setahun, fluktuasi nilai rupiah terhadap dolar dalam seminggu, munculnya hujan pada sabtu sore. Kejadian-kejadian tersebut bisa dimodelkan secara deterministik, misalnya
banyaknya kecelakaan sebagai fungsi dari sudut lengkung dan tikungan, jumlah kelahiran dan kematian sebagai fungsi dari jumlah penduduk, fluktuasi nilai rupiah sebagai fungsi
dari inflasi, hujan sebagai fungsi dari kelembaban. Namun dengan pemodelan secara deterministik murni akan membutuhkan banyak variabel untuk mendapatkan gambaran
yang nyata dari kejadian sesungguhnya dan banyaknya variabel ini bisa mencapai tak hingga jika memperhitungkan bahwa setiap kemunculan dari kejadian-kejadian diatas
bersifat unik, dan sayangnya variabel keberuntungan lebih bersifat stokastik dari pada deterministik.
Ni dan Li 2006, membicarakan tentang model ketidakpastian air tanah yang
berkaitan dengan kecepatan pada porous media komposit tidak stasioner. Almasri 2007, mengajukan kerangka dasar pengelolaan konseptual terhadap kontamina nitrat dan air
tanah. Papadopoulou et al. 2007, menyelesaikan problem pengelolaan air tanah dengan
model optimisasi waktu yang flkesibel. Mende et al. 2007, memberikan strategi
pengelolaan air tanah untuk negara-negara sedang berkembang . Selanjutnya Saad et al. 2011 membicarakan aliran air tanah dalam sistem homogen dengan pendekatan kabur
fuzzy, tentang ketidakpastian air tanah.
2.4. Program Stokastik
Program stokastik merupakan program yang ditandai dengan suatu keputusan dan sasaran fungsi. Bagian dari sisa data tak tersedia kecuali dalam suatu pengertian
tertentu yang probabilistik. Pembuat keputusan harus memilih suatu alternatif, terbaik
Universitas Sumatera Utara
yang mana membuat hasil mendasari objektif. Program stokastik memulai awalnya di pertengahan tahun 50an, itu yang pertama diperkenalkan oleh Beale 1995, Dantzig
1995, Tinter 1955, Cooper dan Charnes 1959 karena penggunaan dengan perumusan linier dari permasalahan optimisasi stokastik yang muncul banyak lebih awal di literatur
dari statistik matematik yang mencakup di dalam teori dari analisa percontohan dan teori keputusan statistik. Semua statistik seperti penilaian, ramalan, penyaringan, analisis
regresi, dan pengujian hipotesis statistik berisi unsur-unsur dari optimisasi stokastik. Meskipun demikian, ada perbedaan antara perumusan yang khas dari permasalahan
optimisasi yang datang dari statistik dan mereka yang dari pengambilan keputusan di bawah kondisi-kondisi ketidakpastian.
Huang dan Loucks, 2000 mengembangkan model pemrograman stokastik dua
tahap tidak pasti ISTP untuk pengambilan keputusan sumber air dalam ketidakpastian; model ITSP ini dapat dikaitkan dengan ketidakpastian melalui penyederhanaan sistem
dunia real ke dalam beberapa skenario yang memuat parameter interval untuk informasi probabilistik yang didasarkan atas fungsi kerapatan probabilistik, oleh karena itu, tujuan
dari penelitian ini adalah mengajukan metode rogram liner stokastik multi tahap untuk mendukung pengambilan keputusan sumber air dalam ketidakpastian. Das Amlan dan
Datta 2001, memberikan suatu survei tentang aplikasi teknik optimisasi terhadap
ketidakpastian dalam pengelolaan kuantitas dan kualitas air tanah. Penggunaan model pemrograman stokastik termotivasi oleh permasalahan yang
timbul pada situasi ketika keputusan harus dibuat atas dasar ada atau berdasar prasangka informasi tanpa membuat tambahan observasi. Juga, program stokastik boleh melibatkan
sejumlah besar variabel keputusan dan parameter yang acak. Metode statistik yang asli
Universitas Sumatera Utara
adalah umum di mana pengamatan situasi yang tambahan dapat dibuat sepanjang proses pengambilan keputusan. Apalagi metoda ini menekankan solusi, atau prosedur yang
adalah bisa diterapkan ketika hanya sedikit variabel keputusan eksis. Suatu ruang kemungkinan
Ρ Α
Ω , ,
, adalah hasil suatu uraian tentang lingkungan yang mungkin,
Ω , dan semua peristiwa yang mungkin, A, dengan kemungkinan yang
dihubungkan mengukur P, dapat ditulis dalam format umum sebagai berikut : Tentukan
R x
⊂ Χ
∈ 2.1
Tujuan
[ ]
w x
g x
G ,
Ε =
2.2 dengan kendala
, ,...
1 ,
, m
i w
x g
x G
i i
= ≤
= 2.3
w x
g ,
Adalah sasaran dari fungsi, R
x R
w x
g
i
→ Ω
, adalah
i batasan,
x m
i ;
,... 1
= adalah variabel vektor keputusan;
w adalah masukan vektor parameter stokastik, dan
[ ]
• Ε
adalah nilai yang diharapkan dari operator. Suatu batasan dapat juga ditulis dalam bentuk nilai harapan. Jika suatu format
tingkat keandalan tertentu diinginkan maka format batasan kesempatan dapat ditulis seperti berikut:
Kemungkinan
{ }
α ≥
= ≤
m i
w x
G
i
,... 1
, ,
2.4 Dimana
α adalah tingkat keandalan yang cakupannya dari 0 ke 1
Suatu batasan dapat juga dituliskan dalam bentuk nilai harapan :
[ ]
m i
w x
g
i
,... 1
, ,
= ≤
Ε 2.5
Definisi lain mungkin yang probabilistik tentang kelayakan melibatkan rata-rata dan perbedaan dari variabel yang acak,
w x
g
i
, :
Universitas Sumatera Utara
{ }
, var
,
2 1
≤ +
Ε w
x g
w x
g
i i
β 2.6
β = adalah bentuk positif yang digunakan untuk menimbang terminologi keduanya ;
Var = adalah operator perbedaan.
Beberapa kelas dari metoda solusi dapat diberlakukan bagi masalah ini yang mencakup analitis program tak linier dan metoda pendekatan. Pilihan dari metoda yang
digunakan dalam memecahkan masalah programming stokastik adalah bergantung atas sifat alami masalah, ketersediaan dari informasi tentang batasan, model, kompleksitas,
dan juga, ketelitian dan format dari hasil menginginkan. Teknik analitis meliputi distribusi yang diperoleh dan teknik perubahan bentuk
integral. Metoda distribusi yang diperoleh adalah juga dikenal sebagai perubahan bentuk dari teknik variabel. Mengira bahwa suatu variabel
W
yang acak , dihubungkan dengan variabel yang lain yang acak
x
sebagai x
g W
= , sedemikian sehingga rapat serta
berfungsi PDF dari
x
dikenal. Fungsi distribusi yang kumulatif CDF dari W dapat diperoleh dari :
[ ]
w g
F w
W P
w H
x w
1 −
= ≤
= 2.7
Kemungkinan fungsi densiti PDF dari
W
yang diperoleh dengan derivatif dari w
H
w
dengan W
. Teknik perubahan bentuk yang integral seperti Fourier, Laplace, dan Exponensial
mengubah bentuk kegunaan definisi dari penjelmaan integral untuk menghasilkan momen atau karakteristik generati fungsi. Bagaimanapun, evaluasi yang tepat dari
fungsi karakteristik di model adalah sering tidak mungkin sebab hubungan fungsional yang sederhana untuk non linear program NLP dari hubungan variabel yang
Universitas Sumatera Utara
acak seringkali adalah bukan yang differensial dan hasilnya diharapkan nilai yang integral tidak mungkin memperoleh analitis.
Pada prinsipnya, program NLP teknik yang dikembangkan untuk memecahkan pemrograman yang deterministik bisa digunakan untuk memecahkan stokastik
memprogram, ketika fungsi yang eksplisit adalah ukuran kemungkinan dan stokastik P dikenal. Secara luas menggunakan pendekatan NLP adalah stokastik algoritma gradien
yang diperkenalkan oleh Nurminsky dan Ermoliev 1973. Metoda ini dengan benar karena, sebagai ganti nilai-nilai yang tepat dari berfungsi dan perkiraan derivatif, statistik
dari nilai-nilai ini dapat digunakan. Di dalam kasus umum, metoda NLP kekurangan fleksibilitas dan memerlukan pekerjaan teliti dari algoritma di masalah yang spesifik.
Hal tersebut di atas tinjauan ulang menunjukkan bahwa metoda analisis atau metoda non linier program NLP umum bukanlah suatu pendekatan yang umum untuk
memecahkan stokastik yang memprogram masalah, dalam kaitan dengan pembatasan yang tidak bisa dipisahkannya.
2.4.1.
Pemrograman Stokastik dengan Kendala Peluang
Pendekatan program stokastik kendala peluang adalah pendekatan utama lainnya dalam menangani parameter ketidakpastian. Dalam model ini keputusan tidak
perlu terlalu layak untuk setiap hasil dari parameter ketidakpastian, tetapi kelayakan pada beberapa peluang sangat diperlukan. Secara umum, metode pemrograman kendala
peluang ini menawarkan kerangka kerja efisien untuk model ketidakpastian dalam sejumlah aplikasi seperti manajemen sumber daya air, produksi energi, manufakturing
sirkuit, teknik kimia, telekomunikasi dan keuangan Henrion 2004.
Universitas Sumatera Utara
Dalam model air tanah, metode ini dapat digunakan untuk memodelkan ketidakpastian dengan mutu air. Sebagaimana telah diketahui, dalam model sumber dua
tahap, ketidakpastian dimodelkan dengan memperkenalkan biaya pasti yang berkaitan dengan variabel tahap kedua guna merespon adanya kesalahan yang disebabkan oleh sifat
ketidakpastian. Suvrajeet 1999 telah menyimpulkan bahwa biaya akhir ini dibutuhkan oleh filosof pendekatan pemodelan yang berbasis peninjauan. Dalam beberapa aplikasi,
sepertihalnya model produksi dan persediaan, peluang biaya denda itu sangatlah dimungkinkan. Bagaimanapun, dalam beberapa aplikasi, seperti keterbatasan pengamatan
kadar reservoir air, mutu air, dan lain-lain adalah dimodelkan, dasar ini tidak teraplikasi atau biaya denda tidak dimodelkan secara praktis. Dalam beberapa situasi, kesempatan
terbatas dapat digunakan untuk menjamin kelayakan keputusan pada tingkat kepastian yang diinginkan.
Dalam model penggunaan air, untuk memodelkan ketidakpastian mutu air akan lebih sesuai untuk memastikan probabiltias mutu tertentu kesesuaian, sehingga
penggunaan air. Bagian berikut mengilustrasikan model kendala peluang yang didasarkan pada Gottfired dan Weisman 1973.
Dalam problem optimisasi secara umum dengan fungsi tujuan y dan pembatas
ketidaksamaan g
i
x ≤b
i
, dapat diasumsikan, bahwa beberapa keofisien teknologi, terhadap variable keputusan atau pembatas termasuk korelasi acak. Dengan
ketidakpastian dalam hal pembatas, maka tidak praktis untuk menekankan bahwa bila melebihi g
i
X setiap saat. Dengan menggunakan pemrograman pada kesempatan terbatas, beberapa pembatas dapat dibatasi pada tingkat probabilitas yang rendah dari
Universitas Sumatera Utara
kesalahan sebagai berikut, dinyatakan Ki adalah tingkat peluang yang diinginkan dari kesesuaian, sehingga pembatas dapat dituliskan sebagai berikut :
P{g
i
X ≤b
i
} ≥ K
i
2-8 Dengan demikian problem optimisasi adalah mengoptimumkan memaksimumkan atau
meminimumkan nilai yang diharapkan dari fungsi tujuan Z, yaitu E Z dengan pembatas yang memiliki bentuk seperti tersebut di atas:
Optimimkan : EZ 2-9
dengan kendala : P{g
i
X ≤b
i
} ≥ K
i
i = 1,2,...m 2-10
Model pemrograman kendala peluang ini diperkenalkan oleh Charnes,et al 1958. Charnes et.al juga telah mengembangkan prosedur untuk mengevaluasi probabilitas guna
menghemat waktu dalam perhitungan. Metode ini menggunakan rata-rata dan standar deviasi dari g
i
X untuk menyesuaikan g
i
X, sehingga g
i
X = µ
g i
x + t
i
σ
g i x
2-11
Dimana t
i
adalah deviasi standar dari rata-rata yang sering disebut variasi normal standar. Karena,
µ
g i x
= E g
i
X 2-12
dan pembatas dapat dimodelkan sebagai : P{Eg
i
X|t
i
σ
g i
x ≤ K
i
, i = 1,2,...,m 2-113
Didasarkan pada persamaan 13, ketika mengungkapkan fungsi distribusi probabilitas F dalam t
i
, yaitu : K
i
= Ft
i
2-14 Maka, jelas bahwa dengan diketahui Eg
i
X dan σ
g i x
, dapat diperoleh t
i
setelah K
i
ditentukan. Dengan kata lain, menspesifikasikan t
i
adalah ekuivalen dengan spesifikasi
Universitas Sumatera Utara
tingkat K
i
probabilitas yang menggunakan K
i
= Ft
i
. Sebagimana hasilnya, ekuivalensi deterministik pada persamaan 10 adalah ;
Eg
i
X+t
i
σ
g i x
≤b
i
2-15 Sehingga problem optimisasi ekuivalen yang deterministik menjadi
Optimumkan : EZ 2-16
Dengan kendala : Eg
i
X+t
i
σ
gi x
≤bi, i = 1,2,..., m 2-17
Pada penerapan dalam model air tanah masalah ketidakpastian dengan mutu air dimodelkan dengan metode pemrograman stokastik dengan kendala terbatas.
Dalam kasus dimana keofisien fungsi tujuan z tidakpasti, maka ketidakpastian dapat dimodelkan dengan menggunakan metode mean variasi yang dikembangkan oleh
Markowitz 1992. Fungsi tujuan dapat dirumuskan sebagai : Optimumkan : Ez ± θ Var Z
2-18 Dim
ana VarZ adalah variansi fungsi tujuan Z dan θ adalah parameter resiko; + positip dan untuk minimisasi dan – negatip untuk maksimisasi. Parameter menghindar
resiko adalah ukuran sikap pengambil keputusan terhadap resiko. Parameter menghindar resiko menunjukkan keinginan membayar uang atau tidak menerima perolehan tinggi
untuk mengurangi resiko atau menghindari ketidakpastian dalam investasi atau perencanaan Bakeer, 2001. Dengan penerapan pada kajian model air tanah, secara
matematika, ketidakpastian dengan harga air atau biaya penanganan air dapat dimodelkan dengan metode ini karena parameter ini adalah koeifisien dari total fungsi biaya, yaitu
fungsi tujuan. Oleh karena itu, kecenderungan umum diarahkan pada pengambilan resiko melalui pemodelan dengan parameter menghindar resiko yang berbeda dan direfleksikan
oleh total biaya yang diperoleh.
Universitas Sumatera Utara
2.5. Model Program Stokastik
