SMAN 5 BENGKULU JALAN CENDANA NOMOR 20 BENGKULU 2005
DIKTAT
PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA
TAHUN PELAJARAN 2005/2006 MATERI DASAR DISUSUN OLEH : EDDY HERMANTO, ST
SMAN 5 BENGKULU JALAN CENDANA NOMOR 20 BENGKULU
GARI S BESAR MATERI DAN SUB MATERI PADA PEMBI NAAN OLI MPI ADE MATEMATI KA I . TEORI BI LANGAN
1.1 Uj i Bilangan Habis Dibagi
1.1.1 Bilangan habis dibagi 5
1.1.2 Bilangan habis dibagi 2 n
1.1.3 Bilangan habis dibagi 3 at au 9
1.1.4 Bilangan habis dibagi 11
1.1.5 Sif at -sif at suat u bilangan j ika dibagi ab dengan a dan b r elat if pr ima
1.2 Bilangan Kuadr at
1.2.1 Angka sat uan bilangan kuadr at
1.2.2 Sif at -sif at j ika bilangan kuadr at dibagi suat u bilangan
1.3 Fakt or Per sekut uan Ter besar (FPB) dan Kelipat an Per sekut uan Ter kecil (KPK)
1.3.1 Penger t ian FPB dan KPK
1.3.2 Sif at -sif at FPB dan KPK
1.3.3 Rumus banyaknya pembagi dar i suat u bilangan
1.4 Bilangan Rasional
1.4.1 Penger t ian dan sif at bilangan r asional
1.5 Bilangan Bulat Ter besar Kur ang dar i At au Sama Dengan x dan Bilangan Bulat Ter kecil Lebih Dar i At au Sama Dengan x
1.5.1 Penger t ian
1.5.2 Sif at -sif at
1.6 Teor ema Kecil Fer mat
1.6.1 Penger t ian dan penj elasan
I I . ALJ ABAR
2.1 Eksponen dan Logar it ma
2.1.1 Sif at -sif at eksponen
2.1.2 Sif at -sif at logar it ma
2.2 Polinomial
2.2.1 Per samaan Kuadr at
2.2.2 Teor ema sisa
2.2.3 Akar -akar polinomial dan sif at -sif at akar -akar polinomial
2.2.4 Fakt or -f akt or polinomial
2.3 Pembagian n 2.3.1 a −b n habis dibagi a − b unt uk n bilangan asli
2.3.2 a n +b n habis dibagi a + b unt uk n bilangan ganj il
2.4 Ket aksamaan
2.4.1 Sif at -sif at ket aksamaan
2.4.2 Ket aksamaan AM-GM-HM (Ar it hmat ic Mean - Geomet r y Mean - Har monic Mean)
2.5 Bar isan dan Der et
2.5.1 Bar isan dan der et ar it mat ika
2.5.2 Bar isan dan der et geomet r i
2.5.3 Pr insip Teleskopik
I I I . KOMBI NATORI K
3.1 Teor i Peluang
3.1.1 Kaidah per kalian
3.1.2 Penger t ian per mut asi
3.1.3 Penger t ian kombinat or ik
3.1.4 Per mut asi Siklik
3.1.5 Pengambilan obyek dengan pengembalian maupun t anpa pengembalian
3.1.6 Pengulangan obyek
3.2 Himpunan
3.2.1 Penger t ian 2 himpunan saling bebas
3.2.2 Penger t ian 2 himpunan saling lepas
3.2.3 Himpunan bagian
3.2.4 Rumus gabungan 2 himpunan saling ber ir isan
3.2.5 Rumus gabungan 3 himpunan saling ber ir isan
3.2.6 Pr insip I nklusi Eksklusi (Rumus gabungan n himpunan saling ber ir isan)
3.3 Binom Newt on
3.3.1 Penj abar an binom Newt on
3.3.2 Menent ukan koef isien dar i var iabel t er t ent u
3.4 Pigeon Hole Pr inciple
3.4.1 Penj elasan
3.4.2 Cont oh-cont oh per soalan
I V. GEOMETRI
4.1 Segit iga
4.1.1 Kesebangunan 2 segit iga
4.1.2 Penger t ian gar is t inggi, gar is ber at , gar is bagi, gar is sumbu dan sif at -sif at nya
4.1.3 Rumus luas segit iga
4.1.4 Dalil sinus dan kosinus
4.1.5 Rumus j ar i-j ar i lingkar an luar dan lingkar an dalam suat u segit iga
4.2 Segi Empat Khusus
4.2.1 Penger t ian per segi panj ang, buj ur sangkar (per segi), t r apezium, j aj ar an genj ang, belah ket upat
4.2.2 Rumus keliling dan luas segi empat khusus
4.3 Lingkar an
4.3.1 Segi empat t ali busur (Penger t ian dan sif at -sif at )
4.3.2 Gar is singgung pada lingkar an (Penger t ian secar a geomet r i)
4.4 Segi n Ber at ur an
4.4.1 Panj ang sisi
4.4.2 Luas segi-n ber at ur an
4.4.3 Sudut Dalam dan sudut luar
4.5 Dimensi Tiga
MATERI DASAR PEMBI NAAN OLI MPI ADE MATEMATI KA SMAN 5 BENGKULU TEORI BI LANGAN
1. UJ I HABI S DI BAGI
a. Suat u bilangan habis dibagi 5 j ika dan hanya j ika digit t er akhir dar i bilangan t er sebut adalah 0 at au 5 Cont oh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.
b. Suat u bilangan habis dibagi 2 n j ika dan hanya j ika n digit t er akhir dar i bilangan t er sebut habis dibagi 2 n . Cont oh : 134576 habis dibagi 8 = 2 3 sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)
4 4971328 habis dibagi 16 = 2 sebab 1328 habis dibagi 16
c. Suat u bilangan habis dibagi 3 j ika dan hanya j ika j umlah digit bilangan t er sebut habis dibagi 3. Cont oh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.
d. Suat u bilangan habis dibagi 9 j ika dan hanya j ika j umlah digit bilangan t er sebut habis dibagi 9. Cont oh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.
e. Suat u bilangan habis dibagi 11 j ika dan hanya j ika selisih ant ar a j umlah digit dar i bilangan t er sebut pada posisi ganj il dengan j umlah digit dar i bilangan t er sebut pada posisi genap habis dibagi 11. Cont oh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) − (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Cont oh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.
2. J ika suat u bilangan habis dibagi a dan j uga habis dibagi b, maka bilangan t er sebut akan habis dibagi ab dengan syar at a dan b r elat if pr ima. Ber laku sebaliknya. Cont oh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.
3. Misalkan N j ika dibagi p akan ber sisa r . Dalam bent uk per samaan N = pq + r dengan p menyat akan pembagi, q menyat akan hasil bagi dan r menyat akan sisa. Per samaan di at as ser ing pula dit ulis N ≡ r (mod p)
4. Kuadr at suat u bilangan bulat bulat , habis dibagi 4 at au ber sisa 1 j ika dibagi 4. maka suat u bilangan bulat yang ber sisa 2 at au 3 j ika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadr at . Pembukt ian bisa dilakukan dengan menyat akan bahwa sebuah bilangan past i akan t er masuk salah sat u dar i bent uk 4k, 4k + 1, 4k + 2 at au 4k + 3 dilanj ut kan dengan pengkuadr at an masing-masing bent uk. Sedangkan bilangan kuadr at j ika dibagi 3 akan ber sisa 0 at au 1. Dan set er usnya unt uk pembagi yang lain.
5. Angka sat uan dar i bilangan kuadr at adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.
dengan pembukt ian pada bilangan kuadr at .
b1 b2 b3 7. Misalkan M = p bn
a1 a2 a3 an
1 ⋅p 2 ⋅p 3 ⋅ ⋅⋅⋅ p n dan N = p 1 ⋅p 2 ⋅p 3 ⋅ ⋅⋅⋅ p n maka :
c1 c2 c3 Fakt or Per sekut uan Ter besar dar i M dan N dit ulis FPB (M, N) = p cn
1 ⋅p 2 ⋅p 3 ⋅ ⋅⋅⋅ p n
d1 d2 d3 Kelipat an Per sekut uan Ter kecil dar i M dan N dit ulis KPK (M, N) = p bn
1 ⋅p 2 ⋅p 3 ⋅ ⋅⋅⋅ p n Dengan c 1 = min (a 1 ,b 1 ) ; c 2 = min (a 2 ,b 2 ) ; c 2 = min (a 3 ,b 3 ) ; ⋅⋅⋅ ; c n = min (a n ,b n )
d 1 = maks (a 1 ,b 1 ) ; d 2 = maks (a 2 ,b 2 ) ; c 3 = maks (a 3 ,b 3 ) ; ⋅⋅⋅ ; c n = maks (a n ,b n )
8. Dua bilangan dikat akan pr ima r elat if , j ika f akt or per sekut uan t er besar nya (FPB) sama dengan 1. Cont oh : 26 dan 47 adalah pr ima r elat if sebab FPB 26 dan 47 dit ulis FPB(26,47) = 1
9. Fakt or Per sekut uan Ter besar (FPB) dar i dua bilangan asli ber ur ut an adalah 1. FPB (n, n + 1) = 1 dengan n adalah bilangan asli.
10. J ika x sebar ang bilangan r eal, maka ⎣x⎦menyat akan bilangan bulat t er besar kur ang dar i at au sama dengan x. Cont oh : ⎣π⎦ = 3 ; ⎣0,5⎦ = 0 ; ⎣−1,6⎦ = −2 Kit a selalu memper oleh (x − 1) < ⎣x⎦ ≤ x J ika x sebar ang bilangan r eal, maka ⎡x⎤ menyat akan bilangan bulat t er kecil lebih dar i at au sama dengan x. Cont oh : ⎣π⎦ = 4 ; ⎣0,5⎦ = 1 ; ⎣−1,6⎦ = −1 Kit a memper oleh bahwa ⎣x⎦ ≤ ⎡x⎤. Tanda kesamaan t er j adi hanya saat x adalah bilangan bulat .
11. Tanda ⎣ ⎦ dapat digunakan unt uk menent ukan nilai k bulat t er besar sehingga a k membagi n! dengan a mer upakan bilangan pr ima dan “!” menyat akan f akt or ial.
Nilai k t er besar =
+ 2 + 3 + 4 + L ⎢⎣
a ⎥⎦ ⎢⎣ a ⎥⎦ ⎢⎣ a ⎥⎦ ⎢⎣ a ⎥⎦
Cont oh : k t er besar yang membuat 3 membagi 28! =
12. Misalkan M = p d1 d2 d3 1 dn ⋅p 2 ⋅p 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ p n dengan p 1 ,p 2 ,p 3 , ⋅⋅⋅, p n bilangan pr ima maka banyaknya pembagi (disebut j uga dengan f akt or ) dar i M adalah (d 1 + 1)(d 2 + 1)(d 3 + 1) ⋅⋅⋅ (d n + 1).
3 Cont oh : Banyaknya f akt or dar i 600 = 2 2 ⋅3⋅5 adalah (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 24
13. J ika X dinyat akan oleh per kalian n bilangan bulat ber ur ut an maka X habis dibagi n! dengan t anda “!” menyat akan f akt or ial. Cont oh : 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 habis dibagi 4! = 24 kar ena 4, 5, 6 dan 7 adalah 4 bilangan bulat ber ur ut an.
14. Unt uk sebuah bilangan pr ima p dan sembar ang bilangan bulat a, kit a dapat kan p selalu membagi (a p − a). I ni disebut Teor ema Kecil Fer mat (Fer mat Lit t le Theor em). Penulisan
dalam bent uk lain adalah a p − a ≡ 0 (mod p) at au dapat j uga dit ulis a ≡ a (mod p).
15. Bilangan r asional adalah suat u bilangan yang dapat diubah ke dalam bent uk dengan a dan b
masing-masing adalah bilangan bulat .
16. n-1 ABCDE L N (suat u bilangan yang t er dir i dar i n digit ) dapat diur aikan menj adi A ⋅10 +
B n-4 ⋅10 +C ⋅10 +D ⋅10 + ⋅⋅⋅ + N.
n-2 n-3
4 3 Cont oh : 48573 = 4 2 ⋅10 +8 ⋅10 +5 ⋅10 +7 ⋅10 + 3 = 40000 + 8000 + 500 + 70 + 3
ALJ ABAR
1. Sisa dar i pembagian p(x) oleh (x − a) adalah p(a)
2. J ika a adalah pembuat nol ( at au dengan kat a lain a adalah akar dar i p(x) = 0 ) dar i polinomial p(x), maka (x − a) adalah f akt or dar i p(x).
3. h(x) = p(x) ⋅ q(x) + s(x) dengan p(x) menyat akan pembagi, q(x) hasil bagi dan s(x) adalah sisa j ika h(x) dibagi p(x).
n − 1 n − 2 4. J ika 1 p ( x ) = a n x + a n − 1 x + a n − 2 x + L + a 1 x + a 0 adalah polinomial dengan pembuat
nol : x 1 ,x 2 ,x 3 , ⋅⋅⋅, x n , (dengan kat a lain x 1 ,x 2 ,x 3 , ⋅⋅⋅, x n adalah akar -akar p(x) = 0) maka hubungan-hubungan ber ikut ber laku :
x 1 x 2 x 3 L x n − 1 x n = () − 1
5. Unt uk n bilangan ganj il, maka (a n +b n ) habis dibagi (a + b)
6. Unt uk n bilangan bulat asli, maka (a n −b ) habis dibagi (a − b)
7. (i). n-1 (a −b ) = (a − b)(a +a b+a b + ⋅⋅⋅ + ab +b ) dengan n ∈ bilangan asli
(ii). (a n-1 +b ) = (a + b)(a −a b+a b − ⋅⋅⋅ − ab +b ) dengan n ∈ bilangan ganj il
8. Pr insip t eleskopik 8. Pr insip t eleskopik
b. L
KETI DAKSAMAAN
1. Ket idaksamaan AM −GM−HM (AM ≥ GM ≥ HM) J ika a 1 ,a 2 ,a 3 , ⋅⋅⋅, a n −1 ,a n adalah n bilangan r eal posit if dengan r at a-r at a ar it mat ik (AM), r at a- r at a geomet r i (GM) dan r at a-r at a har monik (HM), maka akan memenuhi :
AM ≥ GM ≥ HM
2. J ika αa ≤ αb dan α adalah bilangan posit if , maka a ≤ b sedangkan j ika α bilangan negat if maka a ≥ b. J adi ket ika membagi kedua r uas ket idaksamaan, kit a har us memper hat ikan t anda bilangan pembagi.
GEOMETRI
1. Luas dua segit iga yang panj ang alasnya sama akan mempunyai per bandingan yang sama dengan per bandingan t ingginya sedangkan dua segit iga yang mempunyai t inggi yang sama akan mempunyai per bandingan luas yang sama dengan per bandingan panj ang alasnya.
2. J ika AB adalah diamet er sebuah lingkar an dan C t er let ak pada lingkar an maka o ∠ACB = 90 .
3. J ika CD adalah t ali busur suat u lingkar an yang ber pusat di O maka OM dengan M adalah per t engahan CD akan t egak lur us CD.
4. Dua segit iga ABC dan DEF dikat akan sebangun j ika memenuhi salah sat u dar i per nyat aan ber ikut :
a. ∠A = ∠D ; ∠B = ∠ E ; ∠C = ∠F
b. =
BC CA AB
EF FD DE
DE
c. AB =
dan ∠A = ∠D
AC DF
5. J ika D adalah t it ik t engah dar i sisi BC pada ∆ABC, maka (AB) 2 + (AC) 2 = 2 ( (AD) 2 + (BD) 2 )
6. J ika ABCD adalah segiempat t alibusur , maka :
AB ⋅ CD + AD ⋅ BC = AC ⋅ BD
Kebalikannya j ika di dalam segiempat ABCD ber laku hubungan t er sebut , maka segiempat it u adalah segiempat t alibusur .
7. J ika ABCD adalah segiempat t ali busur dan diagonal AC ber pot ongan dengan diagonal BD di E maka ber laku
AE ⋅ EC = BE ⋅ ED
8. Gar is bagi pada segit iga adalah gar is yang membagi sudut suat u segit iga sama besar .
9. Gar is t inggi pada segit iga adalah gar is yang dit ar ik dar i salah sat u t it ik sudut sehingga t egak lur us sisi di hadapannya.
10. Gar is ber at (disebut j uga dengan median) pada segit iga adalah gar is yang dit ar ik dar i salah sat u t it ik sudut memot ong per t engahan sisi di hadapannya.
11. Gar is sumbu pada segit iga adalah gar is yang dit ar ik dar i per t engahan sisi dan dibuat t egak lur us sisi t er sebut dan memot ong sisi di hadapannya.
12. Ket iga gar is bagi, ket iga gar is t inggi, ket iga gar is ber at dan ket iga gar is sumbu masing- masing akan ber pot ongan di sat u t it ik.
13. Per pot ongan ket iga gar is bagi mer upakan pusat lingkar an dalam segit iga t er sebut .
14. J ika gar is bagi yang dit ar ik dar i t it ik A pada segit iga ABC memot ong sisi BC di t it ik D maka
BA
ber laku BD =
DC AC
15. Per pot ongan ket iga gar is sumbu mer upakan pusat lingkar an luar segit iga t er sebut .
16. Per pot ongan ket iga gar is ber at membagi ket iga gar is ber at t er sebut masing-masing dengan per bandingan 2 : 1.
KOMBI NATORI K
1. a. At ur an J umlah J ika A dan B adalah dua himpunan ber hingga yang saling lepas, maka : n(A ∪B) = n(A) + n(B)
Secar a umum : n(A 1 ∪A 2 ∪⋅⋅⋅∪A n ) = n(A 1 ) + n(A 2 )+ ⋅⋅⋅ + n(A n )
b. At ur an Hasil Kali J ika A dan B adalah dua himpunan ber hingga, maka : n(AxB) = n(A) ⋅ n(B)
2. Pr insip Lubang Mer pat i ( Pigeon Hole) J ika n + 1 obyek disebar secar a acak ke dalam n kot ak, maka paling sedikit sat u kot ak yang memiliki sedikit nya 2 obyek. Secar a lebih umum, j ika kn + 1 obyek disebar secar a acak ke dalam n kot ak maka paling sedikit ada sat u kot ak yang memiliki sedikit nya k + 1 obyek.
3. J ika A dan B adalah dua himpunan ber hingga, maka : n(A ∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) Unt uk t iga himpunan ber hingga : n(A ∪B∪C) = n(A) + n(B) +n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C) Demikian set er usnya unt uk lebih dar i 3 himpunan t ak ber hingga
4. Beber apa sif at koef isien binomial
a. n C r = n C n −r ; 0 ≤r ≤n
b. n C r + n C r −1 = n+1 C r ; 1 ≤r ≤n
c. J ika n adalah bilangan bulat posit if , maka :
d. Penj umlahan koef isien (i) n
n − (ii) 1
5. Misalkan ada n macam obyek dan kit a ingin memilih r elemen, maka banyaknya pilihan adalah n C r , dengan n ≥r.
6. Misalkan ada n macam obyek dan kit a ingin memilih k elemen dibolehkan ber ulang (kit a mengganggap bahwa set iap n macam obyek t er sedia pada set iap wakt u). Maka banyaknya
pilihan demikian adalah n+k −1 C k dengan n ≥ k.
7. Misalkan ada n obyek dimana k 1 obyek adalah j enis per t ama (dan ident ik), k 2 obyek adalah j enis kedua, ⋅⋅⋅, k r adalah j enis ke-r sehingga k 1 +k 2 +k 3 + ⋅⋅⋅ + k r = n. Maka banyaknya
per mut asi dar i semua n obyek adalah
CON T OH- CON T OH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Ada ber apa banyak diant ar a bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ? Solusi : Penj umlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (t idak habis dibagi 9) Penj umlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (t idak habis dibagi 9) Penj umlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (t idak habis dibagi 9) Penj umlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (t idak habis dibagi 9) Kar ena semua penj umlahan digit t idak ada yang habis dibagi 9 maka t idak ada bilangan-bilangan t er sebut yang habis dibagi 9.
2. J ika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, t ent ukan nilai a dan b. Solusi :
72 = 9 ⋅ 8. Kar ena 9 dan 8 r elat if pr ima maka a679b har us habis dibagi 8 dan 9. Kar ena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2. Kar ena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3. J adi bilangan t er sebut adalah 36792.
3. Tent ukan bilangan kuadr at 4 angka dengan angka per t ama sama dengan angka kedua dan angka ket iga sama dengan angka keempat . Solusi : Misal bilangan t er sebut adalah aabb. Nilai b yang memenuhi adalah 0, 1, 4, 5, 6, at au 9. Tet api 11, 55, 99 j ika dibagi 4 ber sisa 3 sedangkan
66 j ika dibagi 4 ber sisa 2 yang membuat ab t idak mungkin mer upakan bilangan kuadr at . J adi nilai b yang mungkin adalah 0 at au 4.
J ika b = 0 maka a0 = 10 2 (10a + a) yang ber akibat 10a + a har us bilangan kuadr at . Tet api 11, 22, 33, ⋅⋅⋅,
99 t idak ada sat upun yang mer upakan bilangan kuadr at . Sehingga t idak mungkin b = 0. J ika b = 4 maka a4 = 11(100a + 4). Kar ena a4 bilangan kuadr at maka 100a + 4 habis dibagi 11. Sesuai dengan sif at bilangan habis dibagi 11 maka a + 4 − 0 habis dibagi 11. Nilai a yang memenuhi hanya
7. J adi bilangan t er sebut adalah 7744.
5 n + 23
4. Tent ukan semua pasangan bilangan bulat (m,n) yang memenuhi per samaan m =
Solusi : Alt er nat if 1 :
5 n + 23 58
Kar ena m bilangan bulat maka n − 7 har us f akt or dar i 58. Nilai n − 7 yang memungkinkan adalah −1, 1, −2, 2, −29, 29. −58, 58 ber akibat nilai n yang memenuhi adalah 6, 8, 5, 9, −22, 36, −51, 65. Pasangan (m, n) yang memenuhi ( −53, 6), (−24, 5), (3, −22), (4, −51), (6, 65), (7, 36), (34, 9), (63, 8).
Eddy Hermanto, ST
Alt er nat if 2 : mn − 7m = 5n + 23 Æ (m − 5)(n − 7) = 58 Akibat nya (n − 7) dan (m − 5) har us f akt or dar i 58. Selanj ut nya sama dengan car a per t ama.
5. Bilangan r eal 2,525252 ⋅⋅⋅ adalah bilangan r asional, sehingga dapat dit ulis dalam bent uk , dimana m, n n bilangan-bilangan bulat , n ≠ 0. J ika dipih m dan n yang r elat if pr ima, ber apakah m + n ?
Solusi : Misal X = 2,525252 ⋅⋅⋅ maka 100X = 252,525252⋅⋅⋅ 100X − X = 252,525252⋅⋅⋅ − 2,525252⋅⋅⋅ 99X = 250
99 Kar ena 250 dan 99 r elat if pr ima, maka m = 250 dan n = 99 m + n = 349.
6. Unt uk set iap bilangan r eal α, kit a def inisikan ⎣⎦ α sebagai bilangan bulat yang kur ang dar i at au sama
dengan α. Sebagai cont oh ⎣ 4 , 9 ⎦ = 4 dan ⎣⎦ 7 = 7. J ika x dan y bilangan r eal sehingga ⎣⎦ x = 9 dan ⎣⎦ y = 12, maka nilai t er kecil yang mungkin dicapai oleh ⎣ y − x ⎦ adalah ? Solusi :
Kar ena 81 = 9 dan 100 = 10 maka ⎣⎦ x = 9 dipenuhi oleh 81 ≤ x < 100 Kar ena 144 = 12 dan 169 = 13 maka ⎣⎦ y = 12 dipenuhi oleh 144 ≤ y < 169
⎣y−x⎦ min = ⎣y min −x maks ⎦ = ⎣ 144 − 99,99⋅⋅⋅⎦ = ⎣ 44,00⋅⋅⋅⋅⋅1 ⎦
⎣y−x⎦ min = 44
7. Angka t er akhir dar i 26! Past i 0. Tent ukan banyaknya angka 0 ber ur ut an yang t er let ak pada akhir bilangan 26!. (Maksud soal ini adalah 26! = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅0000. Ada ber apa banyak angka nol yang t er let ak pada akhir bilangan t er sebut ). (Tanda “!” menyat akan f akt or ial. n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ n. Cont oh 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 dan sebagainya) Solusi :
26! = k ⋅2 p ⋅5 q dengan p > q.
q t er besar = + 2 ⎢⎣ = 5 + 1 = 6.
6 6 26! = k 6 ⋅2 ⋅2 ⋅5 =m ⋅ 10 dengan m t idak habis dibagi 10.
Maka banyaknya angka nol ber ur ut an yang t er let ak pada akhir bilangan 26! = 6. 26! = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅000000.
8. Bukt ikan bahwa a 9 − a habis dibagi 6, unt uk set iap bilangan bulat a. Solusi :
Eddy Hermanto, ST
9 2 2 a 4 − a = a (a − 1) (a + 1) (a + 1)
9 2 a 4 − a = (a − 1) a (a + 1) (a + 1) (a + 1)
Kar ena (a 9 − 1) a (a + 1) adalah per kalian 3 bilangan bulat ber ur ut an maka a − a habis dibagi 3! = 6. Alt er nat if 2 :
Sebuah bilangan bulat past i akan memenuhi bahwa ia ganj il at au genap . * 9 J ika a genap maka a adalah genap
9 − a adalah selisih ant ar a dua bilangan genap Æ a Maka 9 a a genap
* 9 J ika a ganj il maka a adalah ganj il
Maka 9 a − a adalah selisih ant ar a dua bilangan ganj il Æ a − a genap
9 Kar ena a 9 − a genap maka ber ar t i a − a habis dibagi 2.
Akan dibukt ikan bahwa a 9 − a j uga habis dibagi 3. Alt er nat if 2. a :
Sebuah bilangan bulat akan memenuhi salah sat u bent uk dar i 3k, 3k + 1 at au 3k + 2 *
J ika a = 3k
a 9 −a=3 9 k 9 − 3k = 3 (3 8 k 9 − k) yang ber ar t i a 9 − a habis dibagi 3
9 9 9 8 8 7 7 2 2 a −a=3 k +
9 C 1 3 k + 9 C 2 3 k + ⋅⋅⋅ + 9 C 7 3 k + 24k = 3p
9 a − a habis dibagi 3 *
J ika a = 3k + 2
9 9 a − a = (3k + 2) − (3k + 2)
9 9 9 8 1 8 7 2 7 2 7 2 8 a −a=3 k +
9 C 1 3 2 k + 9 C 2 3 2 k + ⋅⋅⋅ + 9 C 7 3 2 k + 9 C 8 3k 2 +1 − (3k + 2)
9 −a=3 9 9 8 1 8 7 2 7 2 7 2 8 9 a k +
9 C 1 3 2 k + 9 C 2 3 2 k + ⋅⋅⋅ + 9 C 7 3 2 k + 9 C 8 3k 2 +2 − (3k + 2)
9 C 8 3k 2 − 3k = 3k (
⋅2 8 9 C 8 − 1) yang ber at i habis dibagi 3
9 2 − 2 = 512 − 2 = 510 habis dibagi 3.
9 a − a habis dibagi 3 Dapat disimpulkan bahwa a 9 − a habis dibagi 3.
Alt er nat if 2. b : Teor ema Fer mat : Unt uk a bilangan bulat dan p pr ima maka a p − a habis dibagi p. Penulisan dalam
bent uk lain adalah a p − a ≡ 0 (mod p) at au bisa j uga a p ≡ a (mod p)
3 3 3 Ber dasar kan t eor ema Fer mat maka a 3 − a habis dibagi 3 dan (a ) −a j uga habis dibagi 3.
3 3 3 Maka (a 3 ) −a +a − a har us habis dibagi 3.
3 3 3 3 9 (a 9 ) −a +a −a=a −a Æ a − a habis dibagi 3.
Kar ena 2 dan 3 r elat if pr ima maka a 9 − a habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6 ∴ 9 Ter bukt i bahwa a − a habis dibagi 6 unt uk set iap bilangan bulat a
9. Tent ukan A dan B j ika :
AB B+
BA Solusi : (10A + B) + (B) = (10B + A) dengan 1 ≤ A ≤ 9 ; 1 ≤ B ≤ 9 ; A dan B bilangan bulat . 9A = 8B Æ A = 8t dan B = 9t dengan t adalah bilangan bulat .
1 ≤ 8t ≤ 9 Æ Nilai t yang memenuhi hanya t = 1. ∴
A = 8 dan B = 9
Eddy Hermanto, ST
10. Ber apakah angka sat uan dar i : 2 2005 − 2003 ? Solusi :
Angka sat uan dar i : 2 1 = 2 adalah 2 Angka sat uan dar i : 2 2 = 4 adalah 4 Angka sat uan dar i : 2 3 = 8 adalah 8 Angka sat uan dar i : 2 4 = 16 adalah 6 Angka sat uan dar i : 2 5 = 32 adalah 2
Tampak bahwa angka sat uan 2 n unt uk n bil. asli ber ulang dengan per iode 4. Kar ena 2005 = 4 ⋅ 501 + 1,
maka angka sat uan dar i 2 1 sama dengan angka sat uan 2 yait u 2.
Angka sat uan dar i : 2 2005 − 2003 = a2 − 3 = 9
11. Suat u bilangan t er dir i dar i 2 angka. Bilangan t er sebut sama dengan 4 kali j umlah kedua angka t er sebut . J ika angka kedua dikur angi angka per t ama sama dengan 2, t ent ukan bilangan t er sebut . Solusi : Misal bilangan it u adalah ab maka 10a + b = 4(a + b) Æ 2a = b
b − a = 2 Æ 2a − a = 2 Æ a = 2 dan b = 4 J adi bilangan t er sebut adalah 24.
12. Suat u bilangan t er dir i dar i 3 angka. Bilangan t er sebut sama dengan 12 kali j umlah ket iga angkanya. Tent ukan bilangan t er sebut . Solusi : Misal bilangan t er sebut adalah abc dengan 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ; 0 ≤ c ≤ 9, maka : 100a + 10b + c = 12 ( a + b + c) 88a = 2b + 11c Æ 2b = 11 (8a − c) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) Kar ena a, b dan c bilangan bulat , maka b kelipat an 11 at au b = 11k dan (8a − c) = 2k. Kar ena 0 ≤ b ≤ 9, maka nilai k yang memenuhi adalah k = 0 Æ b = 0 dan c = 8a Kar ena 0 ≤ c ≤ 9, maka a = 0 (t idak memenuhi) at au a = 1 (memenuhi) Æ c = 8 ⋅ 1 = 8.
∴ Bilangan t er sebut adalah : 108 .
13. Diket ahui bahwa 5k = n 2 + 2005 unt uk k dan n bulat ser t a n 2 adalah bilangan yang t er dir i dar i t iga digit dengan ket iga digit nya semuanya ber beda. Tent ukan semua nilai n 2 yang mungkin.
Solusi : Kar ena 5k dan dan 2005 habis dibagi 5 maka n 2 habis dibagi 5 yang ber akibat n habis dibagi 5.
n t idak akan habis dibagi 10 sebab akan membuat dua angka t er akhir nya 00. n 2 < 1000 Æ n < 34
Nilai n yang mungkin adalah 15 at au 25.
2 Kar ena 15 2 = 225 yang membuat t er dapat dua digit yang sama maka n = 25 = 625 sebagai sat u- sat unya nilai n 2 yang memenuhi.
14. Diket ahui a + p ⋅b = 19452005 dengan a dan b masing-masing adalah bilangan ganj il ser t a diket ahui bahwa 1945 ≤ p ≤ 2005. Ada ber apa banyak nilai p bulat yang mungkin memenuhi per samaan t er sebut ? (Cat at an : 19452005 adalah bilangan asli t er dir i dar i 8 angka)
Eddy Hermanto, ST
Solusi : Kar ena 19452005 adalah bilangan ganj il dan a ser t a b ganj il maka p har us genap.
Bilangan genap yang t er let ak di ant ar a 1945 dan 2005 ada sebanyak = 30.
15. Manakah yang lebih besar : 2 75 at au 5 ? Bukt ikan Solusi :
2 75 lebih besar dar i 5
16. Misal f adalah suat u f ungsi yang memet akan dar i bilangan bulat posit if ke bilangan bulat posit if dan didef inisikan dengan : f (ab) = b ⋅f (a) + a⋅f (b). J ika f (10) = 19 ; f (12) = 52 dan f (15) = 26. Tent ukan f (8). Solusi :
f (120) = f (10 ⋅ 12) = 12f (10) + 10f (12) = 12 ⋅ 19 + 10 ⋅ 52 = 748 ⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
f (120) = f (8 ⋅ 15) = 8f (15) + 15f (8) = 8 ⋅ 26 + 15f (8) = 208 + 15f (8) ⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 748 = 208 + 15f (8) ∴
f (8) = 36
17. J ika y =
7 x + 1945
mempunyai ar t i y dinyat akan dalam x. Dar i per samaan t er sebut t ent ukan x
dinyat akan dalam y. Solusi : 7yx + 1945y = 3 −x 7yx + x = 3 − 1945y x(7y + 1) = 3 − 1945y
3 − 1945 y x =
5 4 3 18. Misalkan bahwa f (x) = x 2 + ax + bx + cx + dx + c dan bahwa f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5). Ber apakah nilai a ?
Solusi : Misal f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5) = k Dibent uk per samaan polinomial :
g(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c −k
g(x) = f (x) −k J elas bahwa g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0 Ber ar t i bahwa 1; 2; 3; 4 dan 5 adalah akar -akar per samaan polinomial g(x) = 0.
5 4 3 x 2 + ax + bx + cx + dx + c −k=0
x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = −
Kar ena akar -akar nya adalah 1; 2; 3; 4 dan 5 maka : 1+2+3+4+5= − a Æ a = −15
Eddy Hermanto, ST
19. J ika α, β dan γ adalah akar -akar per samaan x − x − 1 = 0 t ent ukan +
Solusi :
20. Bukt ikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah f akt or dar i 3 105 +4 105 . Solusi :
Kar ena 105 ganj il maka 3 105 +4 habis dibagi 3 + 4 = 7.
Kar ena 35 ganj il maka 3 105 +4 habis dibagi 27 + 64 = 91. Kar ena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3 +4 habis dibagi 13.
⋅ 181 maka 3 105 Kar ena 21 ganj il maka 3 105 +4 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Kar ena 1267 = 7 +4 habis dibagi 181.
2 2 21. Unt uk sebar ang bilangan r eal a, b, c bukt ikan ket aksamaan 5a 2 + 5b + 5c ≥ 4ab + 4ac + 4bc dan t ent ukan kapan kesamaan ber laku.
Solusi :
(a − b) 2 ≥0 Æ a 2 +b 2 ≥ 2ab
Per t idaksamaan di at as dapat diper oleh pula dar i per t idaksamaan AM-GM
2 2 2 ≥ 2 a b Æ a +b ≥ 2ab ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
2 Kesamaan t er j adi bila a = b Ber dasar kan per samaan (1) didapat :
2 a 2 +c ≥ 2ac ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
2 b 2 +c ≥ 2bc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)
2 2 2 2 2 (1) + (2) + (3) Æ a 2 +b +c ≥ ab + ac + bc Æ 4a + 4b + 4c ≥ 4ab + 4ac + 4bc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) Bilangan kuadr at ber nilai ≥ 0 maka :
2 2 a 2 +b +c ≥ 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5) Kesamaan t er j adi hanya j ika a = 0, b = 0 dan c = 0
Eddy Hermanto, ST
2 2 (4) + (5) Æ 5a 2 + 5b + 5c ≥ 4ab + 4ac + 4bc Kesamaan t er j adi hanya j ika a = b = c = 0
∴ T er bukt i bahwa 5a 2 + 5b 2 + 5c 2 ≥ 4ab + 4ac + 4bc
22. Unt uk a, b dan c bilangan posit if , bukt ikan per t idaksamaan (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc. Solusi :
AM ≥ GM Æ
≥ ab Æ a+b ≥2 ab
2 Maka a + c ≥2 ac dan b + c ≥2 bc
(a + b)(a + c)(b + c) ≥2 ab ⋅2 ac ⋅2 bc
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc (t er bukt i)
23. Hit unglah nilai
Solusi : Soal di at as mer upakan cont oh pr insip t eleskopik.
= ⎜ ⎛− ⎟ + ⎜ ⎛− ⎟ + ⎜ ⎛− ⎟ L + ⎜ − ⎟
24. ⎛− ⎜ 1 ⎟ ⎛− ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎛− 1 ⎟ L ⎛− ⎜ 1 ⎟ ⎛− ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎛+ 1 ⎟ ⎜ ⎛+ 1 ⎟ ⎜ ⎛+ 1 ⎟ L ⎛+ ⎜ 1 ⎟ ⎛+ ⎜ 1 ⎟ = L ⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 2003 ⎠ ⎝ 2005 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2004 ⎠ ⎝ 2006 ⎠
Solusi :
1 ⎞ Misal S = ⎜ ⎛− 1 ⎟ ⎜ ⎛− 1 ⎟ ⎛− ⎜ 1 ⎟ L ⎜ ⎛− 1 ⎟ ⎜ ⎛+ 1 ⎟ ⎛+ ⎜ 1 ⎟ ⎛+ ⎜ 1 ⎟ L ⎛+ ⎜ 1 ⎟
S=
S=
S=
25. Tomi melakukan per j alanan dar i kot a A ke kot a B dengan mobil. J ika j alanan menanj ak, Tomi memacu mobilnya dengan kecepat an 40 km/ j am sedangkan j ika j alanan menur un Tomi memacu kendar aannya dengan kecepat an 60 km/ j am. J alanan dar i kot a A ke kot a B hanya j alanan menanj ak at au menur un saj a
Eddy Hermanto, ST Eddy Hermanto, ST
xyy
5 ⋅ 40 ⋅ 60 = (40 + 60)(x + y) x + y = 120 J ar ak dar i B ke kot a A = 120 km
26. Empat buah t it ik ber beda t er let ak pada sat u gar is lur us. J ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik dapat diur ut kan menj adi bar isan 1, 4, 5, k, 9, 10. Tent ukan nilai k. Solusi : Misal gar is t er sebut t er let ak pada sumbu X. Angap t it ik A adalah t it ik paling kir i, D paling kanan ser t a B dan C t er let ak di ant ar a A dan D. Tit ik A ber ada pada x = 0 Æ D ber ada pada koor dinat x = 10. Kar ena ada yang ber j ar ak 1 maka salah sat u B at au C akan ber ada di x = 1 at au x = 9 Tanpa mengur angi keumuman soal misalkan t it ik t er sebut adalah B. • B t er let ak pada x = 1
J ar ak B dan D = 9 Kar ena har us ada dua t it ik yang ber j ar ak 4 maka kemungkinan posisi C ada di x = 4, 5 at au 6. Posisi C t idak mungkin di x = 4 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 3, 4,
6, 9, 10. Posisi C t idak mungkin di x = 5 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 4, 5,
9, 10 (t idak ada nilai k) Maka posisi C ada di x = 6 yang akan membuat j ar ak dua t it ik sebar ang adalah 1, 4, 5, 6, 9, 10 k=6
• B t er let ak pada x = 9 J ar ak B dan A = 9 Kar ena har us ada dua t it ik yang ber j ar ak 4 maka kemungkinan posisi C ada di x = 4, 5 at au 6.
Posisi C t idak mungkin di x = 6 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 3, 4,
6, 9, 10. Posisi C t idak mungkin di x = 5 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 4, 5,
9, 10 (t idak ada nilai k) Maka posisi C ada di x = 4 yang akan membuat j ar ak dua t it ik sebar ang adalah 1, 4, 5, 6, 9, 10 k=6
27. Sebuah buj ur sangkar ukur an 5 x 5 dibagi menj adi 25 buj ur sangkar sat uan. Masing-masing buj ur sangkar sat uan akan diisi dengan bilangan 1, 2, 3, 4 at au 5. Pada masing-masing bar is, kolom dan dua diagonal ut ama (dar i kanan at as ke kir i bawah dan dar i kir i at as ke kanan bawah) kelima buj ur sangkar sat uan t er sebut har us diisi oleh bilangan yang ber beda. Lihat diagonal ut ama dar i kir i at as ke kanan bawah. Per hat ikan 4 buah buj ur sangkar sat uan di bawah diagonal t er sebut yang j uga membent uk diagonal. Bukt ikan bahwa j umlah keempat bilangan pada buj ur sangkar t er sebut t idak akan sama dengan
Eddy Hermanto, ST
Solusi :
Andaikan keempat bilangan t er sebut = 20 Æ F + L + R + X = 20 yang hanya dapat dipenuhi j ika F = L = R = X = 5. Pada kolom ke-5 har us t er dapat sat u bilangan 5. Akibat nya E = 5. Kar ena dalam masing-masing kolom hanya t er dapat sat u bilangan 5, maka banyaknya bilangan 5 ada t epat sebanyak 5. Tet api pada diagonal ut ama dar i kir i at as ke kanan bawah belum t er dapat bilangan 5 sedangkan bilangan
5 t elah t er dapat sebanyak 5 (kont r adiksi). Maka t idak mungkin F + L + R + X = 20.
28. J ika bent uk pangkat (a + b + c + d + e) 7 diekspansikan menj adi suku-sukunya, maka t ent ukan koef isien
2 dar i a 3 cd e. Solusi :
(a + b + c + d + e) 7 = (a + (b + c + d + e)) 7 maka koef isien dar i a 2 (b + c + d + e) 5 adalah 7 C 2 sehingga :
2 Koef isien dar i a 3 cd e adalah
7 C 25 C 05 C 14 C 3 = 21 ⋅1⋅5⋅4
∴ 2 Koef isien dar i a 3 cd e= 420
29. Di dalam sebuah kot ak t er dapat 4 bola yang masing-masing ber nomor 1, 2, 3 dan 4. Tomi mengambil bola secar a acak lalu mencat at nomor nya dan mengembalikkan bola t er sebut ke dalam kot ak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan j umlah keempat nomor bola yang diambilnya sama dengan 12. Ada ber apa banyak car a ia mendapat kan hal t er sebut ? Solusi : Alt er nat if 1 : Kemungkinan empat j enis bola yang t er ambil adalah : • Keempat bola t er sebut adalah (1, 3, 4, 4)
Banyaknya kemungkinan =
Semua kemungkinannya adalah (1, 3, 4, 4) ; (1, 4, 3, 4) ; (1, 4, 4, 3) ; (3, 1, 4, 4) ; (3, 4, 1, 4) ; (3, 4, 4,
1) ; (4, 1, 3, 4) ; (4, 1, 4, 3) ; (4, 3, 1, 4) ; (4, 3, 4, 1) ; (4, 4, 1, 3) ; (4, 4, 3, 1) • Keempat bola t er sebut adalah (2, 3, 3, 4)
Banyaknya kemungkinan =
Eddy Hermanto, ST
Semua kemungkinannya adalah (2, 3, 3, 4) ; (2, 3, 4, 3) ; (2, 4, 3, 3) ; (3, 2, 3, 4) ; (3, 2, 4, 3) ; (3, 3,
2, 4) ; (3, 3, 4, 2) ; (3, 4, 2, 3) ; (3, 4, 3, 2) ; (4, 2, 3, 3) ; (4, 3, 2, 3) ; (4, 3, 3, 2) • Keempat bola t er sebut adalah (2, 2, 4, 4)
Banyaknya kemungkinan =
Semua kemungkinannya adalah (2, 2, 4, 4) ; (2, 4, 2, 4) ; (2, 4, 4, 2) ; (4, 2, 2, 4) ; (4, 2, 4, 2) ; (4, 4,
2, 2) • Keempat bola t er sebut adalah (3, 3, 3, 3)
Banyaknya kemungkinan =
Semua kemungkinannya adalah (3, 3, 3, 3) Tot al banyaknya kemungkinan adalah 12 + 12 + 6 + 1 = 31 Alt er nat if 2 : Dengan car a mendaf t ar semua kemungkinanya.
30. Delegasi I ndonesia ke suat u per t emuan pemuda int er nasional t er dir i dar i 5 or ang. Ada 7 or ang pr ia dan
5 or ang wanit a yang mencalonkan dir i unt uk menj adi anggot a delegasi. J ika diper syar at kan bahwa paling sedikit seor ang anggot a it u har us wanit a, banyaknya car a memilih anggot a delegasi adalah ⋅⋅⋅⋅ Solusi : Susunan delegasi yang mungkin adalah 4 pr ia dan 1 wanit a at au 3 pr ia dan 2 wanit a at au 2 pr ia dan 3 wanit a at au 1 pr ia dan 4 wanit a at au 5 wanit a .
Banyaknya car a memilih anggot a delegasi adalah 7 C 4 ⋅ 5 C 1 + 7 C 3 ⋅ 5 C 2 + 7 C 2 ⋅ 5 C 3 + 7 C 1 ⋅ 5 C 4 + 7 C 0 ⋅ 5 C 5 =
35 ⋅ 5 + 35 ⋅ 10 + 21 ⋅ 10 + 7 ⋅ 5 + 1 ⋅ 1 = 175 + 350 + 210 + 35 + 1 = 771 car a. ∴ Banyaknya car a memilih anggot a delegasi ada 771.
31. Tiga buah t it ik t er let ak pada daer ah yang dibat asi oleh sumbu y dan gr af ik per samaan 7x − 3y 2 + 21 =
0. Bukt ikan bahwa sedikit nya dua di ant ar a ket iga t it ik t er sebut mempunyai j ar ak t idak lebih dar i 4 sat uan. Solusi :
2 2 x 3 − 3y + 21 = 0 Æ 7x = 3y − 21 Æ
x = ( y + 7 )( y − 7 )
mer upakan suat u per samaan par abola dengan puncak di ( −3,0) dan t it ik pot ong dengan sumbu Y di (0,√7) dan (0, −√7). Tampak bahwa ada 2 daer ah. Sat u daer ah di at as sumbu X dan sat u daer ah lagi di bawah sumbu X.
Eddy Hermanto, ST
2 2 J ar ak AB = ( −
J ar ak AC = ( − 3 − 0 ) + ( 0 − ( − 7 ) ) = 4
Unt uk 0 ≤ y ≤ √7, t ampak bahwa j ar ak t er j auh 2 t it ik t er j adi j ika kedua t it ik t er sebut di A dan B dengan j ar ak AB = 4. Unt uk −√7 ≤ y ≤ 0, t ampak bahwa j ar ak t er j auh 2 t it ik t er j adi j ika kedua t it ik t er sebut di A dan C dengan j ar ak AC = 4. Kar ena ada 3 buah t it ik dan ada 2 daer ah maka sesuai Pigeon Hole Pr inciple (PHP) maka sekur ang- kur angnya ada 2 t it ik dalam sat u daer ah yait u memiliki or dinat 0 ≤ y ≤ √7 at au −√7 ≤ y ≤ 0.
∴ Dar i penj elasan di at as dapat disimpulkan bahwa j ika 3 t it ik t er let ak pada daer ah yang dibat asi oleh sumbu Y dan gr af ik per samaan 7x − 3y 2 + 21 = 0, maka sedikit nya 2 t it ik di
ant ar a ket iga t it ik t er sebut mempunyai j ar ak t idak lebih dar i 4 sat uan.
32. Gar is AB dan CD sej aj ar dan ber j ar ak 4 sat uan. Misalkan AD memot ong BC di t it ik P diant ar a kedua gar is. J ika AB = 4 dan CD = 12, ber apa j auh P dar i gar is CD ? Solusi : Dibuat gar is EF t egak lur us AB maupun CD ser t a melalui t it ik P. Kar ena ∠CPD = ∠APB dan AB sej aj ar dengan CD, maka ∆APB kongr uen dengan ∆CPD.
EP CD = = 12 =
PF AB 4
1 PF = ⋅ EP ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
3 EP + PF = 4
1 EP + ⋅ EP = 4
3 ∴ EP = 3 sat uan
33. Per hat ikan gambar . ABCD dan BEFG masing-masing adalah per segi (buj ur sangkar ) dengan panj ang sisi 8 dan 6. Tent ukan luas daer ah yang diar sir . Solusi : Alt er nat if 1 : Luas ar sir = Luas ABCD + Luas BEFG − Luas ∆ADE − Luas ∆EGF
Luas ar sir = 8 2 +6 2 − ½ ⋅ 8 ⋅ 14 − ½ ⋅ 6 ⋅ 6
Luas ar sir = 64 + 36 − 56 − 18 Luas ar sir = 26 Alt er nat if 2 : Misal gar is DE ber pot ongan dengan BG di H
HB 8 HB 24 32 AD = 18
Æ HB =
Æ CH = 8 − HB =
Æ GH = 6 − HB = AE BE 14 6 7 7 7
Luas ar sir = Luas ∆DCH + Luas ∆EGH Luas ar sir = ½ ⋅ DC ⋅ CH + ½ ⋅ GH ⋅ BE
Eddy Hermanto, ST
Luas ar sir =
Luas ar sir = 26
34. Diket ahui ∆ABC dengan AC = 2BC = 10 cm. Dar i t it ik C dibuat gar is bagi sudut ACB, sehingga memot ong AB di t it ik D. Dibuat gar is DE t egak lur us pada AB, sehingga BC = EB. Dar i t it ik D dibuat gar is t egak lur us pada EB dan memot ong EB di t it ik F. J ika panj ang AD = 8 cm. Hit unglah panj ang EF. Solusi :
AD
Kar ena CD adalah gar is bagi maka AC =
Æ DB = 4 cm
BC DB
Kar ena BE = BC = 5 cm dan DB = 4 cm maka DE = 3 cm. Alt er nat if 1 : ∆EFD sebangun dengan ∆BDE (ser ing dit ulis dengan ∆EFD ≅ ∆BDE)
DE EF EF = 3 Æ
DE BE 3 5
EF = 1,8 cm Alt er nat if 2 :
Luas ∆BDE = ½ BE ⋅ DF = ½ DE ⋅ BD Æ (5) (DF) = (3)(4) Æ DF =
cm
EF = () DE − ( DF ) = () 3 − ⎜ ⎟ =
EF = 1,8 cm Alt er nat if 3 :
(DF) 2 = (DE) 2 − (EF) 2 = (BD) 2 − (BF) 2 Æ (BF) 2 − (EF) 2 = (BD) 2 − (DE) 2 (BE − EF) 2 − (EF) 2 = (BD) 2 − (DE) 2 =4 2 −3 2 =7
2 2 5 2 − 10(EF) + (EF) − (EF) =7
25 − 10(EF) = 7 EF = 1,8 cm
35. Hit unglah luas daer ah yang diar sir
Eddy Hermanto, ST
Solusi :
Luas daer ah yang diar sir = Luas ∆ABD + Luas ∆ABE − 2 ⋅ Luas ∆ABC
36. ABC adalah sebuah segit iga dengan panj ang AB = 6. Dibuat sebuah lingkar an dalam yang menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M (lihat gambar ). J ika panj ang LC = 5, t ent ukan keliling segit iga ABC.
Solusi : Per hat ikan bahwa CM = CL, BM = BK dan AL = AK Keliling ∆ABC = BK + KA + AL + LC + CM + MB
Keliling ∆ABC = BK + KA + KA + LC + LC + BK Keliling ∆ABC = 2(BK + KA) + 2LC Keliling ∆ABC = 2AB + 2LC = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 5 Keliling ∆ABC = 22
37. Pada segit iga ABC diket ahui panj ang AC = 5, AB = 6 dan BC = 7. Dar i t it ik C dibuat gar is t egak lur us sisi AB memot ong sisi AB di t it ik D. Tent ukan panj ang CD. Solusi : Alt er nat if 1 : Misalkan panj ang AD = x Æ BD = 6 −x
CD = 2 6
Alt er nat if 2 : s = ½ (5 + 6 + 7) = 9
Luas ∆ABC = s ( s − a )( s − b )( s − c ) = 9 ( 9 − 5 )( 9 − 6 )( 9 − 7 ) = 6 6
Luas ∆ABC = ½ ⋅ AB ⋅ CD = 3CD
3 ⋅ CD = 6 6 CD = 2 6
Eddy Hermanto, ST
38. Per hat ikan gambar . AB dan CD adalah diamet er lingkar an dengan AB = CD = 8 ser t a AB dan CD saling t egak lur us. Busur AC, CB, BD dan DA adalah 4 busur yang kongr uen dengan dua busur yang ber dekat an saling ber singgungan. Tent ukan luas daer ah yang diar sir . (J awaban boleh dinyat akan dalam π. I ngat
bahwa π≠ maupun 3,14.)
Solusi : Alt er nat if 1 : Buat per segi EFGH dengan A, B, C dan D adalah per t engahan sisi-sisinya.
Luas ar sir = Luas per segi EFGH − 4 ⋅ Luas 1/ 4 lingkar an
Luas 2 ar sir =8 ⋅ 8 − 4 (¼ π 4 ) Luas ar sir = 64 − 16π Alt er nat if 2 : Misal per pot ongan gar is AB dan CD di t it ik O
Luas t ember eng AC = Luas 1/ 4 lingkar an − Luas ∆AOC
Luas 2 t ember eng AC =¼ ⋅π⋅4 −½⋅4⋅4 Luas t ember eng AC =4 π−8 Luas ar sir = Luas lingkar an − 8 ⋅ Luas t ember eng π⋅4 Luas ar sir = 2 − 8 ⋅ (4π − 8) Luas ar sir = 64 − 16π
Eddy Hermanto, ST
KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLI MPI ADE MATEMATI KA BI DANG TEORI BI LANGAN
Sumber :
1. Mu Alpha Theta National Convention : Denver 2001 Number Theory Topic Test
2. Alabama State-Wide Mathematics Contest Cliphering Question
1. Yang manakah di ant ar a bilangan ber ikut yang memenuhi ber sisa 1 j ika dibagi 3 ? A. 330
E. Tidak ada
2. Tent ukan j umlah 100 bilangan asli per t ama yang bukan bilangan kuadr at . A. 3080
E. Tidak ada
3. Tent ukan nilai t er besar n sehingga 3 n membagi 311! A. 103
E. Tidak ada
4. N adalah bilangan bulat posit if dan memenuhi j ika dibagi 3 ber sisa 2 dan j ika dibagi 2 ber sisa 1. Ber apakah sisanya j ika N dibagi 6 ?
E. Tidak ada
5. Tent ukan bilangan t er kecil yang mer upakan kelipat an 13 dan sat u lebihnya dar i suat u bilangan kelipat an 7.
E. Tidak ada
6. Ber apa banyakkah akhir an angka 0 ber t ur ut -t ur ut yang dimiliki oleh 134! ? A. 26
E. Tidak ada
7. Tent ukan bilangan asli t er kecil yang memiliki f akt or sebanyak 12. A. 60
E. Tidak ada
8. Tent ukan bilangan asli t er kecil yang memiliki f akt or sebanyak 12 yang t idak habis dibagi 3. A. 136
E. Tidak ada
9. Ber apakah penj umlahan semua f akt or dar i 84 ? A. 112
E. Tidak ada
10. Yang manakah di ant ar a bilangan-bilangan ber ikut ini yang r elat if pr ima t er hadap yang lain ? A. 221
E. Tidak ada
11. J ika 10a ber sisa 1 j ika dibagi 13 (per soalan ini kadang-kadang dit ulis dengan 10a ≡ 1 (mod 13), maka ber apakah sisanya j ika 17a dibagi 13 ? A. 1
E. Tidak ada
12. Sebuah bilangan 4 angka 6A6A habis dibagi 72. Ber apakah penj umlahan semua angka yang mungkin dar i A ? A. 2
E. Tidak ada
13. J ika 3x ber sisa 4 j ika dibagi 5 dan 5x dibagi 7 ber sisa 6, yang manakah di ant ar a bilangan-bilangan ber ikut yang mungkin mer upakan x ? A. 19
E. Tidak ada
14. Tent ukan bilangan t er kecil yang memenuhi sif at ber sisa 1 j ika dibagi oleh 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. A. 209
E. Tidak ada
15. J umlah n bilangan asli per t ama sama dengan S dimana S habis dibagi 183. Tent ukan nilai t er kecil dar i n.
E. Tidak ada
16. Tent ukan angka puluhan dar i 7 707 . A. 0
E. Tidak ada
17. Yang manakah di ant ar a bilangan-bilangan ber ikut yang habis dibagi 99 ? A. 5256
E. Tidak ada
18. Hasil kali dua bilangan asli adalah 9984. Nilai selisih posit if t er kecil dar i kedua bilangan t er sebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ A. 2
E. Tidak ada
19. Kelipat an per sekut uan t er kecil (KPK) dar i t iga bilangan 297, 481 dan 672 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ A. 32032
B. 31999968
C. 864864
D. 63999936 E. Tidak ada
20. Ber apakah sisanya j ika 5 301 dibagi 8 ? A. 1
E. Tidak ada
21. J ika M adalah kelipat an per sekut uan t er kecil (KPK) dar i 20 bilangan asli per t ama, maka banyaknya f akt or posit if dar i M adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ A. 960
E. Tidak ada
KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLI MPI ADE MATEMATI KA BI DANG ALJ ABAR
1. J ika bilangan 6 angka A8787B habis dibagi 144, maka t ent ukan nilai A dan B yang mungkin ?
2. Tent ukan bilangan asli t er kecil yang memiliki f akt or sebanyak 14.
3. Tent ukan penj umlahan semua f akt or -f akt or posit if dar i 2004.
4. Tent ukan nilai x yang memenuhi per samaan ⎛
⎜ 4 x − 12 x + 8 x − 1 ⎟ ⎜ 4 x + 12 + 8 x − 1 ⎟ ⎜ ⎛ 4 x + 8 x − 1 ⎞ ⎟ = 15
5. Bukt ikan bahwa 1 2001 +2 +3 +4 + ⋅⋅⋅ + 2001 2001 mer upakan bilangan kelipat an 13.
2 6. J ika diket ahui nilai 2 14 y − 20 y + 48 + 14 y − 20 y − 15 = 9 maka ber apakah nilai dar i
2 14 2 y − 20 y + 48 − 14 y − 20 y − 15 ?
7. Ber apakah penj umlahan semua bilangan pr ima yang memenuhi 1 lebihnya dar i bilangan kelipat an 4 dan 1 kur angnya dar i suat u bilangan kelipat an 5.
8. Misalkan N adalah bilangan bulat t er kecil yang ber sif at : ber sisa 2 j ika dibagi 5, ber sisa 3 j ika dibagi oleh 7, dan ber sisa 4 j ika dibagi 9. Tent ukan N.
9. Bilangan 13! J ika dit uliskan akan menj adi A22B020C00. Tent ukan nilai A, B dan C.
10. Unt uk n bilangan cacah bukt ikan bahwa n 5 − n habis dibagi 30.
11. Selesaikan sist em per samaan ber ikut : xy
yz
= 1 x +y 2 y +z 3 x +z 7
xz
KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLI MPI ADE MATEMATI KA BI DANG KOMBI NATORI K
Sumber :
1. Mu Alpha Theta National Convention 2003 : Probability/Permutations/Combinations
2. Mu Alpha Theta National Convention 2003 : Alpha Probability
1. Dar i 15 anggot a sebuah or ganisasi akan diambil 2 or ang yang akan mewakili or ganisasi t er sebut ke suat u per t emuan. Ber apa banyak susunan ber beda dar i per wakilan or ganisasi
A. 15!
B. 15 P 2 C. 15 C 2 D. (15)(2)
E. Tidak ada
2. Sebuah per usahaan di bidang memper ker j akan 25 insinyur dan 10 or ang agen penj ualan. Sebuah komit e yang t er dir i dar i 3 insinyur dan dan 2 agen penj ualan dibent uk unt uk membahas pr oduk bar u. Ber apa banyak susunan komit e yang dapat dibent uk ?
E. Tidak ada
3. Pada sebuah negar a plat kendar aan t er dir i dar i 2 angka diikut i 3 abj ad. Anggap bahwa angka 0 boleh dit ar uh di muka. Ber apakah maksimum j umlah plat yang dapat dibuat di negar a t er sebut ?
E. Tidak ada
4. Tent ukan nilai n P 3 j ika diket ahui n C 3 = 12n.
E. Tidak ada
5. Dua bilangan bulat posit if dipilih secar a acak. Ber apakah peluang bahwa per kalian kedua bilangan t er sebut menghasilkan bilangan genap ?
A. B. C. D. 1
E. Tidak ada
6. Ada ber apa banyak j alan j ika hur uf -hur uf pada MUALPHATHETA disusun ? A. 479001600
E. Tidak ada
7. Tent ukan banyaknya diagonal pada segi 10. A. 10
E. Tidak ada
8. Tiga buah dadu dilempar . Tent ukan peluang munculnya j umlah mat a dadu t idak lebih dar i 16.
A. B. C. D. E. Tidak ada
9. Ada ber apa banyak bilangan ganj il yang dapat dibent uk dengan menggunakan angka-angka 2, 3, 5 dan 7 j ika angka-angka t er sebut t idak boleh diulang ?
E. Tidak ada
10. Himpunan S adalah {# , !, @, * , $ , %}. Ber apa banyak himpunan bagian dar i S yang t idak kosong ? A. 6
E. Tidak ada
⎜ x 2⎟ 2
11. Tent ukan konst ant a dar i penj abar an bent uk
E. Tidak ada
12. J ika f akt or posit if dar i 2010 diambil secar a acak, ber apakah peluang yang t er ambil adalah bilangan bulat ?
A. B. C. D. E. Tidak ada
13. Dar i 10 ekor anj ing pada sebuah t empat t er dapat 5 anj ing bet ina dan 3 anj ing ber war na hit am. Diket ahui bahwa seper lima anj ing adalah j ant an hit am. J ika seekor anj ing dipilih secar a acak ber apakah peluang t er ambilnya anj ing bet ina yang t idak ber war na hit am ?
E. Tidak ada
14. J ika a C 5 = a C 7 dan b = a P 2 , t ent ukan nilai a + b.
E. Tidak ada
15. Pada sebuah kot a, nomor t elepon t er dir i dar i 7 angka. Angka 0 diper bolehkan dit ar uh di muka. Ber apakah peluang bahwa ket uj uh angkanya ber ur ut an (bisa naik at au t ut un) ? Cont oh nomor t elepon t er sebut adalah 1234567 ; 8765432.
A. 7 B. 7 C. 7 D. 7 E. Tidak ada
16. J ika x dan y adalah dua buah bilangan posit if lebih dar i 0 t api kur ang dar i 4, ber apakah peluang bahwa j umlah x dan y kur ang dar i 2 ?
A. B. C. D. E. Tidak ada
17. Sebuah kar t u diambil dar i t umpukan kar t u br idge. Ber apakah peluang yang t er ambilnya adalah kar t u 3 at au king ?
A. B. C. D. E. Tidak ada
18. Nama-nama 18 buah poligon ber at ur an dit ulis pada sebuah kar t u. Sat u poligon sat u kar t u. Nama-nama poligon t er sebut adalah segit iga sama sisi, per segi, segi-5 ber at ur an, segi-6 ber at ur an sampai dengan kaar t u yang ke-18 yait u segi-20 ber at ur an. J ika sebuah kar t u diambil dar i t umpukan ini, ber apakah peluang yang t er ambil adalah kar t u yang ber t uliskan nama poligon yang sudut dalamnya bukan bilangan bulat dengan sudut dinyat akan dalam der aj at ?
A. B. C. D. 1
E. Tidak ada
19. Per mainan ROOK menggunakan 45 kar t u. Kar t u t er sebut t er dir i dar i 1 Rook, dan 4 j enis kar t u ber beda war na yang masing-masing t er dir i dar i 11 kar t u. War na-war na kar t u t er sebut adalah mer ah, kuning, hij au dan hit am. Per mainan ini dimainkan oleh 4 pemain. Masing-masing pemain mengambil 10 buah kar t u secar a acak sehingga t inggal 5 buah kar t u yang t idak digunakan sampai per mainan ber akhir . J ika kar t u Rook dianggap dapat menj adi kar t u ber war na apa saj a, ada ber apa car akah seor ang pemain mendapat kan ke-10 kar t unya ber war na sama ?
E. Tidak ada
20. Disediakan 6 bilangan posit if dan 8 bilangan negat if . Empat buah bilangan diambil secar a acak. Ber apakah peluang per kalian keempat bilangan t er sebut adalah bilangan posit if ?
A. B. C. D. E. Tidak ada
21. Keadaan mur id kemungkinannya adalah sehat at au sakit , Misalkan mur id sekar ang sehat maka peluang dia t et ap sehat besok adalah 95%. J ika mur id har i ini sakit maka peluang dia t et ap sakit besok adalah 55%. Diket ahui bahwa 20% mur id har i ini sakit , maka pr osent ase mur id diper kir akan sakit besok adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
E. Tidak ada
22. Bilangan bulat dar i 1 sampai 10.000 dalam basis 10 dit ulis masing-masing 1 bilangan pada 1 kar t u. Sat u buah kar t u kemudian diambil secar a acak. Ber apakah peluang yang t er ambil adalah kar t u ber t uliskan bilangan yang sekur ang-kur angnya t er dir i dar i 3 angka j ika dit uliskan dalam basis 6 ?
A. B. C. D. E. Tidak ada
23. Enam hur uf dar i kat a BOGGLES dipilih kemudian disusun. Ada ber apa car akah menyusun hur uf -hur uf ini ?
E. Tidak ada
24. L adalah sat u set koor dinat (x,y) yang memenuhi x,y ∈ bilangan bulat dan x 2 +y 2 = 625. Empat buah t it ik kemudian dipilih secar a acak dar i L dan mer upakan t it ik sudut dar i sebuah segi empat . Tent ukan peluang bahwa keempat t it ik t er sebut akan membent uk sebuah j aj ar an genj ang.
A. B. C. D. E. Tidak ada
25. Tent ukan banyaknya susunan hur uf dar i kat a PRI VACY j ika disyar at kan hur uf vokal har us saling ber dekat an.
E. Tidak ada
26. Kode kar t u siswa pada sebuah sekolah menggunakan kode 9 digit yang masing-masing ber ada pada r ange 0 sampai dengan 9 dan digit -digit kar t u t er sebut t idak ada yang sama. Digit 0 diper bolehkan dit ar uh dimuka. J ika 1 kar t u siswa diambil secar a acak, ber apakah peluang yang t er ambil, ke-9 digit nya selalu naik dan ber ur ut an ?
A. 9 B. C. D. E. Tidak ada
10 C 9
27. 500 anak pada sebuah sekolah memiliki masing-masing 1 loker yang diber i t anda nomor 1 sampai 500. Pada saat kegiat an di sekolah dimulai, kondisi loker dalam keadaan t er t ut up. Anak yang memiliki loker dengan nomor 1 membuka semua loker . Set elah it u t er j adi, anak yang memiliki loker dengan nomor 2 kemudian menut up loker dengan nomor yang mer upakan kelipat an 2. Peker j aan dilanj ut kan oleh anak dengan nomor loker 3. I a membalikkan kondisi loker dengan nomor kelipat an 3. Ar t inya ia membuka loker dengan nomor kelipat an 3 apabila sebelumnya dalam kondisi t er t ut up dan ia menut up loker dengan nomor kelipat an 3 yang kondisi sebelumnya t er buka. Peker j aan membalikkan kondisi loker j uga dilakukan oleh anak dengan nomor loker 4 sampai dengan 500 ber t ur ut -t ur ut . Set elah anak dengan nomor loker 500 melakukan t ugasnya, ber apa banyak loker dalam keadaan t er buka ?
E. Tidak ada
28. Sebuah sekolah swast a t er dir i dar i SLTP dan SLTA dengan j umlah t ot al siswa sebanyak 1200 siswa dengan 640 di ant ar anya adalah siswa wanit a. J umlah siswa SLTP sebanyak 360 siswa dengan 200 di ant ar anya adalah siswa wanit a. Ber apakah peluang t er pilihnya seor ang siswa di sekolah t er sebut adalah siswa SLTP at au ber j enis kelamin wanit a ?
A. B. C. D. E. Tidak ada
10 15 2 3