MA1114 KALKULUS I 12
D. Ekstrim Fungsi
Definisi 5.3 Misalkan fx kontinu pada selang I yang memuat c,
fc disebut nilai global dari f pada I jika
fc disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim
imum min
maksimum
I x
x f
c f
x f
c f
minimum maksimum
x f
c f
x f
c f
Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.
MA1114 KALKULUS I 13
Max lokal
Min lokal
Max global
Min global Max
lokal Min
lokal
a b
c d
e f
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
MA1114 KALKULUS I 14
Ada tiga jenis titik kritis
:
Titik ujung selang I
Titik stasioner yaitu x = c dimana ,
secara geometris : garis singgung mendatar dititik c,fc
Titik singulir x = c dimana tidak ada , secara geometris: terjadi patahan pada grafik f
di titik c,fc
c
f
c f
MA1114 KALKULUS I 15
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika
x f
x f
, c
c
x f
x f
pada dan
pada
,
c
c
Maka fc merupakan nilai
minimum maksimum
lokal
c
Disebelah kiri c monoton naik f ’0 dan disebelah kanan c
monoton turun f’0 fc nilai maks lokal
c
fc nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun f ’0 dan disebelah kanan c
monoton naik f’0 fc
fc
MA1114 KALKULUS I 16
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka fc merupakan
nilai lokal
f
Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari
Jawab:
c
f
c f
c f
minimum maksimum
2 4
2
2
x x
x x
f
2
f
6 4
f
2
2 4
x
x x
x f
2 4
++++++ ---------
------------ +++++++
Dengan menggunakan uji turunan pertama :
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
f’x x
Tidak ada
MA1114 KALKULUS I 17
Soal Latihan
6 30
15 2
3 4
5
x x
x x
f
3 1
3
2
x x
x x
f
2 1
2
2
x x
x x
f
x x
x f
2
1
Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
MA1114 KALKULUS I 18
E. Kecekungan Fungsi
Fungsi fx dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik
pada
interval I, dan fx dikatakan cekung kebawah pada interval I bila
turun pada interval I.
Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan
1.
Jika , maka f cekung ke atas pada I.
2.
Jika , maka f cekung ke bawah pada I.
x f
x f
I x
x f
,
I x
x f
,
Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah
x y
x y
MA1114 KALKULUS I 19
2 4
x
x f
Tentukan selang kecekungan dari contoh
Jawab :
2 2
2 4
x
x x
x f
4 2
2
2 4
2 2
2 4
2
x x
x x
x x
x f
4 2
2 4
2 2
4 2
2
x x
x x
x x
3 2
2
2 8
2 8
8 2
x x
x x
x
3
2 8
x
Grafik f cekung keatas pada
, 2
dan cekung kebawah pada
selang 2
,
2 f”x
x +++
- - - - - Tidak
ada
MA1114 KALKULUS I 20
F. Titik belok
Kategori