian dari jumlah. Menyusun Boolean Minterm dari suatu tabel kebenaran, data output yang berlogik 1 di masukkan ke dalam peta K-map seperti gambar 4.1 pemetaan 2 variabel. a. Pemetaan 2 Variabel Tabel 5. 1 Tabel Kebenaran 2 variabel b. Pemetaan tiga variabel Tabel 5. 2 Tabel Kebenaran 3 variabel Gambar 5-4.2 Pemetaan 3 Variabel Gambar 5-4 1 Pemetaan 2 Variabel Di unduh dari : Bukupaket.com 346 c. Pemetaan 4 variabel Tabel 5. 3 Tabel kebenaran 4 variabel Gambar 5-4.3 Pemetaan 4 Variabel Gambar 5.-4.4 Hasil penyederhanaan dikonversi menjadi gerbang logika Di unduh dari : Bukupaket.com 347 5.2.1 Prosedur K-Map Maksterm Perkalian dari Jumlah Persamaan Maksterm adalah kebalikan dari minterm jika ada persamaan dari suatu perkalian maka jika disederhanakan dengan maksterm hasilnya adalah persamaan suatu penjumlahan. Data output yang benilai logik 0 dimasukkan ke dalam tabel kebenaran. Pemetaan 4 variabel maksterm, tabel yang digunakan adalah tabel 4.4 tabel kebenaran 4 variabel, hasil data X yang berlogik 0 di masukkan ke dalam peta yang dapat dilihat pada gambar 4.4, adapun cara mencari hasil penyederhanaannya dapat dilihat pada gambar 4.5. Gambar 5-4.5 Peta K-Map makterm 4 variabel Gambar 5-4.6 Hasil Penyederhanaan makterm 4 variabel Di unduh dari : Bukupaket.com 348 Gambar 5. -4.7 Hasil penyederhanaan di konversi menjadi gerbang logika Latihan a. Sederhanakan F = A . A . B + C Penyelesaian F = A . A . B + C = A . A . B + A . C F = A . B + A . C F = A . B + C b. Sederhanakan F = A B + A . B + A . B Penyelesaian F = A . B + A . B + A . B = A + A . B + A . B F = 1 . B + A . B F = B + A . B c. Sederhanakan F = A + B A + B Penyelesaian F = A . A+ A . B + A.B + B B F = A + A.B+ A.B + B F = A + A.B + B F = A 1 + B + B F = A + B d. Perhatikan aljabar boole berikut ini. Di unduh dari : Bukupaket.com 349 A B C BC B‟ A+B X Persamaan aljabar boole untuk x adalah Penyelesaian X = A +B . B + B+ BC X=AB+ BB + B +BC X =B.A +1 +BC X=B + BC e. Sederhanakan persamaan aljabar boole berikut ini, gambarkan hasil penyederhanaannya Y = AB + AC + BD + CD = A + DB + D Penyelesaian A B C D Y Tugas 4.9 Aljabar Boolean a. Dari gambar di bawah ubahlah menjadi gerbang NAND 1. 2. A B A+B B Y‟‟ Y‟‟ A+B A B Di unduh dari : Bukupaket.com 350 b. Sederhanakan fungsi ini, buat rangkaian logik dengan NAND gate dan tabel kebenarannya : Q =.A.B.C + A .B. C + A. B. C + A .B. C c. Dari persamaan di bawah ini buatlah rangkaian penyederhanaannya: Q= A+ B + D A+B+ C+ D d. Diketahui persamaan aljabar boole seperti di bawah ini, gambarlah rangkaian dari persamaan tersebut. Y = A .B + A .B e. Suatu persamaan aljabar Boole dinyatakan sebagai berikut: X = AB . C + D . AB Di unduh dari : Bukupaket.com 351

6. Rangkaian Flip-Flop