4.1.3 Diagram Skematik Penyebaran Populasi Influenza
Gambar diagram skematik penyebaran populasi influenza diberikan dalam gambar 4.1 di bawah ini.
Gambar 4.1 Diagram skematik penyebaran penyakit influenza
4.1.4 Model Matematika
Model matematika yang dibentuk merupakan suatu sistem persamaan diferensial diberikan di bawah ini
.
4.2 Analisa Model Matematika
Jelas,
dt dR
dt dI
dt dS
dt dN
+ +
=
S I
R A
. Jadi sistem 4.2 dapat dituliskan sebagai berikut :
. ,
Jadi domain dapat dibatasi pada daerah : , ,
denga merupakan himpunan bagian
dari dengan syarat
, dan
.
4.3 Penentuan Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium dengan membuat , ,
pada sistem . menjadi nol. Diperoleh system persamaan berikut ini:
. .
.
4.8 Dari persamaan 4.4 diperoleh
. Dari persamaan 4.6 diperoleh
. Jelas
, jadi .
Jelas,
Dari persamaan 4.8 dan persamaan 4.9 kita peroleh dan
. Kedua nilai tersebut kita substitusikan ke persamaan diperoleh :
4.7
4.9
Dari sistem persamaan 4.10 saat =
I diperoleh titik kesetimbangan bukan
endemik yaitu:
Dengan demikian diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu , ,
, , .
Untuk menentukan titik kesetimbangan endemik, diasumsikan . Misalkan
, , merupakan titik kesetimbangan endemik, sehingga sistem 4.10
menjadi:
Jelas i
saat p µ µ
c p µ
. Dengan kata lain
i saat
µ µ
µ
. Hal ini berakibat
r saat i
. Dari analisa tersebut diperoleh nila
R
µ µ
µ
. Persamaan diatas menghasilkan solusi yaitu
. Untuk kasus diperoleh :
– .
. .
. .
Dari perhitungan diatas diperoleh titik ekuilibrium endemik yaitu , ,
dengan
.
Dari analisa di atas diperoleh teorema 1 terkait eksistensi titik ekuilibrium system 4.3 berikut.
Teorema 4.1
Diberikan R
µ µ
µ
. Berdasarkan nilai
R tersebut, 1. Jika
R maka Sistem 4.3 hanya mempunyai satu titik ekuilibrium yaitu
titik ekuilibrium bebas penyakit , ,
, , .
2. Jika R
maka Sistem 4.3 mempunyai dua titik ekuilibrium yaitu
titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium tak bebas penyakit
, , dengan
.
Tahapan selanjutnya adalah analisa kestabilan titik ekuilbirum Sistem 43. Dalam analisa tersebut, digunakan matriks jacobian dari Sistem 4.3. Adapun
matriks jacobian dari Sistem 4.3 diberikan sebagai berikut.
I
dengan , , .
4.4 Analisis Kestabilan di Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Matriks jacobian untuk titik adalah sebagai berikut :
Mencari nilai eigen dari matriks tersebut adalah: λI J
λ λ
λ
λ µ λ
λ
λ µ λ λ
. Nilai eigen dari matriks tersebut adalah:
λ ,
λ ,
λ .
Berdasarkan nilai-nilai eigen tersebut terlihat bahwa bagian real dari nilai eigen
λ dan λ adalah negatif. Selanjutnya, bagian real dari nilai eigen λ dianalisis.
Untuk menunjukkan nilai λ
. Ditunjukkan
λ .
Dipunyai R
. Jelas
λ .
4.5 Analisis Kestabilan di Titik Ekuilibrium Endemik
Kategori