Persamaan Lokta-Volterra untuk Menduga Pertumbuhan Lactobacillus bulgaricus dan Streptococcus thermophilus dalam Biakan Murni dan Campuran pada Proses Pembuatan Yoghurt

PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA UNTUK MENDUGA PERTUMBUHAN
Lactobucill~tsbulguricus DAN Streptococcus tlzermophilus
DALAM BIAICAN MURNI DAN CAMPURAN
PADA PROSES PEMBUATAN YOGH

Dedy Lukmansyah

JURUSAN STATISTIICA
FAKULTAS MATEMATIICA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR

RINGKASAN
Dedy Lukmaosyi~h.Persclrnaan Lork(r-W~lrerrc~
Untuk Menduga Pertumhuhan L~~crohircillrr.s
hrt[q(rrierrs Dan Srrel~rococcrrsrher-rtro[~I~ilus
Dala~nBiakan Murni Dan Campbran Pada Proses Pemhuat;~n
Yoghurt (Di hawah himhingan Bunawan Sunarlim sebagai ketua, dan Itasia Dina sehagai anggokt)
Karya ilmiah ini hartqjuan untuk memhandingkan tiga huah matode yang digunakan unluk
~ i i a n d i ~ gnilai
a paranlater model pertumhuhan hakteri Lncrobrrcil1rr.s brrlgnricrrs dan B r ~ ~ l ~ r o r . o c r ~ r r . ~
rl~o.rtrol~hilrrs

d a l a ~ nhiakan ~iiurnipada proses pambuatan yoghurt. Selan.jl~tnyadengan metode Isocline dan anak panah, nilai-nilai dugaan parameter yang diperoleh digunakan untuk mengetallui
hentuk interaksi kedua hakteri dalani hiakan campuran. Adapun metode yang dihandingkan adalah
metode Aproksimasi, Pelinzaran, dan N(~11-Line~rr
SAS.
Pengujian kesesuaian metode dilakukan dengan mambandingkan nilai kuadrat tengah sis;l;tn.
.s' ketiga inatode.
Dari hasil diperoleh haliwa metoda NOII-Linenr SAS mamliki .s2yang paling kecil. Naml~n
nilainya ~nenun.iukkanperhadan ywg kwil dangan metode Pelinieran. Sadangkan metoda Aproksimasi ~ne~ililiki
nilai s
' tarhesar. Karena nilai 2 dan kesederhanaan penggunaannya, nlaka metodc. Palinearan hisa dikatakan cokup haik untuk menduga pertumhuhan hakteri Locrobncillrrs dan Sr,;~,l,roco,cnr,s d a l a ~ nhiakan murni.
Model yang didapatkan dalam hiakan ~nurnidangdn matoda Palinanran ontuk L o c r o l r ~ ~ c i l l ~ ~ . ~
bulgnrinrs :
1.7218Nt
Nt+l =

1+0.00207Nt

sedangkan untuk Srrqrococcrrs rhcrrnol1hi11r.s :

Dangan metoda 1.soclirre dan anak panah dit11n.jilkkan hahwa untuk data Najih(1987) xrah

partumhuban hakteri L(rctobocil111.sdan Srre~~rooccrr.s
menuju ke titik kesaimbangan. Dangan perkataan lain hahwa kedua haktari dapat hidup herdampingan dala~nbiakan campuran.

PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA UNTUK MENDUGA PERTUMBUHAN
Lactobacillus bul~aricusDAN Sfre~tococcusthermoohilus
DALAM BILKANMURNI DAN CAMPURAN
PADA PROSES PEMBUATAN YOGHURT

oleh
Dedy Lukmansyah
G. 26.0489

Karya Ilmiah
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul

: P W S A W A N LOTKA-VOLTERRA UNTUK NENDUGA
PWTUMBUHAN Lactobacillus bulgaricus DAN
Streptococcus thermphilus DALAM BIAKAN
HURNI DAN CAWPURAN PADA PROSES PEZBUATAN
YOGHURT

Nama Mahasiswa : DEDY LUIWANSYAH
Nomor P0k0k

: G . 26.0489

Menyetujui
1.

~ o m i s iPembimbing

Dra.

Anggota

Ketua

2. Ketua Jurusan

Tanggal Lulus :

Itasia D i n a

2 6 JllL

1994

RIWAYAT HIDUP PENULIS

Dedy Lukmansyah. Putra sunda kelahiran Bandung, tanggal 10 April tahun 1970 ini adalah anak ketiga dari lima

orang bersaudara, putra Bapak Nanang(A1marhum) dan Ibu
Maryani.
Karier pendidikan dimulai tahun 1977 di SD Negeri
Pasirkaliki 96/V
Bandung. Sembilan tahun kemudian lulus
dari Sekolah Menengah Pertama Negeri IX Bandung. Selanjutditerima di Institut Pertanian Bogor
nya tahun 1989
melalui jalur USMI, setelah tiga tahun sebelumnya menamatkan SMA di Sekolah Menengah Atas Negeri 2 Bandung. Satu
tahun berikutnya penulis memilih FMIPA jurusan Statistika dengan mata kuliah penunjang Sosek.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur dipanjatkan ke hadirat Allah swt.
atas selesainya karya ilmiah ini. Melalui perjalanan
panjang dan melelahkan. Semoga menjadi persembahan yang
bermanfaat bagi khasanah ilmu pengetahuan.
Dalam kesempatan ini pula penulis ingin menghaturkan
rasa terima kasih dan penghargaan yang tulus untuk pribadi-pribadi dan pihak-pihak yang telah dengan penuh kesabaran membantu dan menyokong baik saran, ide, materi ataupun
berupa semangat sekalipun, teruntuk :
1. Bapak Bunawan Sunarlim, MS dan Ibu Dra. Itasia Dina.

2. Bapak Ir. Aji Hamim Wigena, MSc; Bapak Khairil A.N;
dan Bapak Dr. Aunuddin.
3. Dosen-dosen jurusan Statistika-FMIPA IPB.
4. Ibu Balqis, Ibu Markonah, Bapak Tisna, Teh Sulis, Teh
Tiktik, serta tak lupa Kang Herman.
5. Bang Suddin, Ibu Dedeh, dan Yayuk.
6. Mamah, A Imam, Teh Tini, Kang Amin, Hermin, Popi,
Anggi dan 'si kecil' Dhea.
7. Bapak Encang sekeluarga di Warung-Jambu.
8. Sahabatku : Yudi Herdiawan, Danton, dan Mas Purwanto.
9. Rekan-rekan MiaS 2 Bandung.
10. Diajeng di Faperikan, I do appreciate you being round.
11. Pihak yang tidak disebut. THIS IS NOTHING WITHOUT YOU
Semoga sumbangan kebaikan dapat dibalas setimpal oleh
Allah swt. Amin.
Bogor, Agustus 1994
Wassalaam,
Penulis

DAFTAR IS1

Halaman
PENDAHULUAN

........................................

TINJAUAN PUSTAKA
Yoghurt .......................................
Karakteristik Bakteri .........................
Persamaan Lotka.Volterra
Metode Isocline dan Anak Panah ................
Hasil Penelitian Najib(1987) ..................

......................

1

1
1
1

3
3

DATA DAN METODE
DATA ..........................................
METODE
Biakan Murni
Metode ~proksimasiLotka-Volterra
Metode Pelinieran Lotka-Volterra.........
Metode Non-Linear SAS(NLin SAS) ..........
Biakan Campuran .............................

4
4
5
5

HASIL DAN PEMBAHASAN
Biakan Murni ..................................
Biakan Campuran...............................

5
7

KESIMPULAN .........................................

8

DAFTAR PUSTAKA .....................................

9

........

3

DAFTAR TABEL

Halaman

Nomor
Teks
1. Jenis dan banyaknya ulangan yang digunakan pada

percobaan pertumbuhan bakteri .....................

4

2. Nilai dugaan parameter K dan r masing-masing

bakteri dalam biakan murni ........................

6

3. Populasi data dan ramalan banyaknya Lactobacilus
.4.

bulqaricus dalam biakan murni .....................

G

Populasi data dan ramalan banyaknya Streptococcus
thermophillus dalam biakan murni ..................

6

5. perbandingan nilai s2 ketiga metode yang digunakan

untuk menduga nilai parameter model pertumbuhan
bakteri dalam biakan murni ........................

G

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Nomor
Teks

1. Arah gerak horizontal orbit model kompetisi Lotka-

Volterra ..........................................

3

2. Arah gerak vertikal orbit model kompetisi Lotka-

Volterra. .........................................

3

3. Arah gerak orbit model kompetisi bakteri dalam

biakan campuran ...................................
biakan campu
ran ...............................................

7

4. Arah gerak populasi bakteri dalam

8

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Nomor
Teks
1. Data pertumbuhan Lactobacillus bulgaricus dan

Streptococcus thermophillus dengan tiga ulangan
dalam biakan murni dan campuran ...................

9

2. Program SAS untuk menduga nilai-nilai parameter

persamaan Lotka-Volterra dalam biakan murni untuk
masing-masing bakteri .............................

10

PENDAHULUAN
Yoghurt merupakan hasil olahan air
s u s u y a n g memiliki cita rasa khas sebagai
fermentasi susu dengan menggunakan biakan
Lncrobncillus bulgariciis dan Srreprococcus
r h e r ~ r r ~ ~ p h i lPembentukan
us.
cita rasa yoghurt
sangat erat huhungannya dengan ukuran populasi
bakteri dalam susu.
Najib(1987) telah melakukan segiigus
percohaan untuk memperoleh model partumbuhan Lncrobacillus brilgnriccus dan Srrcprococcus
rherrrrophil~rspada pembuatan yoghurt. Pertumbuhan ukuran populasi bakteri diamati dalam
biakan murni dan campuran pada kondisi tertentu. Hasil percobaaan merupakan parubahan
ukuran populasi dengan segugus kondisi yang
tetap. Diia spesies bakteri yang diamti termasuk
jenis pertumbuhan biologi sederhana akibat
pembelahan sel-sel hakteri.
Keterangan di atas mendorong digunakannya bentuk model ~natematikasederhana.
Karena itu kesulitan-kesulitan yang ditimbulkan
oleh 1a.j~keinatian serta stuktur umur populasi
bakteri diahaikan.
Tujuan tulisan ini adalah untuk inembandingkan tiga buah metode yang digunakan
untuk menduga parameter model pertumbuhan
Lnctobncillirs dan Srreprococcus dalam biakan
murni pada proses pembuatan yoghurt. Dengan
menggunakan metode isoclit~cdan anak panah,
nilai dugaan parameter yang dihasilkan dalam
biakan ~ n u r n idigunakan untuk mendapatkan
bentuk interaksi antara kedua hakteri dalam
biakan campuran. Adapun metode yang diban
dingkan adalah inetode Aproksimasi, Pelinearan, dan Norr-Lir~carSAS.
Kesesuaian nilai dugaan parameter
model pertumbuhan hakteri dilakukan dengan
cara membandingkan nilai kuadrat tengah sisaan, s' ketiga metode.

TIN.IAUAN PUSTAKA
Yoghurt
Yoghurt dihasilkan dari fermmtasi susu
oleh bakteri-bakteri tertentu yang mempunyai
cita rasa khas (Clifton, 1958). Jenis baktari yang
digunakan dalain pembuatan yoghurt targolong.
bakteri asam susu, yaitu Lncrobncihs dan Srrcptococcus. Dalam fermentasi kadua bakteri ini
berperan sebagai stcrter.

Tahap-tahap peinhiiatan yoghurt :
I. Pemanasan
bertu.juan untuk inemhun~ih kuman-ku~ix~n
patogen yang terdapat dalaiil susu. Suhu
pemanasan adalah 90°C dan lainanya 15-30
menit.
2. Pendinginan
bertujuan ilntuk memberikan kondisi optiinom
hagi pertumbuhan bakteri. Pendinginan dikar.jakan hingga suhu 43°C Setelah it11 ditambahkan stater sebanyak 2 % dari hanyaknya susti.
3. Pamerainan
hertujuan untuk mencapai kedsaman 0.850.95% ataupH 4.0-4.5. Pameraman dikeriakan pada suhu 27'C sela~iiakurang lahih 24
jam.
4. Penyimpanan
selasai pameraman yoghurt disiinpan pada
keadaan dingin dengan suhu kuranx Iebih
5OC.
Karakteristik Bakteri
Ksaktifan bakteri yang digunakan pads
peinbuatan y o g h u r t dipengaruhi oleh s u h u .
Menurut Salle(1983) dnLatr Najib(1987), suhu
optimum bagi Lncrobncillus herada diantara 4050°C, sedangkan Srreprococciis senang hidup
pada suhu 37-47'C.
Lnctobacill~rsdan Srrrprococcrrs
memfermentasi karbohidrat, terutama gula susii
dan menghasilkan asam susu. Gula laktosa yaiix
terdapat dalam susu merupakan substrat yang
baik bagi pertumbuhannya. Lncrobncillirs
menghasilkan 1% asam susii sebeluiii inencapai
pH 4.2; dan SIrcptococcuu menghasilkan asain
susu hingga 4 % . Kondisi yang menguntongkxn
pertumbuhan L~icrobacillusadalah bila pH telah
mmurun satnpai kira-kira 4.5.
Srreprucoccus di dalain susu herperan
sebagai bakteri pengasam sedangkan Lnnobacillus berperan sebagai penyebab tilnbulnya arom;l
tertentu. Sehingga dengan adanya kedua bakteri
tersehut d i dalam susu akan terjadi p r o s e s
pembentukan cita rasa khas yang dinamakao
yoghurt.
Persalnaan Lolka-Volferra
Modal pertuinbuhan logistik inerupakaii
model dasar pertumbuhan populasi spasizs yanf
di d a l a m n y a t a r k a n d u n g f a k t o r koiiipatisi
(Hasibuan, 1988). Bentilk umum model pertumbuhan logistik adalah

dN

-=

... r11

F(N)

Ndt

sedangkan N merupakan ukuran populasi pada
waktu r , dan F(N) adalah suatu fungsi ukuran
populasi y a n g bersifat 6F/6NO ; arR

dengan r adalah laju pertumbuhan intrinsik,
yaitu perbdaan antara laju kelahiranfh) dan laju
kematian(4 spesitx pada kondisi yang diberikan.
Ruas kanan persamaan [2]adalah suatu
fungsi kuadrat yang melniliki nilai maksiztiurn
N=r/n. Nilai maksimum yang mungkin dicapai
suatu spesies di dalam lingkungan disebut dayn
dukung, K. Sehingga nilai K = r/n.
Kalau dalam lingkungan tempat spesies
hidup, terdapat pula spesies lain yang me~niliki
interaksi negatif satu sama lain, maka model
pertumbuhan manjadi

D i ~ n a n aF, d a n F, merupakan suatu fungsi
ukuran populasi dgri spesies-I(N,) dan ukuran
populasi spesies-2(N,). Akibat adanya kompetisi
di dala~nlnaupiln aniar spasitx , maka F, dan F,
hamslah memiliki sifat

dimana :
r = laju perti~mbuhanintrinsik spesies-l
I
iri = bwarnyn penurunan laju pertumbuhao
spesies-1 akibat berta~nbahnyasatu individu
spesies-l
h, = bwarnya penurunan lqju pertumbuhan
spesies-1 akihat hertamhahnya satn individu
sptxies-2
Demikian pula spesies-2 ine~nilikipersaniaan
model pertumhuhan

dimana :
r , = laju
. pertu~nbuhanintrinsik spesies-2
i,= bzsarnya penurunan iaju pertumhuhan
spesies-2 akihat hertambahnya satu individu
spesies-2
h, = besamya penurunan laju pertitmbuhan
spesies-2 akibat bertarnbahnya satu individu
spesies- 1
Pada rnodel ini nilai r,, r,, a l , n,, h , ,
dan b, bernilai positif.
Jika persarnaan [4] dan [5]digahung.
lnaka dihasilkan persamaan differensial kompetisi dua spesies, yaiti~
dN1
- = N ( r1- a1 N -1 b1 N )1 2
dt

Jika dilakukan manipulasi ~ n a t e ~ n a t i k a
terhadap persamaan [ 6 ] , maka akan diperoleli
bentuk persamaan model ko~npatisiyang baru,
yaitu
dN1
-- r1
Nldt
dN2
--

Bentuk sedarhana h n g s i FI adalah :

N2dt

-

r2

(KT-Nl-BIN2)

-

.

Bl=bllal

K1

...[71

(K2-N2-B2N1)
K2

dan B = b
2

2

/a

2

Persamaan [7] ini yang disabut parsanlaan nmdal
(Pieloo, 1977).
ko~npetisiLotk(~-M>lrcrr(r
Metode Isocline dan Anak Pant111
T i d a k selamanya solusi persatnaan
differensial dapat dicari secara eksplisit. Salah
satu card adalah dangan ~nanggunakanmetode
i s o c l i ~ cdan anak panah. 1.soclirrc adalah lokus
semua titik(x,y) di bidang fasa yang marupakan
tampat kadudukau kamiringan orbit ymg melalui
titik-titik itu bernilai sama(tertantu). Dengan
rnemplot sqjt~mlahkamiringan orhit pada titiktitik di hidang fasa akan diparoleh bentuk orbit
yang cukup haik (Hasibuan, 1988).

arah vartikal atall a tetap. Jika kedua i i o r l i t ~ ?
diperoleh ~ n a k adapat digambarki~nanak panah
horizontal yang u.jungnya mengarah ke kiri jika
rlx/dr < 0 , dan ka sabalah kanan jika rl.r/dt > 0
(Gamhar I ) . Demikian pula dapat diga~nbarkall
anak panah vartikal yang ujungnya ~ n e n g ~ r ake
h
atasjika fly/dt>O dan mengarah kebawah ,iika
rly/fltlrer-rir
Pada spesies yang hidup d a l a ~ uhiakan
~ n u r n idiasumsikan bahwa selama inter\'al r
hingga r+ I , populasi berkelnbang biak olenurut
persamaan differensial logistik.
Dengan mengintegralkan persalnaan 121 diperoleh
K

atau dengan bentuk lain,

dan pada waktu r + l ,
K

Dengan mengintegralkan persamaan di atas
diperoleh,

Selanjutnya dengan men~anipulasi
persamaan [ 8 ] dan dengan memasukkan nilai
NA, Nzs, Ntc yang dipilih dari seluruh komhinasi
yang ada sehingga menghasilkan s' terkecil ke
dalam persarnaan

Dengan mensubstitusikan persamaan 1141 ke
dalam persamam [15], laluiika dituliskan

maka selanjutnya dengan sedikit tehnik a!jahar,
akan diperoleh persamaan berikut yang mengga~nbarkanhuhungan antara bnnyaknya hakteri
pada waktu r dengan hanyaknya hakteri pada
waktu r + I , yaitu
UNt

Nt+l

=

1+.N

dengan

...(171

t
(JL-1)

diperoleh nilai dugaan K.

a=K

... (181

Nilai parameter persamaan logistik
untuk d u a spesies diduga dengan nilai tengah
tiap-tiap ulangan dengan persamaan,

yang mempakan huhungan linear dari

makin baik dugaan model tersehut. Kuadrat
tengah sisaan adalnh.jomlah kuadrat data dikurangi ramalan dibagi dengan pengurangan antara
jumlah amatan dengan banyaknya parameter.
atau dirulnuskan sebagai

dan a

Jika

maka persalnaan [I91 dapat dinyatakan sehagai

Persamaan d i atas digunakan untuk menduga
parameter b = a / p . Metoda ini berkenaan dengan
c a r a y a n g b i a s a , yaitu )>sebagai peohah tak
bebas dan x sebagai peubah bebas. Dalam ha1 ini
diinginkan penduga koefisien regresi b dari y
t e r h a d a p peubah x . Menurut Rhodes(1940)
dnlnrn Leslie(1957), metoda untuk menduga
parameter logistik dari nilai tengah digunakan
b e n t u k hubungan linear. Karenanya nilai
parameter b ,

3. Metode Norr-Litrenr SAS (NLilr SAS)
Metode ini dibantu dengan menggunakan salah satu prosedur SAS, yaitu PROC NLIN.
Model yang diiterasikan untuk masing-masing
bakteri adalah persalnaan [13],

Biakan C;unpurau
Setelah nilai parameter K &an r keduii
bakteri diketahui pada biakan murni, kzmudian
k d u a bakteri dibiakan bersamti dalam lingkungan yang sama, dzngt~n~ S I I I I I Shahwa
~
dalam
biakan campuran d i g ~ ~ n a k anilai
n r , dan K yang
nilainya sama saperti dala~nbiakan murni.
Apabila pertumbuhan kedua spzsies di
dalam biakan campuran ini mengikuti model
ko~npetisiLolk~i-Volrewn,dengan mengyunakan
persamaan [7],isocline kedua bakteri didapatkan dari persamaan,

Garis isocline-Nl ini metnotong sumbu-Nl pada
titik N,=K,, dan memotong sumbu-N, pada titik
N;=KI/B,. Sedangkan isoclilrc-N, memotong
sumbu N I psda titik N,=K,/B,, d a i memotong
sumbu N2 pada titik N,=K,. Kedua garis isocline ini membagi h i a a n g ( N , , N , ) menjadi
beberapa daerah.
Jika kedua isocli~retersebut digabung.
maka diketahui bentuk orbit kompetisi kedua
bakteri, yang mencirikan perilaku interaksi
kedua bakteri.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dari iterasi tersehut diperoleh dugaan
parameter K , C, dan r , serta nilai s'. Model
yang dihasilkan digunakan untuk mendup nilai
ramalan bakteri dari r = O hingga r = I l . (Program tersaji pada Lampiran 2)
K ~ s e s u a i a nnilai dugaan parameter
masing-masine matode diukur dari nilai kuadrat
tengah sisaan, .'s Makin kzcil nilainya maka

Biakan M u m i
Nilai dugaan parameter K, dan r yany
dihasilkan dari masing-mtising metode yang
digunakan tersaji pada Tabel 2. Untuk metodz
Pelinieran nilai K dan r diperoleh menggunakan
persamaan [I61 dan [IS].
Dengan nilai awal L~roohorillrts
No=3.028 dan No=7.595 untuk Srreprococars,
akan didapatkan jumlah ramalan populasi hakteri
pada saat t . Jumlah ramalan hakteri disajikan

pada Tabel 3 dan 4 , yaitu pengamatan dari t = 0
hingga r = 11.
Tabel 2. N i l a i dugaan parameter K dan

Tabel 4 . Populasi data dan ramalan banyaknya

r

masing-masing b a k t e r i dalam biakan

streptococcus

murni

biakan murni

I

I
-I--

terhesar antara 'ramalan' dan 'pengamatan'
teqiadi pada metode Aproksimasi.

I

Linear

[ L a c t o b a c i l l u s IKI 334.989

348.092

344.5181

0.543

0.5461

1

Irl

0.546

--

NLin

I

Aproks.

dalam

I

I

I

I I

Kultur

thermophilus

I
I

Amatan

t

I

I

Ramalan
Linear

Aproksimasi

NLin

/

Tabel 3 . Populasi data dan ramalan banyaknya
Lactobacillus

bulgaricus

dalam

biakan rnurni

I

I

t

Amatan

I

1

Ramalan

Linear

Aproksimasi

NLin

I
Tabel

5. Perbandingan n i l a i s
yang

2

ketiga

metode

digunakan untuk menduga

parameter model pertumbuhan

nilai

bakteri

dalam biakan murni

I

Uji ' k e s e s ~ r o i o nr ~ ~ c t o r l cdilakukan
'
d a n g a n c a r a membandingkan nilai kuadrat
tengah sisaan ketiga metoda yang digunakan
u n t u k menduga nilai-nilai paranlater modal
pertumbuhan.
D a r i Tabel 5 t e r l i h a t hahwa p a d a
Lnctobocillr~s,nilai kuadrat tengah sisaan, s'
metode Pelinearan adalah lebih lebih kecil dari
metode Aproksimasi, namun masih lebih besar
hila dihandingkan dengan nietode NLin SAS.
Untuk St~~el)rococcrr.s
menunjukkan hasil yang
serupa, nilai s ' metode NLirl SAS Iehih kecil
d a r i d u a metohe lainnya. T e r l i h a t j u g a d a r i
Tahel 3 dan Tahel 4 hz~hwahagian simpangan

Kultur

I Aproks.

Linear

NLin

I

Dengan kata lain m a t o d e NLirr S A S
merupakan liietoda terbaik utnuk menduga
parameter model pertumhuhan hakteri ontuk
data ini. Namun dari perhedaan nilai 's yang
kecil dengan penggunaan metode NLirr S A S ,
metode Palinearan dikatakan c u k u p haik
mendi~ganilai ramalan ukuran hakteri. Selain
itu keterbatasan kepelnilikan progratii SAS
~nendukungkasaderhanaan penggunaan metode
Pelinearan.
Adapun nod el pertunibuhan y a n s
dihasilkan dengan nletode Pelinearan untuk
masing-masing hakteri adalah

1.58851Nt
Nt+l -

untuk Strcprococcr~.~.
l+0.00397Nt

Biakan Campuran
Nilai dugaan parameter kedoa bakteri
pada biakan mumi,
Lactobacillus : K-348.092

r=0.543364,

Streptococcus : K=148.370

r=0.462796.

Dari nilai parameter di atas, dengan persamaan
[23], dan [24] diperoleh isoclirrc-Nl, yaitu

horizontalnya mangarah ke kanan.
Daerah IV terletak di sehelxh kiri isuclir~c-N,,akan tetapi ada di sehalah kallan isocli~rc-N,. Pada daarah ini gerak vertikitl orhit
mengarah k e hawah, dan garak horizontalnya
mengarah ke kiri. Pada kasus ini terdapat c ~ n p a t
buah titik keseimhangan, yaitu titik-titik (0;O).
(O;K,), (K,;O), dan titik potong i s o c l i ~ r e - N ,
dengan iso'linc-N, yaitu titik P yang memiliki
koordinat P( 86.432 ; 121.427)
Perhatikan Garnbar 3. Apahila ukuran
populasi dimulai pada suatu titik yang terlatak di
daerah 11, ~ilakadengan bar.jalanny~ waktu,
ukuran populasi akan hergerak ke suatu titik di
daerah I1 denyan arah gerak manuju ke Tenggztra. Oleh karena itu titik yang bar11 ini ;ik;in
semakin mendekati titik kesei~nbanqanP. Jadi
untuk jangka waktu yang pan.jang ukuran populnsi yang ber~nuladi daerah I1 ini akan men~!iu
ke titik kzseimbangan (86.431;121.427).

NI

yaitu garis yang lnemotong sumhu-NI pada titik
N =348.092, dan memotong sumbu-N, pad2
tiLk N,=161.537.

'YL..."

I)..

"I..,

0.8."

4.1.1

Sedangkan isoclirrc-N,,

Garis lurus ini memotong sumbu-Nl pada titik
Nl=475.972, dan memotong sumbu-N, pada
titik N,= 148.370.
- Jika isoclirrc yang diperoleh digamhark a n , terlihat bahwa kedua garis isocline ini
membagi bidang (Nl,N,) menjadi empat daerah.
Selanjutnya dengan minggunakan metode anak
panah, arah interaksi kedua bakteri dapat dijelaskan.
Pada daerah I yang terletak di ssbelah
kanan kedua garis isoclirtc berlaku dNl/dr