PF AB 4

PI GEON HOLE PRI N CI PLE

Pigen Hole Pr inciple (Pr insip Lubang Mer pat i) mengat akan bahwa j ika lebih dar i n benda dimasukkan ke dalam n kot ak, maka sedikit nya ada sat u kot ak yang ber isi lebih dar i sat u benda. Secar a umum bahwa j ika ada lebih dar i pn benda dimasukkan ke dalam n kot ak maka sedikit nya ada sat u kot ak ber isi lebih dar i p benda.

Bent uk Lain : J ika n bilangan

n bulat m

1 ,m 2 ,m 3 , ⋅⋅⋅, m n memiliki r at a-r at a

> r − 1 , maka

sedikit nya sat u di ant ar a bilangan-bilangan bulat t er sebut lebih besar at au sama dengan r .

Cont oh : J ika ada 101 sur at yang akan dimasukkan ke dalam 50 kot ak pos, bukt ikan bahwa ada sedikit nya sat u kot ak pos ber isi sekur ang-kur angnya 3 sur at .

J awab : J ika selur uh kot ak pos masksimal hanya ber isi 2 sur at , maka j umlah maksimal sur at yang dapat masuk kot ak pos adalah 100. Tet api j umlah sur at yang ada yait u 101. Maka dapat dipast ikan ada sedikit nya sat u kot ak pos ber isi sekur ang- kur angnya 3 sur at .

LATI HAN SOAL :

1. Pada sebuah pest a set iap or ang yang hadir dihar uskan membawa per men. J ika pada pest a t er sebut j umlah or ang yang hadir ada 10 sedangkan j umlah per men yang ada sebanyak 50 buah, bukt ikan bahwa ada sekur ang-kur angnya 2 or ang yang membawa per men dalam j umlah yang sama.

2. J ika t er dapat n 2 + 1 t it ik yang t er let ak di dalam sebuah per segi dengan panj ang sisi n, bukt ikan bahwa ada sekur ang-kur angnya 2 t it ik yang memiliki j ar ak t idak lebih dar i

2 sat uan.

3. J ika t er dapat n 2 + 1 t it ik yang t er let ak di dalam sebuah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi n, bukt ikan bahwa

ada sedikit nya 2 t it ik yang j ar aknya sat u sama lain paling j auh

4. J ika diket ahui m adalah bilangan bulat a 1 ,a 2 , a 3 , ⋅⋅⋅, a m , t unj ukkan bahwa ada bilangan bulat k, s dengan 0 ≤k<s≤m sedemikian sehingga a k+1 +a k+2 + ⋅⋅⋅ + a s habis dibagi m.

5. Tiga buah t it ik t er let ak pada daer ah yang dibat asi oleh sumbu y dan gr af ik per samaan 7x − 3y 2 + 21 = 0. Bukt ikan bahwa sedikit nya dua di ant ar a ket iga t it ik t er sebut mempunyai j ar ak t idak lebih dar i 4 sat uan.

6. Di ant ar a bilangan-bilangan 1, 2, ⋅⋅⋅, 200, j ika 101 bilangan diambil, maka t unj ukkan bahwa ada dua bilangan di ant ar a yang t er ambil sedemikian sehingga yang sat u habis dibagi yang lain.

7. Bukt ikan bahwa j ika 100 bilangan diambil dar i himpunan 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 200 sedemikian sehingga sedikit nya sat u diant ar anya lebih kecil dar i 15, maka ada dua di ant ar a yang t er pilih sehingga yang sat u habis dibagi yang lain.

8. Bukt ikan bahwa di ant ar a 7 bilangan bulat , past i ada sekur ang-kur angnya sepasang bilangan yang selisihnya habis dibagi 6.

9. Bukt ikan bahwa di ant ar a 5 bilangan bulat past i ada 3 di ant ar anya memiliki j umlah habis dibagi 3.

10. Misalkan bilangan-bilangan 1 sampai 20 dit empat kan dalam ur ut an bagaimana pun pada sebuah lingkar an. Tunj ukkan bahwa : a. ada t iga bilangan ber dekat an yang j umlahnya sedikit nya 32 b. ada empat bilangan ber dekat an yang j umlahnya sedikit nya 42

11. Tit ik let is pada bidang adalah t it ik yang mempunyai koor dinat ber upa pasangan bilangan bulat .

Misalkan P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 ,P 5 adalah lima t it ik let is ber beda pada bidang.

Bukt ikan bahwa t er dapat sepasang t it ik (P i ,P j ), i ≠ j , demikian, sehingga r uas gar is P i P j memuat sebuah t it ik let is selain P i dan P j .

12. Tit ik let is pada r uang adalah t it ik yang mempunyai koor dinat ber upa t r ipel bilangan bulat (Cont oh : (3,4,5); (3, −4,6)).

Misalkan P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 ,P 5 ,P 6 ,P 7 ,P 8 adalah delapan t it ik let is ber beda pada r uang.

Bukt ikan bahwa t er dapat sepasang t it ik (P i ,P j ), i ≠ j , demikian, sehingga r uas gar is P i P j memuat sebuah t it ik let is selain P i dan P j .

13. Bukt ikan bahwa j ika dalam sebuah gr up 6 or ang, set iap 2 or ang hanya dapat selalu ber sahabat at au selalu ber musuhan, maka ada sedikit nya 3 or ang yang saling ber sahabat at au saling ber musuhan sat u sama lain.

14. Di dalam suat u pest a t er dapat n or ang dan mer eka saling ber salaman. J ika di ant ar a 2 or ang t idak ada yang ber salaman lebih dar i 1 kali, bukt ikan bahwa ada sedikit nya 2 or ang ber salamaan dalam j umlah yang sama.

15. Tunj ukkan bahwa di ant ar a t uj uh bilangan bulat posit if ber beda yang t idak lebih dar i 126, kit a selalu dapat

menemukan dua di ant ar anya, kat akanlah x dan y dengan y > x sedemikian sehingga 1 < ≤ 2 .

16. Diber ikan 7 bilangan r eal. Bukt ikan bahwa kit a dapat memilih dua di ant ar anya kat akana a dan b sehingga

a − b 1 tg α − tg β

. (Pet unj uk : Rumus yang dapat digunakan adalah tg ( α − β ) =

1 + ab 3

1 + tg α ⋅ tg β

17. Ter dapat 115 bola yang dij aj ar kan pada sat u gar is lur us dan t er dapat 60 bola mer ah di ant ar anya. Masing-amsing bola diber i nomor ber beda sesuai dengan ur ut annya yait u nomor 1 sampai 115. Tunj ukkan bahwa sedikit nya ada 2 bola mer ah yang t er pisah 4 bola (Misalnya bola mer ah dengan nomor 5 dan 9 ser t a nomor 36 dan 40 memenuhi syar at ini).

18. Seor ang pemain cat ur memiliki wakt u 11 minggu unt uk menyiapkan dir i mengikut i sebuah t ur namen. I a memut uskan unt uk ber lat ih sedikit nya sat u per mainan set iap har i, namun t idak lebih dar i 12 per mainan selama seminggu. Per lihat kan bahwa ada beber pa har i ber t ur ut -t ur ut yang selama it u pecat ur t er sebut ber lat ih t epat 21 per mainan.

KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLI MPI ADE MATEMATI KA BI DANG GEOMETRI

Sumber : Alabama State-Wide Mathematics Contest 2002 Geometry Examination

1. Diket ahui AE = 6, EB = 5 dan CE = 4. Tent ukan DE.

2 . Sebuah per segi dipot ong pada salah sat u bagian sudut nya dengan ukur an seper t i pada gambar . Maka luas daer ah per segi yang t er sisa adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ A. 64

3 . Diket ahui dua buah lingkar an yang sama dengan pusat di O dan O’ saling

ber pot ongan seper t i t ampak pada gambar . Panj ang OO ' adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

4 . Sebuah buj ur sangkar digambar di dalam sebuah lingkar an yang ber j ar i-j ar i 6 dengan keempat t it ik sudut buj ur sangkar t er sebut t er let ak pada lingkar an. Luas daer ah yang diar sir adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

A. 36 π − 18 2 B. 9 π − 18 C. 12 π − 4 D. 144 − 36 π E. 36 − 9 π

5 . Ber apa banyak diagonal dapat dibuat pada poligon 9 sisi ? A. 27

6 . Sudut dalam sebuah poligon ber at ur an aalah 140 o . Ber apa banyakkah sisi yang dimiliki poligon t er sebut ? A. 9

7 . J ika dar i gambar di samping diket ahui DE sej aj ar BC dan luas ∆ABC sembilan

kali luas ∆ADE, maka per bandingan panj a ng CB dengan DE adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

8 . Seseor ang akan membangun sebuah pagar dengan keliling pagar 120 f eet dilihat dar i at as t anah. Yang manakah di ant ar a daer ah ber ikut yang akan membuat daer ah yang dibat asi oleh pagar t er sebut akan memiliki luas yang maksimum ?

A. segit iga

B. per segi pa nj ang C. buj ur sangkar

D. segi-6 ber at ur an

E. segi-5 ber at ur an

9. Pada gambar di samping, segi empat ABCD mer upakan j aj ar an genj ang. Besar ∠x adalah ⋅⋅⋅⋅

o A. 64 B . 70 o C. 60 o D. 76 o E. 90 o

1 0. Sebuah ker ucut alasnya ber bent uk lingkar an dengan diamet er 12 f eet dan t inggi 4 f eet . Ber apa f eet kubikkah pasir dapat diisikan ke ker ucut t er sebut ? π B. A. 48 144 π C. 64 π D. 72 π E. 12 π

1 1. Dar i gambar disamping diket ahui r uas gar is AB sej aj ar r uas gar is gar is CD, ∠B = 60 o

dan DE mer upakan gar is bagi ∠D. Ber apa der aj at kah busur CE ?

o A. 15 B. 30 o C. 60 o D. 120 o E. 90 o

1 2. Ber apa f eet 2 asbes yang diper lukan unt uk menut upi per mukaan sebuah pipa yang panj angnya 100 f eet dan ber diamet er 3,5 inch ? A. 3800

1 3. J ika gar is AD dan BD adalah gar is singgung lingkar an O dan panj ang AD dua kali panj ang AB, maka ∆ADB adalah segit iga ⋅⋅⋅⋅ A. siku-siku

B. sama kak i

C. sama sisi

D. t umpul

E. t idak dapat dit ent ukan

1 4. J ika gar is AB sej aj ar CD, maka besar ∠x adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

o A. 48 B. 116 o C. 68 o D. 64 o E. 140 o

1 5. Diket ahui r uas gar is PA menyinggung lingkar an di t it ik A. Ruas gar is PF memot ong lingkar an dengan t it ik F t er let ak pada lingkar an. Busur DG ≅ busur GF. Gar is GA sej aj ar gar is FH, besar sudut busur FH = 140 o dan besar sudut busur HA = 30 o , maka besar ∠P adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

o A. 15 B. 40 o C. 30 o D. 20 o E. 60 o

16. J ika dar i panj ang sisi sebuah belah ket upat adalah 12, ber apakah keliling belah ket upat t er sebut ?

1 7. Ber dasar kan gambar di samping DE ⊥ DB , maka besar ∠x adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

o A. 15 B. 30 o C. 45 o D. 60 o E. 75 o

18. Volume sebuah kubus adalah 125. Tent ukan panj ang semua r usuk kubus t er sebut . A. 60

1 9. J ika beber apa gar is dibuat dalam sat u bidang dat ar , t ent ukan ber apa j umlah minimum gar is lur us yang diper lukan agar banyaknya per pot ongan t it ik gar is-gar is t er sebut ada 6 buah. A. 3

2 0. Sebuah buj ur sangkar (per segi) dan segit iga sama sisi mempunyai keliling yang sama. J ika luas segit iga

t er sebut 16 3 , maka luas buj ur sangkar t er sebut adalah ⋅⋅⋅⋅

2 1. Pada sebuah lingkar an, ber apakah per bandingan luas segi-6 ber at ur an yang dibuat di dalam lingkar an t er sebut dengan luas segi-6 ber at ur an yang sisi-sisinya menyinggung lingkar an t er sebut ? A. 65%

E. Tidak dapa t dit ent ukan

2 2. J ar ak ver t ikal dan hor isont al dar i sebuah t it ik yang ber dekat an adalah 1. Hit unglah luas der ah dar i bangun pada gambar .

A. B. 8 C. D. E. 10

2 3. Semua lingkar an pada gambar di samping yang ber dekat an saling ber singgungan sat u sama lain dan/ at au j uga menyinggung per segi panj ang. Masing-masing lingkar an memiliki j ar i-j ar i 1. Tent ukan nilai pendekat an luas daer ah yang diar sir .

2 4. J ika panj ang dan lebar sebuah per segi panj ang masing-masing dit ambah 1, maka luas per segi panj ang t er sebut menj adi 7 kali luas per segi panj ang semula. J ika panj ang per segi panj ang semula dit ambah 2 sedangkan lebar nya dit ambah 1, maka luas per segi panj ang yang t er bent uk menj adi 10 kali luas per segi panj ang semula. Ber apakah keliling per segi panj ang semula ?

A. B. C. 22 D. E.

2 5. Sebuah kubus ber ukur an 7 x 7 x7. Dar i masing-masing sisi kubus t er sebut dibuat 5 buah lubang lur us yang masing-masing ber ukur an 1 sat uan per segi t embus sampai ke sisi di hadapannya (lihat gambar ). Ber apakah volume bangun t er sebut ?

B 26. esar nya sudut dalam dar i segi-6 ber at ur an dinyat akan dalam der aj at adalah a. Pengukur an sudut luar dar i segi-8 ber at ur an t er sebut dinyat akan dalam der aj at adalah b. Per bandingan a dan b adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ A. 3 : 8

B. 4 : 3

C. 2 : 1

D. 8 : 3

E. 3 : 1

27. J ika gar is l sej aj ar gar is m, ∠α = 65 o dan ∠γ = 45 o , maka ∠β − ∠γ = ⋅⋅⋅⋅⋅

o B. A. 0 20 o C. 45 o D. 65 o E. 70 o

2 8. Tit ik-t it ik ( −3,−2) dan (11,−10) mer upakan uj ung-uj ung diamet er sebuah lingkar an. Koor dinat or pusat lingkar an t er sebut adalah ⋅⋅⋅⋅ −3) B. A. (2, (4, −6) C. (8, −12) D. ( −7,−6) E. ( −4,−6)

2 9. J ika panj ang AD = 3, DE = 2 dan AB = 15, ber apakah panj ang CB ?

A. 13 B. 3 13 C. 10

D. 26

E. 2 1 0

3 0. Ber apakah luas belah ket upat yang memiliki panj ang diagonal 6 dan 9 ? A. 27

3 1. Gambar di samping dibuat melalui car a dengan A sebagai pusat dan AB j ar i-j ar i dibuat busur CB dan dengan B sebagai pusat dan AB j ar i-j ar i dibuat busur CA. J ika AB = 4, ber apakah luas daer ah gambar t er sebut ?

A. B. C. 16 π

E.

D. π−2

3 2. Diket ahui gar is w, x, y dan z adalah 4 buah gar is lur us yang dibuat pada sat u bidang. J ika w ⊥ x, y || w dan z || w, maka semua per nyat aan di bawah ini salah kecuali ⋅⋅⋅⋅ ⊥y A. z

3 3. Sebuah pr isma memiliki alas ber bent uk per segi panj ang dengan panj ang 5, lebar 2 dan t inggi 4. Tot al luas per mukaan pr isma t er sebut adalah ⋅⋅⋅⋅ A. 40

3 4. J ika panj ang sisi-sisi kubus dij adikan dua kali panj ang semula, ber apa per senkah per t ambahan volumenya ? A. 100%

3 5. Segit iga ABC memiliki t it ik-t it ik sudut A( −1,2), B(3,8) dan C(5,−2). Tent ukan luas segit iga ABC. A. 12

36. Sebuah silinder memiliki j ar i-j ar i alas 6 inches dan t ingginya 10 inches. bagiannya diisi pasir . Ber apa

inches kubikkah pasir yang ada didalam silinder ? π B. A. 40 80 π C. 240 π D. 120 π E. 360 π

37. Yang manakah diant ar a bilangan-bilangan ber ikut yang nilainya mendekat i j ar ak yang dit empuh sebuah r oda mobil ber diamet er 2 f t yang t elah ber put ar sebanyak 350 kali ? A. 1500 f t

B. 1800 f t

C. 20 f t

D. 3000 ft

E. 4200 f t

3 8. Sebuah pohon yang t ingginya 10 f t memiliki bayangan yang panj angnya 25 f t . Pada saat yang sama bayangan sebuah benda panj angnya 5 f t . Ber apakah t inggi benda t er sebut ? A. 2

39. Luas per segi pada gambar di samping adalah 1 dengan = 7. J ika luas ar sir segit iga

yang lebih besar 9 kali luas ar sir segit iga yang kecil, maka luas daer ah yang diar sir adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

A. B. C. D. E.

4 0. Gar is AB menyinggung lingkar an besar dan lingkar an kecil ber t ur ut - t ur ut di A dan B. Gar is CD menyinggung lingkar an besar dan lingkar an kecil ber t ur ut -t ur ut di C dan D. J ika AC = 9, AE = 6 dan ED = 1, maka t ent ukan selisih j ar i-j ar i kedua lingkar an.

A. 2 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 2 5 E. 3 5

4 1. Diber ikan bahwa AX = 5, BC = 2, CD = 4, EX = 5, XF = 1 dan GH = 3. Tent ukan FG − XB.

A. B. C. D. E. 1

4 2. Diket ahui bahwa AD = 2, DB = 4, Busur AC ≅ busur CB dan r uas gar is AB sebagai diamet er lingkar an. Tent ukan panj ang EA.

A. B. 2 2 C. D. E.

4 3. Dua buah lingkar an saling ber singgungan. Kedua lingkar an ini j uga menyinggung sisi- sisi segit iga siku-siku ABC. J ika lingkar an yang besar ber j ar -j ar i 12 sedangkan lingkar an yang kecil memiliki j ar i-j ar i 3, maka hit unglah luas segit iga t er sebut .

A. 420

B. 620

C. 1240

D. 1344

E. 2688

44. ABCD adalah sebuah j aj ar an genj ang dengan panj ang DE = panj ang EC. F t er let ak pada sisi AB dengan F ≠ B. J ika gar is EF membagi j aj ar an genj ang

AF

dengan per bandingan luas p : 1 dimaan p > 1, maka

FB

A. B. p C. D. E. 2

4 5. Semua lingkar an pada gambar saling ber singgungan. J ar i-j ar i lingkar an besar adalah 4 sedangkan lingkar an kecil ber j ar i-j ar i 1. Dua dar i empat t it ik sudut segi empat pada gambar adalah pusat lingkar an sedangkan dua yang lainnya t it ik singgung lingkar an. Tent ukan luas segi empat yang t er bent uk.

A. 6 + 6 B. 6 6 C. 4 + 2 2 D. 6 + 10 E. 5 + 2

4 6. Gar is EF menyinggung lingkar an besar di F dan menyinggung lingkar an kecil di E. AC dan BD masing-masing adalah diamet er lingkar an besar dan lingkar an kecil. Radius lingkar an besar = 5 sedangkan lingkar an kecil ber j ar i-j ar i 3. J ika EF = 4, maka BC = ⋅⋅⋅⋅

A. 3 + 2 5 B. 5 − 2 2 C. 5 − 2 5

D. 8 + 2 5 E. 8 − 2 5

4 7. Per segi panj ang pada gambar memiliki ukur an 3 x 5. Pada sudut kir i bawah dan sudut kanan at as dibuat buj ur sangkar dengan sisi-sisinya sej aj ar t er hadap per segi panj ang dan ber pusat di t it ik sudut per segi panj ang t er sebut . Buj ur sangkar t er sebut memiliki sisi yang panj angnya 1. Tent ukan j ar ak 2 buah t it ik yang diber i t anda pada gambar .

A. 3 5 B. 41 C. 34 D. 2 10 E. 2 13

4 8. Daer ah yang t idak diar sir dan dibat asi oleh bagian yang diar sir adalah mer upakan segi-8 ber at ur an. Ke-8 t it ik sudut segi-8 ini t er let ak pada sebuah lingkar an yang ber j ar i-j ar i 1. Tent ukan luas daer ah yang diar sir .

A. 3 − 2 B. C. D. 4 − 2 2 E.

4 9. Sebuah t ali dililit kan melalui 6 buh r oda. J ika pusat r oda yang t er dekat saling dihubungkan, maka akan t er bent uk sebuah segi-6 ber at ur an yang diamet er lingkar an luar nya sama dengan 6. Masing-masing r oda ber diamet er 1. Ber apakah nilai pendekat an dar i panj ang t ali yang dibut uhkan unt uk mengikat ke-6 r oda t er sebut .

5 0. Sebuah mej a biliar t anpa lubang panj ang sisi-sisinya 5 f t dan 10 f t . Sebuah bola disodok dar i t it ik A( sudut kir i bawah) ke ar ah t it ik E (lihat gambar ). Bola akan memant ul dar i sat u sisi ke sisi yang lain. Set elah beber apa pant ulan, bola akan menumbuk sisi AD unt uk per t ama kalinya. Anggap t it ik ini dinamakan F. J ika DE = 3, ber apakah panj ang AF dinyat akan dalam f eet ?

A. 2

B. C. D. 3 E.

LATI HAN

masing ber j ar i-j ar i 7 sat uan, saling ber pot ongan

PI LI HAN GANDA

di A dan C membent uk buj ur sangkar dengan sisi

7 sat uan. Luas daer ah yang diar sir adalah ⋅⋅⋅⋅

1. J ika A = ( −1) −1 , B=( −1) 1 dan C = 1 −1 . maka

(ambil π=

A+B+C= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. 25 = L L

25 25 A. 25 25 C. 100 E. 2 ⋅ 25

25 B. 10 25 D. 2

3. 7 = L L