Kendala
Langkah 3. Penyelesaian. Penyelesaian untuk masalah L
P
7
tidak ada sebab pada kasus ini tidak terdapat daerah layak.
Langkah 4. Pada kondisi seperti ini pencabangan dihentikan sebab tidak terdapat solusi sama sekali.
Semua pencabangan sudah dihentikan sehingga tinggal dipilih solusi optimal dari kandidat solusi yang ada dan didapat
dengan nilai z = 23.
Berikut adalah gambar bagan pencabangan yang dilakukan LP1
, z=23.75
LP2 , z=23
LP3 , z=23.33
LP7 tidak ada solusi yang layak
LP6 , z=20
LP5 tidak ada solusi yang layak
LP4 , z=22.55
Gambar 2.1 Alur Percabangan Contoh 2.1
C. Program Linear Biner
Pada Program Linear biner setiap variabel keputusan hanya dapat mengambil nilai 0 atau 1. Pada dunia nyata masalah Program Linear biner seperti
pilihan ya atau tidak, 0 untuk pilihan tidak dan 1 untuk pilihan ya. Program Linear biner ini dapat diselesaikan dengan metode pencabangan dan pembatasan.
Pada masalah Program Linear biner metode pencabangan dan pembatasan bekerja seperti menyelesaikan Program Linear bulat. Berikut adalah langkah
menyelesaikan Program Linear biner: 1.
Langkah pertama adalah melihat variabel keputusan pada fungsi tujuan. Jika masalah minimum maka variabel keputusan yang memiliki nilai kecil
dilakukan pencabangan. Jika masalah maksimum maka variabel keputusan yang memiliki nilai besar dilakukan pencabangan.
2. Pencabangan ini akan menghasilkan dua sub masalah baru.
3. Menyelesaikan setiap Program Linear. Jika solusi belum berada di daerah
layak maka lakukan pencabangan lagi.
Contoh 2.2
Maksimum �
Kendala
Langkah pertama, mencari variabel keputusan yang memiliki koefisien paling besar pada fungsi tujuan. Terlihat bahwa
memiliki nilai terbesar yaitu 6. Ambil nilai
sebagai LP1 dengan nilai ,
dan solusi ini berada di daerah yang tidak layak sehingga dilakukan pencabangan kembali.
Langkah selanjutnya melihat kembali nilai terbesar kedua dari koefisien variabel keputusan pada fungsi tujuan. Terlihat bahwa
memiliki nilai 5, sehingga pada LP1 dilakukan pencabangan dengan menambah kendala
dan . Pada LP2 yaitu pencabangan dengan menambah kendala
diperoleh kandidat solusi optimal yaitu ,
dengan nilai � dan berada pada daerah layak. Pada LP3 yaitu pencabangan dengan
menambah kendala tetap dihasilkan solusi yang sama sehingga
pencabangan dihentikan. Semua pencabangan telah dihentikan sehingga dapat dilihat solusi yang
paling optimal dari kandidat solusi yang ada dan diperoleh solusi optimal adalah , � .
Berikut adalah bagan pencabangan yang dilakukan
D. Program Linear Campuran Mixed Integer Linear Programing
MILP adalah Program Linear dengan beberapa variabel keputusannya haruslah bilangan bulat. Pada dunia nyata masalah MILP adalah masalah yang
paling sering. Masalah MILP dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pencabangan dan pembatasan. Metode pencabangan dan pembatasan merupakan
metode yang efisien secara komputasi. Selanjutnya akan dilihat algoritma pencabangan dan pembatasan untuk
menyelesaikan MILP LP1
, Tidak ada solusi layak
LP2 , �
LP3 ,
Tidak ada solusi layak
Gambar 2.2 Alur Percabangan Contoh 2.2
1. Inisialisasi
Mengatur batas atas dan batas bawah dari solusi optimal dan selanjutnya memilih penyelesaian MILP pada daerah layak.
2. Cabang
Brancing
Menyelesaikan setiap Program Linear dengan batas baru tetapi fungsi tujuan sama. Misalkan variabel
berada pada interval [a,b] dan merupakan batas
yang harus bilangan bulat maka batas baru yang bisa dibentuk adalah .
3. Penyelesaian
Menyelesaikan masalah selanjutnya pada cabang yang lain. 4.
Pembaharuan Batas Jika nilai z yang kita peroleh pada cabang yang baru lebih optimal daripada
sebelumnya maka cabang ini menjadi kandidat sebagai solusi optimal. 5.
Pemotongan Jika penyelesaian yang diperoleh berada di daerah layak bukan berarti pen-
cabangan berhenti, mungkin bisa ada pencabangan lebih lanjut. Jika pada per- soalan tidak terdapat penyelesaian pada daerah layakanya maka pencabangan
dihentikan atau dipotong. 6.
Optimal Jika terdapat pencabangan yang belum terselesaikan kita lanjutkan pada
langkah ke-3. Jika semua pencabangan telah dihentikan maka dari kandidat penyelesaian yang telah diperoleh dipilih kandidat penyelesaian yang paling
optimal. Metode pencabangan dan pembatasan akan menghasilkan solusi optimal
jika: 1.
Sub masalah berada di daerah yang tidak layak. 2.
Penyelesaian sudah berada pada batas-batanya memenuhi daerah layak dan memenuhi kondisi bilangan bulat untuk variabel keputusan yang ditetapkan.
3. Batas bawah yang diperoleh lebih besar dari batas atas.
Berikut adalah contoh metode pencabangan dan pembatasan untuk menyelesaikan masalah MILP
Contoh 2.3
Minimum
Kendala
Contoh 2.3 adalah contoh masalah MILP sebab variabel keputusan pada dan
haruslah bernilai bulat dan variabel keputusan dan
tidak harus bernilai bulat. Langkah 1. Inisialisasi. Dipilih batas atas
dan batas bawah . Pada kondi- si ini disebut sebagai masalah P
Minimum
Kendala
Dengan penyelesaian , akan tetapi disini
Langkah 2. Pencabangan. Pada kondisi ini variabel keputusan haruslah bulat
maka pencabangan dilakukan. Pada kondisi ini kendalanya bertambah atau
Sub LP
1
, masalah P
1
. Minimum
Kendala PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Langkah 3. Penyelesaian. Penyelesaian untuk masalah
P
1
adalah
Langkah 4. Pembaharuan Batas. Pada kondisi ini sudah memenuhi kendala awal yaitu
, . Nilai dari fungsi tujuan adalah 1.5 lebih kecil dari pada batas atas
yang dimiliki sehingga nilai batas atas diubah dari ∞ ke 1.5, dan nilai ini disimpan sebagai kandidat optimal.
Langkah 5. Pemotongan Tidak ada pencabangan lebih jauh dari cabang ini se- hingga kita potong, sebab
, sehingga dilanjutkan ke langkah 3.
Sub LP
2
, masalah P
2
. Minimum
Kendala
Langkah 3. Penyelesaian. Penyelesaian untuk masalah
P
2
adalah
Langkah 4. Pembaharuan Batas. Pada kondisi ini nilai dari bukan bilangan
bulat. Fungsi tujuannya bernilai 0.5 berada diantara batas bawah 0 dan batas atas 1.5 maka batas bawah di perbaruhi dari 0 menjadi 0.5 sehingga solusi optimal
yang akan didapat harus berada pada interval 0.5 sampai 1.5. Selanjutnya pen- cabangan akan dilakukan pada variabel
menjadi dua masalah sebagai berikut:
Sub LP
3
, masalah
P
3
. Minimum
Kendala PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Langkah 3. Penyelesaian. Pada masalah
P
3
tidak terdapat daerah layak. Langkah 4. Pembaharuan Batas. Tidak ada yang dilakukan pada langkah ini se-
hingga dilanjutkan pada langkah selanjutnya. Langkah 5. Cutting. Pada kondisi ini tidak terdapat penyelesaian optimal se-
hingga dilanjutkan pada langkah selanjutnya.
Sub LP
4
, masalah
P
4
. Minimum
Kendala
Langkah 3. Penyelesaian.
P
4
memiliki daerah layak sehingga dapat dicari so- lusinya dan diperoleh
Langkah 4. Pembaharuan Batas. Tidak ada yang dilakukan pada langkah ini se- hingga dilanjutkan pada langkah selanjutnya.
Langkah 5. Pemotongan. Pada kondisi ini variabel tidak bilangan bulat dan
nilai solusi optimalnya lebih optimal pada masalah sebelumnya maka dilanjutkan langkah selanjutnya.
Langkah 6. Optimasi. Pada kondisi ini tidak terdapat pencabangan lebih lanjut sehingga solusi optimal diperoleh yaitu: