∗ ∗
− −
= ∆
kj k
j
f α
1 7
ketika hasil bukan basis tetap Nol. Dapat dilihat setelah mensubstistusikan ke persamaan 7 untuk
∗ j
N
x dan dimasukkan ke perhitungan partisi dari
k
β diberikan pada persamaan 6, kita tunjukkan :
k B
x =
[ ]
1 +
β Maka,
k B
x sekarang adalah integer.
Sekarang jelas bahwa bermain dengan varibel non basis adalah tugas yang sangat penting untuk integer yang cocok dengan variabel non-basis. Maka, hasilnya
adalah untuk menjelaskan bahwa harus menjadi variabel non-integer untuk pembulatan,
Theorema 1. Tunjukkan bahwa IP 1-4 mempunyai solusi optimal, kemudian
beberapa dari variabel non basis
∗ j
N
x = 1, … ,
n harus menjadi variabel non integer.
Bukti.
Menyelesaikan masalah slack variabel kontinu bukan integer, kecuali pada kasus persamaan kendala. Jika kita mengesumsikan bahwa vektor variabel basis
B
x terdiri
dari seluruh slack variabel kemudian seluruh variabel integer akan menjadi vektor non-basis
N
x dan karena itu bernilai integer.
3.2. Metode derivative
Jelas bahwa komponen lainnya
k i
B
x
≠
, dari vektor
B
x akan juga mempengaruhi
seperti nilai numerik dari skalar
∗ j
N
x menaikkan ke
∗
∆
j
. Konsekuensinya, jika beberapa elemen vektor
∗ kj
α , i.e.,
∗ kj
α untuk i ≠ k adalah positif, maka elemen yang cocok dari
B
x akan dikurangi dan kadang-kadang boleh mendekati Nol. Sekalipun demikian, beberapa komponen dari vektor
x tidak harus lebih kecil dari Nol untuk pembatasan tak negatif. Oleh karena itu, sebuah formula, dikatakan uji rasio minimum
Universitas Sumatera Utara
dibutuhkan agar dapat melihat bagaimana pergerakan maksimum dari bukan basis
∗ j
N
x dinyatakan bahwa seluruh komponen dari
x solusi layak.
Rasio ini akan diuji pada 2 kasus : 1. Variabel basis
k i
B
x
≠
dikurangi ke nol batasan rendah pertama. 2. Variabel basis
k B
x dinaikkan ke integer.
Khususnya, cocok untuk tiap-tiap kasus diatas. Persamaan akan dihitung :
=
≠ 1
min
j i
k i
k
α β
ϑ
α
8
2 j
∆ =
θ 9
Sejauh akan dikeluarkan bukan basis
∗ j
N
x batasan dari Nol, maka vector
x adalah solusi layak akan bergantung pada uji rasio
θ diberikan sebagai berikut : θ = min
2 1
, θ
θ 10
Nyatanya, jika
1
θ θ = , persamaan dari variabel basis
k i
B
x
≠
akan tepat pada batasan rendah sebelum
k B
x menjadi integer. Jika
2
θ θ = , nilai numerik dari variabel basis
k B
x akan menjadi integer dan layak untuk masih dipertahankan. Sama halnya, kita
mampu untuk mendapatkan hasil numerik dari variabel basis
k B
x untuk integer
tertutup
[ ]
k
β . Pada kasus ini bergerak penuh dari variabel non-basis khusus,
∗ j
N
x ,
cocok untuk beberapa elemen vektor
j
α , diberikan oleh :
kj k
f f
α =
∆ 11
Urutan untuk mempertahankan uji layak untuk uji rasio θ masih dibutuhkan.
Mengingat bergerak dari variabel non-basis khusus, ∆ , dinyatakan pada persamaan
7 dan 11. Hanya faktor persamaan tersebut membutuhkan perhitungan elemen yang cocok dari vektor
j
α dapat dinyatakan sebagai : ,
1 ,
1
= =
−
j B
j j
α α
. . ., n – m
12
Universitas Sumatera Utara
Oleh karena itu, untuk mendapatkan elemen utama dari vektor
j
α kita akan mampu membedakan kolom yang cocok untuk matriks [B]
-1
. Andaikan kita membutuhkan nilai dari elemen
∗ kj
α , misalkan
T k
v untuk kolom ke – k vektor [B]
-1
, kemudian kita mempunyai :
1 −
= B e
v
T k
T k
13 berikutnya adalah nilai numerik dari
∗ kj
α dihasilkan dari : aj
v
T k
kj
=
∗
α 14
pada istilah Linier Programming LP operasi dilakukan pada persamaan 12 dan 13 dikatakan nilai operasi. Vektor mengurangi harga
j
d digunakan untuk ukuran kelemaan dari fungsi objektif dikarenakan oleh melepaskan variabel non-basis dari
batasannya. Akibatnya, memutuskan non basis akan dilepaskan pada proses pembulatan, vektor
j
d harus dimasukkan ke dalam perhitungan, maka meminimumkan kelemahannya. Anggap bahwa solusi kontinu minimum diberikan
batasan terendah pada beberapa solusi layak-integer. Namun, jumlah dari variabel khusus non-basis diberikan pada persamaan 7 atau 11, bergantung pada beberapa
cara dari elemen yang cocok dari vektor
j
α . Oleh karena itu, dapat diamati dengan kelemahan dari nilai fungsi objektif antara melepaskan variabel non-basis
∗ j
N
x agar
pembulatan variabel basis
k B
x dapat diukur oleh rasio :
kj k
d α
15
dimana a adalah harga mutlak dari skalar a.
Universitas Sumatera Utara
Urutan untuk meminimumkan kelemahan dari solusi optimal kontinu kita menggunakan strategi selanjutnya untuk menentukan yang mana variabel non basis
bias dinaikkan ke batasan nol, maka, m
n j
d
kj k
j
− =
,..., 1
, min
α 16
Dari strategi “kendala aktif” dan partisi dari kendala yang cocok untuk basis B, superbasis S dan non-basis N variabel dapat dituliskan :
=
N S
N
b b
x x
x I
N S
B
18
atau b
Nx Sx
Bx
N S
b
= +
+ 18
N N
b x
= 19
Basis matriks B di asumsikan bujursangkar dan non-singular, kita dapatkan:
N S
B
x Wx
x α
β −
− =
20 dimana
b B
1 −
= β
22 S
B W
1
= 23
N B
1 −
= α
24 Persamaan 19 indikasi bahwa variabel non-basis diperoleh dari hasil yang
sama untuk batasannya. Jelaslah selesai “pendekatan” basis dari persamaan 20, strategi pembulatan dibicarakan pada bagian selanjutnya. Secara khusus, kita bias
melepaskan variabel non-basis dari batasannya, persamaan 20 dan pertukarannya dengan varibel basis yang cocok pda proses pembulatan, meskipun solusi dapat
Universitas Sumatera Utara
digeneralkan. Selanjutnya, theorema 1 diatas akan dijelaskan untuk Problema Knapsack.
Theorema 2. Andaikan Problema Knapsack mempunyai batasan solusi kontinu yang
optimal, kemudian kita dapat selalu mendapatkan non-integer
j
y pada vektor variabel basis optimum.
Bukti.
1. Jika variabel ini adalah non-basis, maka akan dibatasi. Oleh karena itu harus
bernilai integer. 2.
Jika
j
y superbasis, mungkin untuk membuat basis
j
y dan membawanya kedalam non-basis pada batasannya diletakkan pada superbasis.
Bagaimanapun, uji rasio untuk persamaan 10 tidak dapat digunakan sebagai alat untuk jaminan bahwa menemukan hasil solusi integer optimal pada wilayah yang
layak. Malahan, dapat digunakan uji kelayakan dari Minos pada urutan untuk cek apakah solusi integer layak atau tidak layak.
3.3. Hasil
