Sifat-Sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan Pada Proses Poisson Periodik Majemuk Dengan Tren Fungsi Pangkat
SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN
PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Sifat-sifat Statistik
Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan
Tren Fungsi Pangkat adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2016
Intan Fitria Sari
NIM G551150396
RINGKASAN
INTAN FITRIA SARI. Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada
Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I
WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan
peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan seharihari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko
buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon
dapat dimodelkan dengan proses stokastik.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap
berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson
yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses
Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson
periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi
periodik.
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses
stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam
fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson
majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson
majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga
perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh
pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan
proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses
Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi
(Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian
diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk
mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan mempunya dua komponen, yaitu komponen periodik,
dengan
periode (diketahui)
dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain,
untuk setiap
, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut
merupakan sebuah fungsi periodik dengan periode dan
dengan
merupakan komponen tren fungsi pangkat, dimana
melambangkan
kemiringan dari tren fungsi pangkat. Diasumsikan juga bahwa merupakan
bilangan real (diketahui) dan
. Fungsi periodik
tidak diasumsikan
memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat
dituliskan sebagai berikut
untuk setiap
dan
Misalkan
, dengan menyatakan himpungan bilangan asli.
adalah suatu proses dengan
∑
,
di mana
merupakan barisan peubah acak yang independent and
identically distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Fungsi nilai harapan dari
, dinotasikan dengan
yaitu
,
dengan
.
∫
Misalkan
⌊ ⌋
dimana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
maka untuk setiap bilangan real
⌊ ⌋
, dapat dinyatakan sebagai
dengan
.
Misalkan
adalah fungsi intensitas global dari komponen
∫
periodik pada proses
. Diasumsikan
Untuk setiap
yang
diberikan,
dapat dituliskan sebagai berikut
.
Fungsi nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
.
Pendugaan fungsi nilai harapan
dapat dibagi menjadi beberapa
pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan kemiringan pada
fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
.
waktu
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂
̂
̂
̂
̂
(
dengan
̂
̂
∑
̂
̂
dengan
∑
̂
̂
saat
̂
∑
dan berimplikasi dengan ̂
saat
.
Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah. Dengan pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari
penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan
tren fungsi pangkat, didapatkan
dan
untuk
[̂
]
dimana
(
̂
(
adalah konstanta yang diketahui sebagai berikut
Kata kunci: bias, fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, proses Poisson
periodik, ragam, tren fungsi pangkat.
SUMMARY
INTAN FITRIA SARI. Statistical Properties of the Estimator for the Mean
Function of a Coumpond Cyclic Poisson Process with Power Function Trend.
Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.
A stochastic process models which using the rules of probability, have an
important role in everyday life . For example, the arrival of a customer to a service
center ( bank , post office , bookstore , supermarket , etc.) and the arrival of the
telephone line can be modeled by a stochastic process.
A stochastic process is divided into two stochastic processes, they are
discrete time stochastic process and continuous time stochastic process. If the
intensity is constant (not dependent to the time) the process is called homogeneous
Poisson process, however if the intensity dependent to the time the process is called
nonhomogeneous Poisson process,. Nonhomogeneous Poisson process is a
generalization of the homogeneous Poisson process . One particular form of the
nonhomogeneous Poisson process is periodic Poisson process, that is a Poisson
process with intensity periodic function .
One special form of stochastic process is compound Poisson process which
can be used in modeling a wide variety of real phenomena . Bening and Korolev
(2002 ) applying compound Poisson process in the insurance and finance . For
example , compound Poisson process is used to model the aggregate amount of
the claim , so that insurance companies can guess the amount of benefits to be
obtained in the future . Previously, Byrne (1969 ) have used a compound Poisson
process on some physical problem . In addition, the compound Poisson process
has been applied to the fields of demographics ( Kegler 2007) , geology ( Özel
and Inal 2008) , and biology ( Puig and Barquinero 2011) .
The study on the compound Poisson process using nonhomogeneous
Poisson process was extensive. Therefore , the study begins with one particular
form of the nonhomogeneous Poisson process, that is periodic compound Poisson
process ( Ruhiyat 2013 ) . The study was expanded to periodic compound Poisson
process with linear trend ( Wibowo 2014). Furthermore, the study was expanded
to periodic compound Poisson process with power function trend . Periodic
compound Poisson process with power function trend is useful to search for
generalization of the periodic nature of the compound Poisson process .
Let
be a non-homogeneous Poisson process with (unknown)
locally integrable intensity function
which is assumed to consist of two
components, namely, a periodic or cyclic component with (known) period
and a power function trend component. In other words, for any points
the intensity function can be written as
is a periodic function with period and
is the power function
where
trend component, where
denotes the slope of the power function trend. It is
also assumed that is known real number and
. We do not assume any
parametric form of except that it is periodic, that is, the equality
holds for all
Let
and
, where
be a process with
denotes the set of integers.
∑
where
is a sequence of independent and identically distributed random
variables with mean
and variance
, which is also independent of
the process
. The process
is called a compound cyclic
Poisson process with power function trend.
The mean function (expected value) of
, denoted by
, is given by
∫
with
Let
where for any real number
,
Then for
denotes the largest integer less than or equal to , and let also
any given real number
, we can write
with
. Let
that is the global intensity of the cyclic component of the
∫
Poisson process
. We assume that
Then, for any given
,
we have
which implies
.
Estimation of the mean function
can be divided into several estimations,
they are the estimation of , estimation of , estimation of the globally intensity
which is the expected value of the number of
function , and estimation of
. Formulation of the estimator for the mean
events that occur at time intervals
function of a periodic compound Poisson process with power function trend is
̂
̂
̂
̂
(
̂
where
̂
̂
∑
̂
̂
∑
̂
̂
∑
with the understanding that ̂
when
. Thus, ̂
when
.
This estimator is weakly consistent. Asymptotic approximations to the bias
and variance of the estimator are given by
and
[̂
]
(
as
where
̂
is a constant, which is given by
(
Keywords: bias, compound Poisson process, cyclic intensity function, mean
function, power function trend, variance.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN
PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2015 ini ialah
Pemodelan Matematika, dengan judul Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku,
MSc dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku pembimbing, serta Dr
Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi yang telah banyak memberi saran.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak
Fala, Muhammad Dinar Mardiana, seluruh keluarga, sahabat, serta teman-teman
pascasarjana Matematika Terapan dan adik-adik di Departemen Matematika IPB
atas doa dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2016
Intan Fitria Sari
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Kerangka Penelitian
1
1
2
2
2
PERUMUSAN PENDUGA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Global ( ̂
3
3
5
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Sebagian
BEBERAPA LEMA TEKNIS
̂
6
7
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA
10
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA
13
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
21
RIWAYAT HIDUP
47
DAFTAR LAMPIRAN
1.
2.
3.
4.
Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
Penjabaran
sebagai nilai harapan dari
Beberapa lema teknis
̂
Penjabaran
(̂
21
22
23
43
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang
yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari-hari. Proses
stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan
proses stokastik dengan waktu kontinu.
Proses Poisson dibedakan menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen dan
proses Poisson takhomogen. Pada proses Poisson homogen fungsi intensitas (fungsi
nilai harapan) merupakan fungsi yang konstan (tidak bergantung pada waktu),
sedangkan pada proses Poisson takhomogen fungsi intensitas bergantung pada waktu.
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang fungsi
intensitasnya berupa fungsi periodik. Proses ini merupakan salah satu bentuk khusus
dari proses stokastik dengan waktu kontinu yang memiliki banyak manfaat dalam
memodelkan berbagai macam fenomena nyata yang berkaitan dengan aturan peluang.
Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik di antaranya
dalam bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, dan seismologi (Helmers
et al. 2003). Dalam suatu proses Poisson periodik, bentuk fungsi intensitas pada
periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu,
dalam kehidupan sehari-hari proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi
suatu kejadian pada periode berikutnya.
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses
stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam
fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson majemuk
pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson majemuk
digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi
dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan
datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk
pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah
diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel dan İnal 2008), dan
biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas
menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat (Sari 2015).
Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk
mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik majemuk
dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal penting yang
dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga fungsi nilai harapan dari proses
tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan fungsi dari waktu. Kajian
terkait perumusan penduga, kekonsistenan lemah, dan laju kekonvergenan ke nol
2
dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk
dengan tren fungsi pangkat telah dikaji oleh Sari (2015). Selanjutnya akan dianalisis
sifat-sifat statistik dari penduga tersebut.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. merumuskan penduga konsisten untuk fungsi nilai harapan pada proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat
2. menentukan pendekatan asimtotik bagi bias penduga
3. menentukan pendekatan asimtotik bagi ragam penduga.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi terkait perluasan pada
bentuk proses Poisson sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi peneliti lainnya
dalam penggunaan untuk penelitian yang berkaitan dengan proses Poisson.
Kerangka Penelitian
Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat dari asumsi bahwa
fungsi intesitas merupakan fungsi konstan, menjadikan model proses Poisson
majemuk perlu dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti
komponen proses Poisson homogen pada proses Poisson majemuk menjadi proses
Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk.
Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk sulit ditentukan, sehingga salah
satu hal penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dari
peubah acak tersebut.
Pada penelitian ini, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tidak
diasumsikan diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui, fungsi
nilai harapan dapat dengan mudah ditentukan. Pada situasi ini, diperlukan pendugaan
terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan merumuskan penduga bagi
fungsi nilai harapan. Oleh karena itu, penduga yang diperoleh harus dianalisis
kekonsistenannya, yaitu kekonsistenan lemah. Selain itu, untuk melihat perbedaan
antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya dilakukan analisis
pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan
pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Langkah-langkah penyelesaian penelitian ini adalah:
1. modifikasi perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat
2. analisis sifat-sifat statistik penduga dengan pendekatan asimtotik bagi bias dan
ragam penduga tersebut.
3
Gambar 1 Bagan Kerangka Penelitian
PERUMUSAN PENDUGA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan mempunyai dua komponen, yaitu komponen periodik,
dengan
periode (diketahui)
dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain,
untuk setiap
, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai
(1)
merupakan sebuah fungsi periodik dengan periode
dan
dengan
merupakan komponen tren fungsi pangkat, dimana
melambangkan
kemiringan dari tren fungsi pangkat. Diasumsikan juga bahwa merupakan bilangan
real (diketahui) dan
. Fungsi periodik
tidak diasumsikan memiliki
bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat dituliskan
sebagai
(2)
untuk setiap
dan
, dengan menyatakan himpunan bilangan asli.
Misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
,
(3)
di mana
merupakan barisan peubah acak yang independent and
identically distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Fungsi nilai harapan dari
,
dinotasikan dengan
yaitu
,
(4)
dengan
.
(5)
∫
Bukti persamaan (4) dapat dilihat pada Lampiran 1.
4
Misalkan
⌊ ⌋
dimana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
⌊ ⌋
maka untuk setiap bilangan real
, dapat dinyatakan sebagai
dengan
.
adalah
Selanjutnya untuk setiap
yang diberikan dan
∫
fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses
,
dapat dituliskan sebagai
.
(6)
Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada Lampiran 2. Diasumsikan
Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari
dapat
dituliskan menjadi
.
(7)
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (7) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu
1. Penduga bagi dirumuskan sebagai
∑
(8)
̂
,
dengan ̂
saat
berimplikasi ̂
saat
Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk
setiap titik data pada interval pengamatan
2. Penduga bagi kemiringan dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai
berikut:
̂
.
(9)
Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012) , untuk
.
3. Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:
̂
∑
(10)
̂
) yang merupakan nilai harapan
4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ̂
dirumuskan sebagai
banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu
berikut:
̂
∑
̂
(11)
Penduga bagi tingkat kemiringan , penduga bagi fungsi intensitas global , dan
merupakan modifikasi dari
penduga bagi fungsi intensitas sebagian
pendugaan yang telah dikaji Putra (2012) untuk tujuan berbeda.
Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11) , penduga bagi
fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
̂
̂
̂
̂
̂
(12)
dengan ̂
saat
.
5
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Global ( ̂
Fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses
dirumuskan sebagai
Misal
kτ ϵ [0,n],
∫
∑
. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif dan setiap
dapat ditulis sebagai
∑
Karena
∑
∫
maka
merupakan fungsi periodik yaitu
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
Perhatikan untuk di sekitar nol, berlaku bahwa
∑
Karena
∑
∑
(
∑
∑
(
∑
∑
(
∑
(Titchmarsh 1960), maka
, untuk
∫
6
̂
∑
Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu
̂
∑
̂
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Sebagian ̂
Fungsi intensitas sebagian dari komponen periodik pada proses
dirumuskan sebagai
Misal
kτ ϵ [0,n],
∑
∫
. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif dan setiap
dapat ditulis sebagai
∑
Karena
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
sehingga
merupakan fungsi periodik maka
∑
∑
Perhatikan untuk di sekitar nol, berlaku bahwa
∫
∫
∑
∑
∑
∑
, untuk
∫
7
∑
∑
∑
Karena
∑
(Titchmarsh 1960), maka
∑
Sehingga didapat penduga untuk
̂
∑
yaitu
̂
BEBERAPA LEMA TEKNIS
Lema 1: Jika fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
(̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
(̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta 0 < b < 1 maka
(̂
(
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
, maka
Jika
(̂
jika
(
, maka
(̂
(
8
dan jika
, maka
(̂
(
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 5: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
, maka
Jika
̂
jika
, maka
̂
dan jika
(
, maka
̂
,
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
̂
. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
untuk
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika
, maka
(̂
jika kasus
dan jika kasus
(̂
, maka
(̂
, maka
(
9
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika
, maka
( ̂
jika
(
, maka
( ̂
, maka
dan jika
( ̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
(̂
̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 8: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta
maka
̂
̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta 0 < b < 1 maka
̂
̂
(
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
10
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA
Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias Penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
[̂
untuk
]
Artinya,
Bukti Teorema 1:
]
[̂
[̂
[̂
] konvergen ke nol jika
]
∑ [̂
[̂
̂
(
Sehingga untuk
̂
[(
̂
maka ̂
,
]
. Sedangkan untuk
̂
̂
∑
]
(̂
̂
∑
(̂
Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 5 diperoleh
(
(̂
̂
(̂
(
(
.
∑
(
(
(
(
,
∑
̂
̂
.
]
]
∑ [̂
Untuk
(
(
∑
11
(
(
(
(
(
untuk
[̂
. Jadi,
]
(
∑ [̂
]
∑
(
(
12
∑(
∑(
(
(
(
(
(
(
(
Karena
maka
[̂
untuk
[̂
untuk
]
(
(
(
. Jadi,
]
[̂
(
∫
(
(
(
]
. Bukti lengkap.
(
(
(
(
13
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA
Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam Penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
untuk
̂
dengan
merupakan konstanta dengan
(
̂
Artinya,
konvergen ke nol jika
. Berdasarkan Teorema 1, yaitu
̂
] konvergen ke nol jika
dan Teorema 2, yaitu
[̂
konvergen ke nol jika
penduga bagi
merupakan penduga yang
konsisten lemah.
Bukti Teorema 2:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan
dapat diperoleh dari rumusan berikut:
̂
.
(13)
]
[̂
Suku kedua dari ruas kanan persamaan (13) telah diperoleh pada persamaan
Teorema 1 sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut
]
]
]
[ [̂
[̂
̂
∑ [̂
[̂
∑ [̂
Untuk
̂
(
Sehingga untuk
[̂
[ (
]
̂
̂
maka ̂
,
̂
]
]
. Sedangkan untuk
̂
̂
]
̂
,
∑
∑
]
14
̂
(
Pertama dihitung
(
(
̂
̂
̂
̂
(
∑
̂
̂
(̂
(̂ ̂
(̂
̂ ̂
(̂
̂
Berdasarkan Lema 7-9 dan Akibat 1-3, persamaan dapat dibedakan menjadi tiga
kasus, sehingga untuk
dapat ditulis sebagai
̂
̂
̂
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
15
(
(
(
(
untuk
(
(
. Kedua, dihitung
∑
[∑
∑
[
]
∑ ∑
∑ ∑
∑ (
(
(
]
16
Jadi diperoleh untuk
[̂
,
]
(
(
(
(
(
(
(
untuk
.
(
17
Oleh karena itu,
]
[
[̂
[̂
∑
]
]
(
(
(
∑
(
untuk
∑
untuk
∑
(
. Pada bukti Teorema 1, telah diperoleh
(14)
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
(15)
untuk
. Bukti persamaan (15) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan
persamaan (14) dan (15) , dapat dituliskan
]
]
]
[ [̂
[̂
18
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
untuk
.
Dengan langkah yang sama, diperoleh untuk kasus
dan
.
Sehingga, dengan pendekatan asimtotik untuk ragam penduga, diperoleh ragam dari
penduga bagi fungsi nilai harapan untuk
adalah sebagai berikut
(
̂
[̂
]
̂
(
(
(
(
(
19
(
untuk
(
. Bukti lengkap.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂
̂
̂
̂
̂
(
dengan
̂
̂
dan
∑
̂
̂
̂
∑
̂
∑
jika
dengan ̂
saat
, sehingga ̂
Penduga bagi fungsi nilai harapan ini merupakan penduga yang konsisten
lemah. Pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam penduga ini adalah
[̂
dan
]
(
̂
untuk
(
20
DAFTAR PUSTAKA
Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their Applications in
Insurance and Finance. Boston (US): VSP International Science Publishers.
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical
physics. Physica 41:575-587.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function
of a cyclic Poisson process. J. Multivariate Anal. 84(1):19-39.
Hogg RV, McKean JW , Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injuryrelated mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process
(Ph.D.Thesis). Amsterdam : University of Amsterdam.
Mangku IW, Ruhiyat, IGP Purnaba. 2013. Statistical Properties of an Estimator For the
Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Far East J. Math.
Sciences (FJMS) 82(2):227-237.
Öze G İnal C 2008. The probability function of the compound Poisson process and an
application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to
biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.
467(2127):897-910.
Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan
waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida:
Academic Press Inc.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Ruhiyat, I. W. Mangku and I.G. Purnaba. 2013. Consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process. Far East J. Math. Sci
(FJMS) 77(2): 183-194.
Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (GB): Oxford University Press.
Sari IF. 2015. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat [sikrpsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
21
Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
.
Bukti persamaan (4) :
Berdasarkan persamaan (3),
Dengan menggunakan sifat nilai harapan,
∑
Selanjutnya terlebih dahulu
∑
∑
.
∑
(∑
∑
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d, maka
∑
∑
,
sehingga
∑
.
Akhirnya diperoleh
. Bukti lengkap.
.
22
Lampiran 2 Penjabaran
Bukti persamaan (6) :
sebagai nilai harapan dari
∫
∫
∫(
∫
Berdasarkan Ruhiyat (2013):
∫(
sehingga diperoleh
,
. Bukti lengkap.
23
Lampiran 3 Beberapa Lema Teknis
Lema 1: Jika fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
(̂
untuk n → ∞.
Bukti: Nilai harapan dari ̂
(
(̂
dapat ditulis sebagai
∫
(
untuk
(
. Bukti lengkap.
Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
(̂
untuk n → ∞.
Bukti: Ragam dari ̂
(̂
(
dapat ditulis sebagai
(
∫
(
untuk
. Bukti lengkap.
(
Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta 0 < b < 1 maka
untuk n → ∞.
(̂
Bukti: Nilai harapan dari ̂
(
dapat ditulis sebagai
(
24
(̂
∑
∑
∫
∑
∫
(
(
(
(̂
(
∑
(
(
∫
∫
(
(
(
untuk
(
. Bukti lengkap.
(
(
(
Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
, maka
Jika kasus
(̂
jika kasus
jika kasus
, maka
(
(
(̂
, maka
(̂
(
untuk n → ∞.
Bukti:
Untuk setiap
, dimana
maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
dan
dan
25
adalah bebas untuk
Telah didefinisikan penduga bagi
sehingga
(̂
dapat dihitung sebagai
(̂
dengan memisalkan
yaitu ̂
∑
̂
Perhatikan,
∑
∑
(
Karena merupakan proses Poisson, maka
atas dapat ditulis menjadi
∑
∫
∑
∫
∑
∫
Perhatikan bahwa
i.
ii.
(
∑
∫
, sehingga persamaan di
∑
∑
∑
∫
∑
∫
(17)
untuk
∑
untuk
∑
iii.
untuk
jika
(Titchmarsh 1960).
(18)
Dengan menggunanakan persamaan (18), persamaan (17) dapat dibedakan menjadi
) untuk
tiga kasus. Perhatikan pula bahwa
Untuk kasus pertama,
, persamaan (17) menjadi
∫
∑
∑
∫
(16)
26
∫
∑
∫
(
(
(
untuk
(
Untuk kasus pertama,
, persamaan (17) menjadi
∑
∫
∫
∑
∫
(
(
untuk
Untuk kasus pertama,
(
untuk
∑
(
(
(19)
∫
∑
(
(
(
(20)
, persamaan (17) menjadi
∑
(
∫
∑
(
∑
∫
∑
∫
∫
(
(
∫
∑
∫
(21)
27
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan (16), sehingga
sebagai
(̂
(̂
(
(
untuk
dapat diperoleh
(
(22)
Selanjutnya, pada suku ketiga ruas kanan (16), diperoleh
sebagai
∑
∑
̂
̂
∑
∑
Untuk setiap
, dimana
maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
adalah bebas untuk
∑
∑
∑
∑
∫
∑
∫
dan
dan
28
∑
∫
∑
∫
(
(
(
untuk
(23)
Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (19)-(23) ke
̂
persamaan (16), diperoleh
yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut,
yaitu
untuk kasus
, diperoleh
(̂
untuk kasus
(
, diperoleh
(
(̂
untuk kasus
, diperoleh
(̂
(
untuk n → ∞. Bukti lengkap.
Lema 5: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
untuk n → ∞.
̂
(
Bukti.: Nilai harapan dari ̂
̂
∑
∫
∑
∫
(
dapat ditulis sebagai
∑
(̂
(
(
(
(
29
∑
∫ ∑(
(
(
∫
(
(
(
untuk
. Bukti lengkap.
(
(
(
Lema 6: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kasus
, maka
̂
jika kasus
̂
jika kasus
, maka
(
, maka
̂
,
untuk n → ∞.
Bukti:
Untuk setiap
, dimana
maka
dan
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
dan
adalah bebas untuk
Telah didefinisikan penduga bagi
̂
̂
yaitu
sehingga
(
dapat dihitung sebagai
̂
(24)
dengan memisalkan
∑
30
̂
Perhatikan,
∑
∑
(
Karena merupakan proses Poisson, maka
atas dapat ditulis menjadi
∑
(
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
Perhatikan bahwa
i.
ii.
, sehingga persamaan di
∫
(25)
∑
∑
∑
∫
untuk
∑
untuk
∑
untuk
iii.
jika
(Titchmarsh 1960).
(26)
Dengan menggunanakan persamaan (26), dapat dibedakan menjadi tiga kasus.
) untuk
Perhatikan pula bahwa
Untuk kasus pertama,
∫
, persamaan (25) menjadi
∑
∑
∫
31
∫
∑
∫
(
∫
∑
(
(
(
(
untuk
Untuk kasus kedua,
∫
, persamaan (25) menjadi
∑
∫
∫
∑
∑
∑
∫
(
∫
(
(
(
(28)
(
untuk
Untuk kasus ketiga,
∫
(27)
, persamaan (25) menjadi
∑
∑
∫
32
∫
∑
∑
(
(
untuk
∫
(
(
(29)
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan (24), sehingga
diperoleh sebagai berikut
(̂
(̂
(
(
untuk
(
dpat
(30)
Selanjutnya, dengan menggunakan Chaucy Schwarz pada suku ketiga ruas
kanan (24), diperoleh
sebagai berikut
̂
∑
∑
̂
∑
∑
Untuk setiap
, dimana
maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
adalah bebas untuk
∑
dan
dan
33
∑
∑
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
unutk
(
(
(31)
(
Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (27)-(31) ke
̂
yang dibedakan menjadi tiga kasus
persamaan (24), diperoleh
sebagai berikut, yaitu
untuk kasus
, diperoleh
̂
, diperoleh
untuk kasus
̂
, diperoleh
untuk kasus
(
̂
,
untuk n → ∞. Bukti lengkap.
Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
untuk
.
̂
34
Bukti:
̂
(
̂
untuk
̂
(
.
(
(
(
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika kasus
, maka
(̂
jika kasus
, maka
(̂
Dan jika kasus
, maka
(̂
(
untuk n → ∞.
Bukti:
(̂
untuk kasus
(̂
(̂
untuk kasus
(̂
(̂
, diperoleh
(
(
(
, diperoleh
(
(
35
untuk kasus
(̂
, diperoleh
(
(
untuk n → ∞.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika kasus
, maka
( ̂
jika kasus
(
, maka
( ̂
dan jika kasus
, maka
( ̂
(
untuk n → ∞.
Bukti:
( ̂
( ̂
̂
(
̂
36
untuk kasus
(
, diperoleh
( ̂
untuk kasus
, diperoleh
( ̂
(
untuk n → ∞.
Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
(̂
untuk n → ∞.
̂
Bukti: Nilai harapan dari ̂
∑
Misal
(̂
̂
(
∑
̂
(
̂
adalah sebagai berikut:
dan
̂
37
(32)
∑
(̂
Perhatikan bahwa
∑
∑
(
∑
∑
∑
(
(
∑
(
(
∑
Karena
Poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
∑
∑
(
∑
∫
∑
∫
∑
(
(
∫
∫
∫
(
38
(
(
untuk
Suku kedua persamaan (32) dapat dituliskan sebagai berikut
(̂
(
(
untuk
Sehingga
∑
(̂
(
(
(
(
(
untuk
(
Lema 8: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta
maka
̂
untuk n → ∞.
̂
(
Bukti: Nilai harapan dari ̂
Misal
̂
̂
∑
(
̂
adalah sebagai berikut:
dan
̂
39
∑
̂
(33)
∑
(̂
Perhatikan bahwa
∑
∑
∑
(
∑
∑
∑
Karena
(
(
∑
Poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
∑
∑
(
(
∑
∫
∑
∫
(
(
∫
∫
(
40
∑
(
∫(
(
(
untuk
Suku kedua persamaan (33), dapat ditulis sebgai berikut
untuk
(̂
Sehingga diperoleh
(
(
(̂
∑
(
(
untuk
(
(
(
Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta 0 < b < 1 maka
̂
̂
untuk n → ∞.
(
41
Bukti:
Misalkan
̂
∑
̂
Perhatikan bahwa
̂
∑
̂
̂
(̂
Berdasarkan Lampiran 4. Diperoleh
(̂
Nilai harapan dari ̂
untuk
̂ ̂
(̂
̂
̂
(̂
̂
̂
̂
(̂
̂
̂
(
(̂
(
untuk
̂
̂
̂
dalam tiga kasus, yaitu
̂
(̂
̂
(̂
(
(̂
(
(
, diperoleh
̂
(̂
̂
̂
(̂
(
(
̂
(̂
̂
, diperoleh
̂
adalah sebagai berikut:
̂
Berdasarkan Lema 6, diperoleh
untuk
(
̂
(̂
̂
(̂
̂
(
42
(
(
untuk
(
(
(
, diperoleh
̂
(̂
(
untuk
(
(
̂
(̂
(
(
(
̂
(
(
(
(
43
Lampiran 4 Penjabaran
Bukti persamaan
̂
(̂
Misalkan
̂
̂
(̂
∑
̂
Perhatikan bahwa
̂
Misal
(
̂
∑
̂
(̂
̂
∑
∑
Sehingga dapat ditulis
̂
(̂
̂
̂
Pertama dihitung
∑
∑
Kedua dihitung
∑
̂
∑
̂
∑
44
∑
Karena
∑
Poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
(
untuk
Ketiga dihitung
̂
∑
̂
∑
∑
45
∑
Karena
∑
poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
∑
(
[
]
(
untuk
Keempat dihitung
̂
̂
(
(̂
(̂
̂
(
46
untuk
Sehingga diperoleh
(̂
(
untuk
̂
(
(
(
(
(
Bukti lengkap.
(
(
(
47
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti’ah. Tahun 2011 penulis lulus
dari SMA 1 Kudus. Tahun 2015 penulis lulus sebagai Sarjana Sains dari Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dan pada tahun
yang sama secara resmi diterima di Pascasarjana IPB dengan Program Studi Matematika
Terapan (MAT), namun penulis telah mengikuti kegiatan perkuliahan di S-2 MAT sejak
September 2014 melalui program sinergi IPB (fasttrack).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai pengurus Gugus
Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika (Gumapastika) IPB sebagai staf Hubungan
Masyarakat pada tahun 2015.
PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Sifat-sifat Statistik
Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan
Tren Fungsi Pangkat adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2016
Intan Fitria Sari
NIM G551150396
RINGKASAN
INTAN FITRIA SARI. Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada
Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I
WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan
peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan seharihari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko
buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon
dapat dimodelkan dengan proses stokastik.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap
berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson
yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses
Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson
periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi
periodik.
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses
stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam
fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson
majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson
majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga
perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh
pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan
proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses
Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi
(Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian
diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk
mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan mempunya dua komponen, yaitu komponen periodik,
dengan
periode (diketahui)
dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain,
untuk setiap
, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut
merupakan sebuah fungsi periodik dengan periode dan
dengan
merupakan komponen tren fungsi pangkat, dimana
melambangkan
kemiringan dari tren fungsi pangkat. Diasumsikan juga bahwa merupakan
bilangan real (diketahui) dan
. Fungsi periodik
tidak diasumsikan
memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat
dituliskan sebagai berikut
untuk setiap
dan
Misalkan
, dengan menyatakan himpungan bilangan asli.
adalah suatu proses dengan
∑
,
di mana
merupakan barisan peubah acak yang independent and
identically distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Fungsi nilai harapan dari
, dinotasikan dengan
yaitu
,
dengan
.
∫
Misalkan
⌊ ⌋
dimana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
maka untuk setiap bilangan real
⌊ ⌋
, dapat dinyatakan sebagai
dengan
.
Misalkan
adalah fungsi intensitas global dari komponen
∫
periodik pada proses
. Diasumsikan
Untuk setiap
yang
diberikan,
dapat dituliskan sebagai berikut
.
Fungsi nilai harapan dari
dapat dituliskan menjadi
.
Pendugaan fungsi nilai harapan
dapat dibagi menjadi beberapa
pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan kemiringan pada
fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval
.
waktu
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂
̂
̂
̂
̂
(
dengan
̂
̂
∑
̂
̂
dengan
∑
̂
̂
saat
̂
∑
dan berimplikasi dengan ̂
saat
.
Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah. Dengan pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari
penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan
tren fungsi pangkat, didapatkan
dan
untuk
[̂
]
dimana
(
̂
(
adalah konstanta yang diketahui sebagai berikut
Kata kunci: bias, fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, proses Poisson
periodik, ragam, tren fungsi pangkat.
SUMMARY
INTAN FITRIA SARI. Statistical Properties of the Estimator for the Mean
Function of a Coumpond Cyclic Poisson Process with Power Function Trend.
Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.
A stochastic process models which using the rules of probability, have an
important role in everyday life . For example, the arrival of a customer to a service
center ( bank , post office , bookstore , supermarket , etc.) and the arrival of the
telephone line can be modeled by a stochastic process.
A stochastic process is divided into two stochastic processes, they are
discrete time stochastic process and continuous time stochastic process. If the
intensity is constant (not dependent to the time) the process is called homogeneous
Poisson process, however if the intensity dependent to the time the process is called
nonhomogeneous Poisson process,. Nonhomogeneous Poisson process is a
generalization of the homogeneous Poisson process . One particular form of the
nonhomogeneous Poisson process is periodic Poisson process, that is a Poisson
process with intensity periodic function .
One special form of stochastic process is compound Poisson process which
can be used in modeling a wide variety of real phenomena . Bening and Korolev
(2002 ) applying compound Poisson process in the insurance and finance . For
example , compound Poisson process is used to model the aggregate amount of
the claim , so that insurance companies can guess the amount of benefits to be
obtained in the future . Previously, Byrne (1969 ) have used a compound Poisson
process on some physical problem . In addition, the compound Poisson process
has been applied to the fields of demographics ( Kegler 2007) , geology ( Özel
and Inal 2008) , and biology ( Puig and Barquinero 2011) .
The study on the compound Poisson process using nonhomogeneous
Poisson process was extensive. Therefore , the study begins with one particular
form of the nonhomogeneous Poisson process, that is periodic compound Poisson
process ( Ruhiyat 2013 ) . The study was expanded to periodic compound Poisson
process with linear trend ( Wibowo 2014). Furthermore, the study was expanded
to periodic compound Poisson process with power function trend . Periodic
compound Poisson process with power function trend is useful to search for
generalization of the periodic nature of the compound Poisson process .
Let
be a non-homogeneous Poisson process with (unknown)
locally integrable intensity function
which is assumed to consist of two
components, namely, a periodic or cyclic component with (known) period
and a power function trend component. In other words, for any points
the intensity function can be written as
is a periodic function with period and
is the power function
where
trend component, where
denotes the slope of the power function trend. It is
also assumed that is known real number and
. We do not assume any
parametric form of except that it is periodic, that is, the equality
holds for all
Let
and
, where
be a process with
denotes the set of integers.
∑
where
is a sequence of independent and identically distributed random
variables with mean
and variance
, which is also independent of
the process
. The process
is called a compound cyclic
Poisson process with power function trend.
The mean function (expected value) of
, denoted by
, is given by
∫
with
Let
where for any real number
,
Then for
denotes the largest integer less than or equal to , and let also
any given real number
, we can write
with
. Let
that is the global intensity of the cyclic component of the
∫
Poisson process
. We assume that
Then, for any given
,
we have
which implies
.
Estimation of the mean function
can be divided into several estimations,
they are the estimation of , estimation of , estimation of the globally intensity
which is the expected value of the number of
function , and estimation of
. Formulation of the estimator for the mean
events that occur at time intervals
function of a periodic compound Poisson process with power function trend is
̂
̂
̂
̂
(
̂
where
̂
̂
∑
̂
̂
∑
̂
̂
∑
with the understanding that ̂
when
. Thus, ̂
when
.
This estimator is weakly consistent. Asymptotic approximations to the bias
and variance of the estimator are given by
and
[̂
]
(
as
where
̂
is a constant, which is given by
(
Keywords: bias, compound Poisson process, cyclic intensity function, mean
function, power function trend, variance.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN
PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2015 ini ialah
Pemodelan Matematika, dengan judul Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai
Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku,
MSc dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku pembimbing, serta Dr
Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi yang telah banyak memberi saran.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak
Fala, Muhammad Dinar Mardiana, seluruh keluarga, sahabat, serta teman-teman
pascasarjana Matematika Terapan dan adik-adik di Departemen Matematika IPB
atas doa dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2016
Intan Fitria Sari
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Kerangka Penelitian
1
1
2
2
2
PERUMUSAN PENDUGA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Global ( ̂
3
3
5
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Sebagian
BEBERAPA LEMA TEKNIS
̂
6
7
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA
10
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA
13
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
21
RIWAYAT HIDUP
47
DAFTAR LAMPIRAN
1.
2.
3.
4.
Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
Penjabaran
sebagai nilai harapan dari
Beberapa lema teknis
̂
Penjabaran
(̂
21
22
23
43
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang
yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari-hari. Proses
stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan
proses stokastik dengan waktu kontinu.
Proses Poisson dibedakan menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen dan
proses Poisson takhomogen. Pada proses Poisson homogen fungsi intensitas (fungsi
nilai harapan) merupakan fungsi yang konstan (tidak bergantung pada waktu),
sedangkan pada proses Poisson takhomogen fungsi intensitas bergantung pada waktu.
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang fungsi
intensitasnya berupa fungsi periodik. Proses ini merupakan salah satu bentuk khusus
dari proses stokastik dengan waktu kontinu yang memiliki banyak manfaat dalam
memodelkan berbagai macam fenomena nyata yang berkaitan dengan aturan peluang.
Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik di antaranya
dalam bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, dan seismologi (Helmers
et al. 2003). Dalam suatu proses Poisson periodik, bentuk fungsi intensitas pada
periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu,
dalam kehidupan sehari-hari proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi
suatu kejadian pada periode berikutnya.
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses
stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam
fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson majemuk
pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson majemuk
digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi
dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan
datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk
pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah
diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel dan İnal 2008), dan
biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas
menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat (Sari 2015).
Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk
mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik majemuk
dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal penting yang
dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga fungsi nilai harapan dari proses
tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan fungsi dari waktu. Kajian
terkait perumusan penduga, kekonsistenan lemah, dan laju kekonvergenan ke nol
2
dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk
dengan tren fungsi pangkat telah dikaji oleh Sari (2015). Selanjutnya akan dianalisis
sifat-sifat statistik dari penduga tersebut.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. merumuskan penduga konsisten untuk fungsi nilai harapan pada proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat
2. menentukan pendekatan asimtotik bagi bias penduga
3. menentukan pendekatan asimtotik bagi ragam penduga.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi terkait perluasan pada
bentuk proses Poisson sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi peneliti lainnya
dalam penggunaan untuk penelitian yang berkaitan dengan proses Poisson.
Kerangka Penelitian
Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat dari asumsi bahwa
fungsi intesitas merupakan fungsi konstan, menjadikan model proses Poisson
majemuk perlu dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti
komponen proses Poisson homogen pada proses Poisson majemuk menjadi proses
Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk.
Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk sulit ditentukan, sehingga salah
satu hal penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dari
peubah acak tersebut.
Pada penelitian ini, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tidak
diasumsikan diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui, fungsi
nilai harapan dapat dengan mudah ditentukan. Pada situasi ini, diperlukan pendugaan
terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan merumuskan penduga bagi
fungsi nilai harapan. Oleh karena itu, penduga yang diperoleh harus dianalisis
kekonsistenannya, yaitu kekonsistenan lemah. Selain itu, untuk melihat perbedaan
antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya dilakukan analisis
pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan
pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Langkah-langkah penyelesaian penelitian ini adalah:
1. modifikasi perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat
2. analisis sifat-sifat statistik penduga dengan pendekatan asimtotik bagi bias dan
ragam penduga tersebut.
3
Gambar 1 Bagan Kerangka Penelitian
PERUMUSAN PENDUGA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan mempunyai dua komponen, yaitu komponen periodik,
dengan
periode (diketahui)
dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain,
untuk setiap
, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai
(1)
merupakan sebuah fungsi periodik dengan periode
dan
dengan
merupakan komponen tren fungsi pangkat, dimana
melambangkan
kemiringan dari tren fungsi pangkat. Diasumsikan juga bahwa merupakan bilangan
real (diketahui) dan
. Fungsi periodik
tidak diasumsikan memiliki
bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat dituliskan
sebagai
(2)
untuk setiap
dan
, dengan menyatakan himpunan bilangan asli.
Misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
,
(3)
di mana
merupakan barisan peubah acak yang independent and
identically distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Fungsi nilai harapan dari
,
dinotasikan dengan
yaitu
,
(4)
dengan
.
(5)
∫
Bukti persamaan (4) dapat dilihat pada Lampiran 1.
4
Misalkan
⌊ ⌋
dimana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
⌊ ⌋
maka untuk setiap bilangan real
, dapat dinyatakan sebagai
dengan
.
adalah
Selanjutnya untuk setiap
yang diberikan dan
∫
fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses
,
dapat dituliskan sebagai
.
(6)
Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada Lampiran 2. Diasumsikan
Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari
dapat
dituliskan menjadi
.
(7)
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (7) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu
1. Penduga bagi dirumuskan sebagai
∑
(8)
̂
,
dengan ̂
saat
berimplikasi ̂
saat
Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk
setiap titik data pada interval pengamatan
2. Penduga bagi kemiringan dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai
berikut:
̂
.
(9)
Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012) , untuk
.
3. Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:
̂
∑
(10)
̂
) yang merupakan nilai harapan
4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ̂
dirumuskan sebagai
banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu
berikut:
̂
∑
̂
(11)
Penduga bagi tingkat kemiringan , penduga bagi fungsi intensitas global , dan
merupakan modifikasi dari
penduga bagi fungsi intensitas sebagian
pendugaan yang telah dikaji Putra (2012) untuk tujuan berbeda.
Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11) , penduga bagi
fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
̂
̂
̂
̂
̂
(12)
dengan ̂
saat
.
5
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Global ( ̂
Fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses
dirumuskan sebagai
Misal
kτ ϵ [0,n],
∫
∑
. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif dan setiap
dapat ditulis sebagai
∑
Karena
∑
∫
maka
merupakan fungsi periodik yaitu
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
Perhatikan untuk di sekitar nol, berlaku bahwa
∑
Karena
∑
∑
(
∑
∑
(
∑
∑
(
∑
(Titchmarsh 1960), maka
, untuk
∫
6
̂
∑
Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu
̂
∑
̂
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Sebagian ̂
Fungsi intensitas sebagian dari komponen periodik pada proses
dirumuskan sebagai
Misal
kτ ϵ [0,n],
∑
∫
. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif dan setiap
dapat ditulis sebagai
∑
Karena
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
sehingga
merupakan fungsi periodik maka
∑
∑
Perhatikan untuk di sekitar nol, berlaku bahwa
∫
∫
∑
∑
∑
∑
, untuk
∫
7
∑
∑
∑
Karena
∑
(Titchmarsh 1960), maka
∑
Sehingga didapat penduga untuk
̂
∑
yaitu
̂
BEBERAPA LEMA TEKNIS
Lema 1: Jika fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
(̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
(̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta 0 < b < 1 maka
(̂
(
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
, maka
Jika
(̂
jika
(
, maka
(̂
(
8
dan jika
, maka
(̂
(
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 5: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
, maka
Jika
̂
jika
, maka
̂
dan jika
(
, maka
̂
,
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
̂
. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
untuk
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika
, maka
(̂
jika kasus
dan jika kasus
(̂
, maka
(̂
, maka
(
9
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika
, maka
( ̂
jika
(
, maka
( ̂
, maka
dan jika
( ̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
(̂
̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 8: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta
maka
̂
̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
(
Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta 0 < b < 1 maka
̂
̂
(
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
10
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA
Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias Penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
[̂
untuk
]
Artinya,
Bukti Teorema 1:
]
[̂
[̂
[̂
] konvergen ke nol jika
]
∑ [̂
[̂
̂
(
Sehingga untuk
̂
[(
̂
maka ̂
,
]
. Sedangkan untuk
̂
̂
∑
]
(̂
̂
∑
(̂
Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 5 diperoleh
(
(̂
̂
(̂
(
(
.
∑
(
(
(
(
,
∑
̂
̂
.
]
]
∑ [̂
Untuk
(
(
∑
11
(
(
(
(
(
untuk
[̂
. Jadi,
]
(
∑ [̂
]
∑
(
(
12
∑(
∑(
(
(
(
(
(
(
(
Karena
maka
[̂
untuk
[̂
untuk
]
(
(
(
. Jadi,
]
[̂
(
∫
(
(
(
]
. Bukti lengkap.
(
(
(
(
13
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA
Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam Penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
untuk
̂
dengan
merupakan konstanta dengan
(
̂
Artinya,
konvergen ke nol jika
. Berdasarkan Teorema 1, yaitu
̂
] konvergen ke nol jika
dan Teorema 2, yaitu
[̂
konvergen ke nol jika
penduga bagi
merupakan penduga yang
konsisten lemah.
Bukti Teorema 2:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan
dapat diperoleh dari rumusan berikut:
̂
.
(13)
]
[̂
Suku kedua dari ruas kanan persamaan (13) telah diperoleh pada persamaan
Teorema 1 sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut
]
]
]
[ [̂
[̂
̂
∑ [̂
[̂
∑ [̂
Untuk
̂
(
Sehingga untuk
[̂
[ (
]
̂
̂
maka ̂
,
̂
]
]
. Sedangkan untuk
̂
̂
]
̂
,
∑
∑
]
14
̂
(
Pertama dihitung
(
(
̂
̂
̂
̂
(
∑
̂
̂
(̂
(̂ ̂
(̂
̂ ̂
(̂
̂
Berdasarkan Lema 7-9 dan Akibat 1-3, persamaan dapat dibedakan menjadi tiga
kasus, sehingga untuk
dapat ditulis sebagai
̂
̂
̂
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
15
(
(
(
(
untuk
(
(
. Kedua, dihitung
∑
[∑
∑
[
]
∑ ∑
∑ ∑
∑ (
(
(
]
16
Jadi diperoleh untuk
[̂
,
]
(
(
(
(
(
(
(
untuk
.
(
17
Oleh karena itu,
]
[
[̂
[̂
∑
]
]
(
(
(
∑
(
untuk
∑
untuk
∑
(
. Pada bukti Teorema 1, telah diperoleh
(14)
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
(15)
untuk
. Bukti persamaan (15) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan
persamaan (14) dan (15) , dapat dituliskan
]
]
]
[ [̂
[̂
18
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
untuk
.
Dengan langkah yang sama, diperoleh untuk kasus
dan
.
Sehingga, dengan pendekatan asimtotik untuk ragam penduga, diperoleh ragam dari
penduga bagi fungsi nilai harapan untuk
adalah sebagai berikut
(
̂
[̂
]
̂
(
(
(
(
(
19
(
untuk
(
. Bukti lengkap.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂
̂
̂
̂
̂
(
dengan
̂
̂
dan
∑
̂
̂
̂
∑
̂
∑
jika
dengan ̂
saat
, sehingga ̂
Penduga bagi fungsi nilai harapan ini merupakan penduga yang konsisten
lemah. Pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam penduga ini adalah
[̂
dan
]
(
̂
untuk
(
20
DAFTAR PUSTAKA
Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their Applications in
Insurance and Finance. Boston (US): VSP International Science Publishers.
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical
physics. Physica 41:575-587.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function
of a cyclic Poisson process. J. Multivariate Anal. 84(1):19-39.
Hogg RV, McKean JW , Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injuryrelated mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process
(Ph.D.Thesis). Amsterdam : University of Amsterdam.
Mangku IW, Ruhiyat, IGP Purnaba. 2013. Statistical Properties of an Estimator For the
Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Far East J. Math.
Sciences (FJMS) 82(2):227-237.
Öze G İnal C 2008. The probability function of the compound Poisson process and an
application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to
biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.
467(2127):897-910.
Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan
waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida:
Academic Press Inc.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Ruhiyat, I. W. Mangku and I.G. Purnaba. 2013. Consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process. Far East J. Math. Sci
(FJMS) 77(2): 183-194.
Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (GB): Oxford University Press.
Sari IF. 2015. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat [sikrpsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
21
Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
.
Bukti persamaan (4) :
Berdasarkan persamaan (3),
Dengan menggunakan sifat nilai harapan,
∑
Selanjutnya terlebih dahulu
∑
∑
.
∑
(∑
∑
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d, maka
∑
∑
,
sehingga
∑
.
Akhirnya diperoleh
. Bukti lengkap.
.
22
Lampiran 2 Penjabaran
Bukti persamaan (6) :
sebagai nilai harapan dari
∫
∫
∫(
∫
Berdasarkan Ruhiyat (2013):
∫(
sehingga diperoleh
,
. Bukti lengkap.
23
Lampiran 3 Beberapa Lema Teknis
Lema 1: Jika fungsi intensitas
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
(̂
untuk n → ∞.
Bukti: Nilai harapan dari ̂
(
(̂
dapat ditulis sebagai
∫
(
untuk
(
. Bukti lengkap.
Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
(̂
untuk n → ∞.
Bukti: Ragam dari ̂
(̂
(
dapat ditulis sebagai
(
∫
(
untuk
. Bukti lengkap.
(
Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta 0 < b < 1 maka
untuk n → ∞.
(̂
Bukti: Nilai harapan dari ̂
(
dapat ditulis sebagai
(
24
(̂
∑
∑
∫
∑
∫
(
(
(
(̂
(
∑
(
(
∫
∫
(
(
(
untuk
(
. Bukti lengkap.
(
(
(
Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
, maka
Jika kasus
(̂
jika kasus
jika kasus
, maka
(
(
(̂
, maka
(̂
(
untuk n → ∞.
Bukti:
Untuk setiap
, dimana
maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
dan
dan
25
adalah bebas untuk
Telah didefinisikan penduga bagi
sehingga
(̂
dapat dihitung sebagai
(̂
dengan memisalkan
yaitu ̂
∑
̂
Perhatikan,
∑
∑
(
Karena merupakan proses Poisson, maka
atas dapat ditulis menjadi
∑
∫
∑
∫
∑
∫
Perhatikan bahwa
i.
ii.
(
∑
∫
, sehingga persamaan di
∑
∑
∑
∫
∑
∫
(17)
untuk
∑
untuk
∑
iii.
untuk
jika
(Titchmarsh 1960).
(18)
Dengan menggunanakan persamaan (18), persamaan (17) dapat dibedakan menjadi
) untuk
tiga kasus. Perhatikan pula bahwa
Untuk kasus pertama,
, persamaan (17) menjadi
∫
∑
∑
∫
(16)
26
∫
∑
∫
(
(
(
untuk
(
Untuk kasus pertama,
, persamaan (17) menjadi
∑
∫
∫
∑
∫
(
(
untuk
Untuk kasus pertama,
(
untuk
∑
(
(
(19)
∫
∑
(
(
(
(20)
, persamaan (17) menjadi
∑
(
∫
∑
(
∑
∫
∑
∫
∫
(
(
∫
∑
∫
(21)
27
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan (16), sehingga
sebagai
(̂
(̂
(
(
untuk
dapat diperoleh
(
(22)
Selanjutnya, pada suku ketiga ruas kanan (16), diperoleh
sebagai
∑
∑
̂
̂
∑
∑
Untuk setiap
, dimana
maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
adalah bebas untuk
∑
∑
∑
∑
∫
∑
∫
dan
dan
28
∑
∫
∑
∫
(
(
(
untuk
(23)
Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (19)-(23) ke
̂
persamaan (16), diperoleh
yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut,
yaitu
untuk kasus
, diperoleh
(̂
untuk kasus
(
, diperoleh
(
(̂
untuk kasus
, diperoleh
(̂
(
untuk n → ∞. Bukti lengkap.
Lema 5: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
untuk n → ∞.
̂
(
Bukti.: Nilai harapan dari ̂
̂
∑
∫
∑
∫
(
dapat ditulis sebagai
∑
(̂
(
(
(
(
29
∑
∫ ∑(
(
(
∫
(
(
(
untuk
. Bukti lengkap.
(
(
(
Lema 6: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kasus
, maka
̂
jika kasus
̂
jika kasus
, maka
(
, maka
̂
,
untuk n → ∞.
Bukti:
Untuk setiap
, dimana
maka
dan
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
dan
adalah bebas untuk
Telah didefinisikan penduga bagi
̂
̂
yaitu
sehingga
(
dapat dihitung sebagai
̂
(24)
dengan memisalkan
∑
30
̂
Perhatikan,
∑
∑
(
Karena merupakan proses Poisson, maka
atas dapat ditulis menjadi
∑
(
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
Perhatikan bahwa
i.
ii.
, sehingga persamaan di
∫
(25)
∑
∑
∑
∫
untuk
∑
untuk
∑
untuk
iii.
jika
(Titchmarsh 1960).
(26)
Dengan menggunanakan persamaan (26), dapat dibedakan menjadi tiga kasus.
) untuk
Perhatikan pula bahwa
Untuk kasus pertama,
∫
, persamaan (25) menjadi
∑
∑
∫
31
∫
∑
∫
(
∫
∑
(
(
(
(
untuk
Untuk kasus kedua,
∫
, persamaan (25) menjadi
∑
∫
∫
∑
∑
∑
∫
(
∫
(
(
(
(28)
(
untuk
Untuk kasus ketiga,
∫
(27)
, persamaan (25) menjadi
∑
∑
∫
32
∫
∑
∑
(
(
untuk
∫
(
(
(29)
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan (24), sehingga
diperoleh sebagai berikut
(̂
(̂
(
(
untuk
(
dpat
(30)
Selanjutnya, dengan menggunakan Chaucy Schwarz pada suku ketiga ruas
kanan (24), diperoleh
sebagai berikut
̂
∑
∑
̂
∑
∑
Untuk setiap
, dimana
maka
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga
adalah bebas untuk
∑
dan
dan
33
∑
∑
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
unutk
(
(
(31)
(
Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (27)-(31) ke
̂
yang dibedakan menjadi tiga kasus
persamaan (24), diperoleh
sebagai berikut, yaitu
untuk kasus
, diperoleh
̂
, diperoleh
untuk kasus
̂
, diperoleh
untuk kasus
(
̂
,
untuk n → ∞. Bukti lengkap.
Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
untuk
.
̂
34
Bukti:
̂
(
̂
untuk
̂
(
.
(
(
(
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika kasus
, maka
(̂
jika kasus
, maka
(̂
Dan jika kasus
, maka
(̂
(
untuk n → ∞.
Bukti:
(̂
untuk kasus
(̂
(̂
untuk kasus
(̂
(̂
, diperoleh
(
(
(
, diperoleh
(
(
35
untuk kasus
(̂
, diperoleh
(
(
untuk n → ∞.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal.
Jika kasus
, maka
( ̂
jika kasus
(
, maka
( ̂
dan jika kasus
, maka
( ̂
(
untuk n → ∞.
Bukti:
( ̂
( ̂
̂
(
̂
36
untuk kasus
(
, diperoleh
( ̂
untuk kasus
, diperoleh
( ̂
(
untuk n → ∞.
Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
serta
maka
(̂
untuk n → ∞.
̂
Bukti: Nilai harapan dari ̂
∑
Misal
(̂
̂
(
∑
̂
(
̂
adalah sebagai berikut:
dan
̂
37
(32)
∑
(̂
Perhatikan bahwa
∑
∑
(
∑
∑
∑
(
(
∑
(
(
∑
Karena
Poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
∑
∑
(
∑
∫
∑
∫
∑
(
(
∫
∫
∫
(
38
(
(
untuk
Suku kedua persamaan (32) dapat dituliskan sebagai berikut
(̂
(
(
untuk
Sehingga
∑
(̂
(
(
(
(
(
untuk
(
Lema 8: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta
maka
̂
untuk n → ∞.
̂
(
Bukti: Nilai harapan dari ̂
Misal
̂
̂
∑
(
̂
adalah sebagai berikut:
dan
̂
39
∑
̂
(33)
∑
(̂
Perhatikan bahwa
∑
∑
∑
(
∑
∑
∑
Karena
(
(
∑
Poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
∑
∑
(
(
∑
∫
∑
∫
(
(
∫
∫
(
40
∑
(
∫(
(
(
untuk
Suku kedua persamaan (33), dapat ditulis sebgai berikut
untuk
(̂
Sehingga diperoleh
(
(
(̂
∑
(
(
untuk
(
(
(
Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal
serta 0 < b < 1 maka
̂
̂
untuk n → ∞.
(
41
Bukti:
Misalkan
̂
∑
̂
Perhatikan bahwa
̂
∑
̂
̂
(̂
Berdasarkan Lampiran 4. Diperoleh
(̂
Nilai harapan dari ̂
untuk
̂ ̂
(̂
̂
̂
(̂
̂
̂
̂
(̂
̂
̂
(
(̂
(
untuk
̂
̂
̂
dalam tiga kasus, yaitu
̂
(̂
̂
(̂
(
(̂
(
(
, diperoleh
̂
(̂
̂
̂
(̂
(
(
̂
(̂
̂
, diperoleh
̂
adalah sebagai berikut:
̂
Berdasarkan Lema 6, diperoleh
untuk
(
̂
(̂
̂
(̂
̂
(
42
(
(
untuk
(
(
(
, diperoleh
̂
(̂
(
untuk
(
(
̂
(̂
(
(
(
̂
(
(
(
(
43
Lampiran 4 Penjabaran
Bukti persamaan
̂
(̂
Misalkan
̂
̂
(̂
∑
̂
Perhatikan bahwa
̂
Misal
(
̂
∑
̂
(̂
̂
∑
∑
Sehingga dapat ditulis
̂
(̂
̂
̂
Pertama dihitung
∑
∑
Kedua dihitung
∑
̂
∑
̂
∑
44
∑
Karena
∑
Poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
(
untuk
Ketiga dihitung
̂
∑
̂
∑
∑
45
∑
Karena
∑
poisson, maka
, sehingga diperoleh
∑
∑
(
[
]
(
untuk
Keempat dihitung
̂
̂
(
(̂
(̂
̂
(
46
untuk
Sehingga diperoleh
(̂
(
untuk
̂
(
(
(
(
(
Bukti lengkap.
(
(
(
47
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti’ah. Tahun 2011 penulis lulus
dari SMA 1 Kudus. Tahun 2015 penulis lulus sebagai Sarjana Sains dari Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dan pada tahun
yang sama secara resmi diterima di Pascasarjana IPB dengan Program Studi Matematika
Terapan (MAT), namun penulis telah mengikuti kegiatan perkuliahan di S-2 MAT sejak
September 2014 melalui program sinergi IPB (fasttrack).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai pengurus Gugus
Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika (Gumapastika) IPB sebagai staf Hubungan
Masyarakat pada tahun 2015.