Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM (Strongly Connected Closed Models) dari Model Kompartemental

SIFAT NILAI EIGEN KOMPLEKS
MATRIKS SCCM (Strongly Coizizected Closed Models)
DARI MODEL KOMPARTEMENTAL

KUSNANDAR

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000

KUSNANDAR. Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM (Strongly Connected Closed hforlels)
dari Model Kompartemental (Characteristics of Complex Eigenvohres of SCCM (Strongly Connected
Closed Models) Matrix of Comnparh~entalModel). Dibimbing ole11 BEERLIAN SETIAWATY dan PAIAN
SIANTURI.
Model koinparteniental adalall suatu turnusan matematika dari suatu sistem, dengm memisalkan
sistem menjadi sejumlall kompa~teinen,yang dapat dianggap sebagai wadah penyimpanan material.
Kolnpartelnen tersebut dihubungkan dengan aliran yang inenunjukkan dinaiNka inaterial dalam sistem.
Pemballan material pada kompartemen diinodelkan dalaiu bentuk persaliiaan diferensial yang &pat
ditulis sebagai :

dengan x dan b adalah vektor kolom nxl clan A adalah nzcrtriks konzp~~rtenzerttcrl
n m . Matriks
kolnparte~nentalA ini memiliki elemen diagonal utama nonpositif, elemen lainnya nomegatif dan jumlah
eleinen tiap kolomnya nonpositif. Semua nilai eigen A lneiiipunyai bagian real nonpositif dan A tidak
me~lipunyainilai eigen inlajiner mnmni.
Tujuan dari penulisan ini adalall :
1. mempelajari sifat dari nilai eigen inatriks kompartemental yang inempunyai bagian ilnajiner tak nol.
2. memperoleh selang yang membatasi nilai dari jumlah kuadrat nilai eigenA yang imajiner, dan
3. mempelajari sifat nilai eigen A yang imajiner. dengan A merepresentasikankombimasi .cycle.
Diastunsikan bahwa matriks A bersifat SCCM (Strongly Connected Closed A4odels). Jika A
merepresentasikan digraf dengan cycle terpanjang kurang dari atau sama dengan dua, maka seinua nilai
eigen A bernilai real. Jika cycle terpanjang lebii~dari dua, maka ada nilai eigen A=-p+iv dari A yang
K
(tril)'
~ne~nennhi
lvl tan- 2 p . dimana nz adalah panjang cycle tetpanjang dari digmf Jika h,? - -< O .
nt

17-1

inaka ada bagian imajiner Nlai eigen A yang tak nol.
Pada matriks A yang bersesuaian dengan koinbinasi cycle. jika tiap cycle nlemnpunyai koefisien aliran
yang sailla, nlaka jumlah kuadrat nilai eigen yang imajiner dari matriks kombinasi cycle &an kurang dari
atau sama dengan jumlall kuadrat nilai eigen yang in~ajinerdari lnatriks tiap cycle.

SIFAT NILAI EIGEN KOMPLEKS
MATRIICS SCCM (Strongly Connected Closed Models)
DARI MODEL KOMPARTEMENTAL

KUSNANDAR

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memnperoleh gela
Sajana Sains
pada
Jurusan Matematika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000

Judul

: Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM (Sfi'ongly Conszected Closed
Models) dari Model Kompartemental

Nama : Kusnandar
N I M : GO5496001

Dr. Berlian Setiawaty. M. S.
Pe~nbimbingI

Dr. Paian Sianturi
Pernbimbing I1

RIWAYAT HJDUP
Penulis dildurkan di Cirebon pada tanggal 29 September 1978 sebagai anak kedua dari empat

bersaudara, anak dari pasangan Tjarba dan Rumsiti.
Ta11un 1996 penulis lulus dari SMU Negeri Sindanglaut dan pada tahun yang sama lulus seleksi
masuk IF'B melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IF'B (USMI) di J w s a n Matematika, Fakultas
Matelnatika dan nmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan penulis pemah aktii di Senat Mahasiswa FMIPA IF'B di bidang minat
dan bakat pada periode 199711998. Penulis juga pemah menjadi asisten Praktikum Fisika Dasar I pada
tahun ajaran 199711998. asisten mata kuliah Kalkulus I1 pada tahun ajaran 199811999, mata kulid~
Kalkulus I pada tal~unajaran 199811999 dan 199912000, lnata kuliah Pengantar Matelnatika pada tallun
a j m 199912000. serta lnata kuliah Matematika untuk Diploma 3 Analisis Lingkungan pada tahun ajaran
199912000.

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala ralunat clan karnnia-Nya seliingga
karya ilmiah ini berliasil diselesaikan. Judul yang dipilili dala~npenelitian studi pustaka yang dilaksanakan
sejak bulan Februari 2000 ini adalali Sifat Nilai Eigen Ko~npleksMatriks SCCM (Strong!v Connecled
Closedh1odels) dari Model Komparte~llental.

Teri~nakasih penulis s m p h kepada berbagai p i l d yang telah ~nembantupenyelesaian karya
ilmiah ini, antara lain Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S. yang telah ~nembimbingdengan penul~ketekunan
dan kesabam hingga selesainya penulisan kaya ilmiali ini, Bapak Dr. Paian Siantnri selaku pe~nbilnbing

11, Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S. selaku penguji. Bapak Ir. Toni Baklrtiar.M.Sc. dan Bapak Ir. I Wayan
Mangku, M.Sc. yang telah nle~nbantu dalam ha1 pengadaan referensi. serta staf pegawai jurusan
Matematika IPB atas segala bantuannya.
PenghargaaA yang tinggi penulis berikan kepada ayah, ibu, kak& adik-adikku dan saudarasaudaraku tercinta atas segala do'a &an dorongannya. serta tak lupa ucapai terilna kasih kepada teuiante~itankuEngkus, Budi. Jaka, Ismail. Kiki. Didi. Minar, Joko, Dalfi. Frengky. Reza. Wicak. Beni. Yuce.
Heny, Cycil, tell Ati, tell Ade, warga kost Bafak 20. warga kost DC7 , rvarga Mat'33, warga Mat'i4 d a i
lainnya yang tak tersebutkan, atas segala bantuan dan dorongan semangatnya.
Semoga karya ilmial~ini dapat bennanfaat.
Bogor* September 2000
Kusnandffr

DAFTAR IS1
Halaman
DAETAR GAMBAR
I.

vi

PENDAHClLUAN
1.1 Latar Belakang ...................................

..............................................................................
.
.

...............................................

1
I
I
1

I1. LANDASAN TEORI
2.1 Definisi dan Lema Dasar dalam Aljabar Linear ................................................................... 1
2.2 Ruang VeMor Kompleks .....................................................................................................
3
6
2.3 Teori Directed Graph ...........................................................................................................
111. DESKRIPSI MODEL KOMPARTEMENTAL ..........................................................................

7

IV. NILAI EIGEN KOMPLEKS MATRIKS KOMPARTEMENTAL
4.1 Nilai Eigen Matriks Kompartemental.....................................................................................
4.2 Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM ............................ :..............................................

10

V . CYCLE ...............................

13

.

.................................................................................................
.
.

9

KOMBINASI CYCLE

. .
6.1 Ilustrasi Koinbinasi Cycle ....................................................................................................

15

6.2 Nilai Eigen dari Clustered Rosette .........................................................................................

16

VII. KESIMPULAN ..........................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...............................

.
.
.................................................................................

I9

20

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1.

Sistem kompartemental ..............................................................................................................

7

2.

Diagram model aliran timbal dalam tubuh manusia .....................................................................

S

3.

Diagram daur hidrologi ..............................................................................................................

S

I.

....................................................................................
Lingkaran Gerschgorin .................... .
.

9

5.

Digrafyang bersesnaian dengan matriks SCCM .....................................................................

10

6.

Cycle dengan panjang n ...............................................................................................................

13

7.

DigrafD dan dua subdigdD, dan D2 dari matriksA

16

I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pemodelan
kompartemental
mempunyai
aplikasi pada berbagai bidang, seperti pergerakan
obat pada fannakologi, analisis ekosistem, studi
sistem ~iletabolisrnedan gerak pada reaksi kimia.
Sistenl pada model ini dianalisis ~nelalui
pelisahan sistem menjadi sejumlali komponen,
yang disebut kompartemen, yang berhubungan
langsung dengan pembalm material. Twri
~nate~ilatikauntuk perilaku sistem ini disebut
antrlisis konipartenientnl.
Sistem koinpartemental terdiri dari dua atau
lebih ko~i~partemen.
Sistem tersebut dilnodelkan
dalain bentuk persanaan diferensial, d i i a setiap
persamaan menggarnbarkan laju pembahan jumlah
material terladap waktu pada konipartemen
tertentu.
Salall satu model kompartemental addah
persamaan diferensial berbentuk

memiliki bagian imajiner tak no1 dan memperoleh
pertidaksamaan dari jumlah kuadrat bagian
imajiner nilai eigen A. Masalah lain adalab
lnempelajari sifat-sifat bagian imajiner nilai eigen
A, dengan A lnerepresentasikan kornbinasi dua
atau lebih cycle.
1.2 Tujuan
Tujuan dari pennlisan ini adalah :
1. melnpelajd sifat dari nilai eigen matriks
komparten~ental yang mempunyai bagian
irnajiner tak nol.
2. memnperolel~selang yang lnembatasi nilai dari
jumlali kuadrat nilai eigen A yang imajiner, dan
3. me~npelajarisifat nilai eigen A yang imajiner,
dengan A rnerepresentasikan ko~nbinasicycle.

1.3 Metode
Metode yang digunakan dalam tulisan dengan
topik sifat nilai eigen kolnpleks lnatriks SCCM
(Stongly Connected Closed Models) dari model
kompartemental
ini adalah metode studi pustaka.
dengan x dan b adalah vektor kolom n s l dan A
yang
lneliputi
penelusuran
dan pennlisan kembali
adalah rnatriks konipartenientrrl nsn. Matriks
suatu
jumal
dalam
bentuk
yang
lebih utuh.
ko~upartementalA ini memiliki elemen dia~onal
utana nonpositif, elemen Iaiunya nomegatif dan
jumlal~elemen tiap kolomnya nonpositif. Menurut 1.4 Sistematika
Sistenlatika penulisan pada tulisan ini adalah
Anderson (1983) semua nilai eigen dari A
sebagai
berikut. Pada bab dua diberikan landasan
mempunyai bagian real nonpositif dan A tidak
memnpunyai nilai eigen ilnajiner murni. Jadi, nilai teori sebagai dasar analisis masalall.
Pada bab tiga diberikan deskripsi mengenai
eigen '4 dapat mneiniliki bagian imajiner tak no1
model
kompartemental. Bab empat akan
pada saat bagian realnya negatif, selkgga dari
membahas
sifat-sifat dari nilai eigen ko~npleks
aspek dinanik: osilasi teredam mungkin tejadi
matriks
SCCM.
pada solusi persamaan (1). Tetapi tulisan ini tidak
Bab lima nienlbahas nilai eigen suatu matriks
~uembahas aspek kedinamikan dari model
SCCM
yang rnerepresentasikan cycle dan bab
ko~l~partemental,melainkan mempelajari aspek
enan lnernbahas nilai eigen suatu litatriks SCCM
aljabarnya.
cycle.
Masdall yang dibahas pada tulisan ini adalah yang lnerepresentasikan kombinasi
Kesimpulan
dari
tulisan
ini
ada
pada
bab
teraklur.
rnerupelajari kondisi pada saat nilai eigen A

II. LANDASAN.TEORI
2.1 Definisi dan L e n ~ aDasar dalam AIjabar

Linear
Definisi 1 [Noble. 19691
Misalkan matriks A =(ai,),.
Minor dari n, adalah
deter~~inan
dari matriks ~.. .,..,.. ., vane
dioeroleh
,
dengan mengl~ilangkanbasis ke-i dan kolom ke-j
dari ~llatriksA,,, dan dinotasikan dengan n/fv
Bilangan B,=(-l)'iJhJ/,
disebut kofaktor dari a,

- .

Definisi 2 fNoble. 19691
Deterniinan dari ru~atriksA=(o,),,,
oleh ekspresi
\A\ = d

didefinisikan

e t =~ i a , , ~ , ,
i=l

Definisi 3 [Noble. 19691
Misalkan A adalal~ ~natriks 17m. Polinori~
flL)=det(.4 - A) disebut yolirionz krrrulderistik dan

pers;unaanl(A)=O disebut persumuun kurakterisfik
dari A. Nilai eigen dari A adalah skalar A> dimana
A x = k atau (A - W ) x=O mnenipunyai solusi tak nol.
Solusi tak no1 x disebut vektor eigerz dari A.
Definisi 4 [Anton, 19951
Jika matriks A={aij},,
maka trunspose dari A
adalah ~ ' = { b ~ } "dengan
~,
bo= a,;.
Lema 1
Nilai eigen lnatriksA d a n ~ 'adalah sama.
Bulti :
Misalkan A adalah ~ l a eigen
i
dari matriks A,
maka polinom karakteristik dari A adalah
fA(A)=IA - 21.
Karena
(A - ailT = ( A -~a ) ,
maka dari sifat detemkan
1 = IAT-AII= f,, (A)
J;,(A)=H - 2
Karena polinom karakteristik dari A dan A*
sama. maka A dan A' mnempunyai nilai eigen yang
sama.
0
Definisi 5 [Anton, 19951
Terus dari matriks A={aii},,
ditulis trA, adalall
jnmlah dari elemen-elemen diagonal utamanya.

Lema 3 pIoble, 19691
Polinom karakteristik dari matriks A={av)na
adalah polinom berderajat-11,XA) dengan
XA)=ao An+al A"-'+. . . + a,.~ A+ a,
dengan a; adalah jumlah prinsif minor orde-i
berganti tanda (~YSJ?)dan untuk 00, al dan a,
memenulli
0 0 = (-1):11
al = (-1) t r A 3
an= IAl.
Jika lulai eigen -4adalah Al,. . . ,IlnInaka

Bukti:
Jika W-AII diperluas &lam bentnk elemen pada
baris pertama, maka diperoleh

Bv adalah kofaktor dari elemen (iJ) pada A-A1
dengan ,
Ell polinom A berderajat n-1
Bljpolinom Aberderajat 17-2 untuk j=2,3,. ..,n ,
sellingga ,
X.2) =(all-A) Bll -1-{Polinomberderajat (17-2)).
Argumen yang sana diterapkan pa& Bll dan
dengan pengulangan diperoleh.
j(A) = (all- A)(ar A). . . (a,, - A) +{Polinom
berderajat (17-2) atau knrang)

-

Definisi 6 [Anton, 19951
Matriks A,
disebut segitiga atus jika semua
elenlen di bawah diagonal utama adalah nol.
Lema 2 [Marcus & Minc, 19691
1. Jika matriks A={av)m,dan B={bv}-,

I/

I,

I?

maka

(-l)"An + (-I)"-' x u i i An-'

j=li=I

2. Jika Tmnadaldl m a a s segitiga atas, maka

+ {Polinom

;=I

berderajat (n-2) atau kurang)
(2)
sellingga polinom karakteristik dari matriks A.,
adalah polimom berderajat-n dengan koefisien An
adalah (-1)" dan koefisien ,T1adalah

"

(ii) trAAT = C C a , a v = ~ C a . i
;=I j = l

n

=

i=l

Misalkan &>, 2,=1,2,..., n adalah nilai eigen A.
, m&i
XA) ==lil.aI=(A121I,)(h. A) , ,
A)
t)

t r n T = C t i j + C XI,;
2

;=I

I'

"

;=I j = ~
ic i

Definisi 7 [Noble, 19691
Matriks A,,, disebut nonsingulur atau mempunyai
invers, jika ada matriks B sehungga AB=BA=I,
dengan I matriks identitas. Matriks B disebut
irzvers dari A dan dinotasikm dengan A-I.

=(-1)"X +(-I)"-'C Ai 2.' + . . .
i=l

(3)

Untuk lnenentukan konstanta a, , pilih A=O
padaj(A) sellingga dari persamaan (3) diperoleh
!Al=AlA2.. A
Jadi, dari persamaan (2) dan (3) terbukti
v

CA; =Ca,, =trA
;=I

i=1

0

Aliibat 1 [Noble, 19691
arg(p+iv) adalall suatu sudut sedemikian Npa
Jika nilai eigen matriks A,, adalah At ,...,A,,, sehingga tan 0 = v / p .
maka
Lema 5 [Hall & Knight, 19641
f r ~ '=:A; .
Pada
polinom dengan koefisien real. jika
i=l
mempmyai akar kompleks, maka selalu dengan
sekawannya.
Bukti :
Misalkan A i=1.2,...,n adalall nilai eigen yang Bukti :
bersesuaian dengan matriks A artinya Ax=+,
Misalkan JA) =O adalah polinom dengan
Inaka dari Lema 3
koefisien real dan ~nelnpunyai akar konipleks
dan
~AX=A@X)=A(G)=.~(AX)=A{.ZSC)=&~X.

Berarti nilai eigen yang bersesuaian dengan
matriksA.4 adalall

Definisi 8. [Marcus & Minc, 19691
Matriks nomegatif K,, disebut tak terurai jika
matriks tersebut tidak dapat diuraikan (melalui
pertukaran baris, kemudian pertukaran yang sama
terhadap kolomnya) ke dalam bentuk

p+i v. akan dibuktikan bal~wap -i v juga akar dari
XA). Faktor dari XA) yyag bersesuaian untuk dua
akar adalal1
(A-p- iv)(A-p+iv) atau (A-p)2+?.
MisalkanXA) dibagi ole11 (A-p)'+ 2, maka
~d)=fi(A){(A-p)2+$)+
aA+b,
dengan a,b~'iRdanfi(A) adalah polinom berde~ajal
'17-2.
Karena A=p+iv, maka dari hipotesis .flA)=O
dan (A-p)'+?=0, sellingga a(p+iv)+b=O. Bagian
real dan imajiner di atas sama dengan nol, sehingga
ap+b=O clan U F O . Karena MfO. maka a=O;
mengakibatkan b=0. Sehingga XA) lhabis dibagi
ole11 ( ~ - p )?,
~ jadi
+
p -iv juga akar dari polinom
tersebut.
0

1

~

2~ 3 1 '

dengan K2 matriks sembamng, Kl dan K3 adalah
sub mahiks segi, sedangkan 0 adalah ma*
nol.
Lema 4 warcus & Minc, 19691
Misalkan K,, adalah matriks tak terurai yang
nomegatif dan A+=maks{A I Kx >Ax. x 2 01, maka
ada suatu nilai eigen real nomegatif A
' dan vektor
eigen x+ nomegatif yang bersesuaian dengan A' ,
sehingga fi'=A+xi dan jika A adalah nilai eigen
lain dari K ,maka 14 21 A'.
Selanjutnya A
' disebut nilai eigezz Perron.

Akibat 2
Misalkan 4 , j=l, ...,n adalali nilai eigen dari
matriks A, maka rata-ntanya, A , bemilai real.
Buliti :
Misalkan nilai eigen dari mahiks A real atau
kompleks, untuk nilai eigen real , maki 2 real dan
untuk nilai eigen kompleks, berdasarkan Lema 5
maka penjumlahan bagian imajiner dari nilai eigen
akan saling menglulangkan, yang berakibat 2 real.
0

Buliti: Liliat Oksaviri (1997)
2.2 Ruaug Vektor Kompleks

Definisi 9 [Paliouras, 19871
Bilazrgan konrpleks adalah suatu pasangan t e m t
bilangan real yang dinyatakan oleh (p, v) atau
p+iv, dengan i2= -1.
Untuk sen~barangbilangan kompleks z =p+iv,
nrgrinren z , ditulis arg z, didefinisikan sebagai
salal~satu sudut yang dibentuk ole11 vektor z
dengan surnbu real positif. Dengan kata lain

Lema 6 [Paliouras. 19871
Misalkan
z = p+iv= r(cos0 + i si170)= rd8,
dengan $ = @+3)dan 0 = arctan@ /v). Jika 17
bilangan bulat positif, maka
I"= ~ " ( C O Sn0+isi1?n 0 ) = me"'.
Buliti :
Proses pembuktian dilakukan dengan induksi
malemalika.
Untuk 17=2,

r'=zz = rfcos B+isin 0 ) r(cos B+isin 8 )

Lema 9 IPaliouras, 19871

.-

?I=

Asumsikan benar untuk n=k, sehingga
9 = ~ ( C Ok8+isin
S
k 8 ) = peika.
Untuk 17=k+l
22 = ~ ( C Ok@+isin
S
k 8 ) r(cos0+isin 8 )
= T1(cos(kB+B)+isin( k@+@))
= ?'(cos( k+1)8+isi17(k+1)8)
= ++lei(il+l)8

13

Lema 7 [Paliouras. 19871
Misalkan
z" = ~"(COS
n 8 + isin 170)= i-"e'"'.
dan
z, = r, (cos@,+ i sin@,).
Jika z" = z., ~nakaakar ke-n dari z diberikan
oleh 17 bilangan kolnpleks
zk= r,'"(cos (B,ln+2d/n)+ i sin (8&+2d/n)),
k=O. 1,... ,n-1.

Buliti :
Dati persalnaan trigonometri .
sin (x+n) =sin x cos a + sin n cos x.
sin (x - n) =sin x cos n - sin n cos x,
sehingga
sin (x+n) - sin (x - a) = 2sin a cos x.
Misalkan ~ 2 n W ndan n=dn. rnaka
sin(k+1/2)2rdn -sin(k-1/2)2dn =2sind17 cos2nk/r?.
Julnlalkan untuk k0.1. ... , n-1. maka
sinfn-l+112~2rd1~sin(-112)2dn
. . =

-

sinfn-ll2)2dn + sin rdn =

Buliti :
Misalkan

sin(2n-dn )+ sin d n =2sind7

z" = z ,
r"(cosn8+ i sin 178) = r,(cosO,+ i sin8,),
sehingga
r"= r, , n0=BO+2&
untuk beberapa bilangan bulat k. Karena r dan r,
bilangan real positif, berarti r adalal~akar pangkat
ke-n dari r, yaitu
r = (rJ1'" dan 8= ($+2nk)h7 ,
selingga akar pangkat n dari z adalah
zk= r,""(cos (Bo/,7+2nk/n)+ i sin (8Jn+2xk A?)),
k=0,1.... ,n-1.
0

sin 2n cos d n -sin d n cos 271 + sin d n

Lema S

Buliti :
Bukti dari lelna tersebut menggunakan deret
geornetri.
e2dlt,[(e2dl,?r
I,-I
-Ce'"'"
e3ni~,r
-1

k=1

-

-e2miri
e2mi!!ead(+~-~)~,?
e?mlrr

e?"
2m 1,r

I

k=I

I
=

Definisi 10 [Anton, 19951
Suatu vektor p disebut konrbinrrsi lilterlr dari
vektor-vektor kompleks xl,...,xnjika vektor tersebut
dapat dinyatakan dala~nbentuk

dengan c,, lr i S n adalali skalar kolupleks.
Definisi 11 [Anton, 19951
Misalkan xi,...,x, adalah vektor-vektor pada ruang
vektor kompleks I/. Jika masing-masing vektor
pada I/ dapat dinyatakan sebagai ko~ilbinasilinear
dari xl....,x,, inaka vektor-vektor ini dikat+c3) A+ CI c2+ cz c3+ c3 C I )
Perbatikan beberapa kasus di bawah ini.
(i) Jika ai= ci =l , i=1,2,3, maka
A(,?) =&A) =
+3 n+3),
sehingga

Contoh 5
Misalkan A adalah mahiks SCCM yang terdiri
dari dua cycle, yang ~nasing-masingpanjangnya
tiga, yaitu

yang berarti junlah kuadrat bagian imajiner dari
tiap cycle adalali sama, yaitu

-

-xn2

.

0
03
0
0
0
0
0
a, -a2
A= 0
n2 - a j - c 3
0
cI
0
-c2
0
0
c3
0
0
0
c2 - C 1 dengan ai > 0, i=1,2,3 adalal~koefisien aliran pada
cycle pertamna dan ci > 0, i=1,2,3 adalal~koefisien
aliran pada cycle kedua .
Polinom karakteristik dari mnatriks A adalah
. ~ n ) = ( n + a , ) ( n + a , m+~(n+c1)(n+c2mn)
)
+ x a + a l ) (n+a2)(n+cl)(n+cz),
dengan,fi(L)d m &(,I)adalali polinoin karakleristik
dari tiap cvcle, dimana
.I;(A)=-A(.1' +(al+ n2+a,) A+ a1 a2+a2a,-!-a? n l )
-al

Polinoin karakteristik untuk mahiks.4 adalah
(-aa2+3a+3))+ ( a + i ) (131)
~ ( 2=) (&I)
(-a(n2+3n+3))+ a(n+i) ( h i )( n + i )('+I)
= n (n+i)' {(n+i)2- 2(a2+3A+3))
= n (A+i)2(-n2
- 4 n - 51,
sellingga
Al=O, A=&= -1, A , , = - 2 i i ,
yang berarti jumlah kuadrat bagian imajiner dari
gabungan dua cycle adalah

(ii) Jika a, = cl =l, a2 = c2=2, a; = c; =8,maka
= -4A2 +11d+26).
J(A)
sehingga

yang berarti jumlah kuadrat bagian ilnajiner d a i
tiap cycle adalall nol.
Polinom kamkteristik untuk mattiks A adalah
f(A) = (R+1) (A+2) (-A(A2 + llL+26)) + @+I)
(A+2)
(-&,I2 +11A+26))+ ?dA+l) (A+2)
(a+ 1) (A+2)
= L(A+l)(A+g{(A+l) (d+2)- 2(?,'+11d+26)}
= 1(L+l) (A+2) (-a219'- 50),
sehingga
-19
al=o, &=-I, A=-2 a,,, =-+--

Ji-81
._I

L

3

10

0

0 0 0 1

dan
y o 0 0

0

0 1

Digraf D juga terurai ~nenjadi D=DluD2
seperti garnbar dibawah ini.

L

yang berarti jumlah kuadrat bagian irnajiner dari
gabungan tiap cycle adalah nol.

0
Pada pembahasan ini dias~unsikanbahwa digraf
yang bersesuaian dengan matriks .4 adalah
clustered rosette.
Suatu digraf disebut rosette jika ada suatu
verteks yang terletak pada semua cycle, dimana
cycle satu dengan lainnya terpisal~.
Suatu digraf D dari sekumpulan rosette yang
strongly connected dan tiap arc terletak pada tepat
satu cycle disebut clustered rosette.
Misalkan A adalah matriks SCCM dengan
digrafkya adalah clustered rosette. Digraf D dari
matriks A akan terurai menjadi digraf-digraf yang
memuat tepat satu cycle tetapi dengan llimpunan
verteks yang sama dengan digaf D. Notasikan
digraf ke-i dengan D; dan panjang cycle dari tiap D,
oleh Ini ,maka
D=DluD2u... u D,
sela~naD dan D; keduanya nlen~pnnj~ai
himpunan
verteks yang sarna dan tiap arc dari D terlnuat pada
satu Di.
Matriks A; i=l, ..., n bersesuaian dengan
koefisien alimn tak no1 pada posisi yang
bersesuaian dengan sisi bermdl pada Dj . sehingga
A juga terurai menjadi
A=Al+A2+... +.4,.

.

Contoh 6
Misalkan diberikan nlattiks SCCM A , seperti
pada contoh 5, maka A t e m i n~enjadiA=AI+A2 ,
dengan

Gambar 7. Digraf D dan dua subdigraf Dl dan D2
dari matriksA pada contoh 5.

6.2 Nilai Eigen dari Clustered Rosette
Sekarang akan ditwunkan l~ubungan antara
nilai eigen matriks A dan matriks Ai , i=1,2,.... p.
yang terdapat pada teorema berikut ini.
Teorema 9 [Walter, 19841
Misalkan A adalah lnatriks SCCM dari suatu
P

clustered rosette D, dengan uraian A = C A, ,
,=I

P

D = U D, . Misalkan R, ,,,.. An., adalah nilai eigen
;=I

tak no1 dari A. q),...;~f;-, adalah nilai eigen tak

i:i(')
adalah rata-ratanya, maka

no1 dari Ai dan
,,-I

(i)

C a,
k=l

dengan

p

=C

"I,

-1

c

,=I j=,

I :[! : : (
[ I:!?
irj

JKDt = C trAiA,?

--

;=I

JKDs = C frAz

--

i=l

Bukti :
(i) Dari k e l i n e m teras, diperoleh
n-l

XI,

P

p ">,-I

;=I

;=I j=l

i

=frA=CfrAj = C C

k=1

Perhatikan bal~wa

A?).

114)

(ii) Dapat diamati ballwa jumlah nilai eigen tak no1
adalah sama pada kedua sisi persamaan di atas,
dengan menghitung jumlah verteks yang terpisah

i=1

(16)

lnenyatakanjudahkuadrat deviasi dari nilai eigen
tiap cycle,

pada D = ~ J D ,; yaitu

P P

JKDh =

?=I

P

(17)

c!~A~A;

;=I j=1

itj

n-l=~(t?li-l),

;=I

maka pers-an
meniadi

(14) &pat diMis kembali

menyatakan hnbungan beberapa cycle. yaitu
jumlah perkalian semua pasangan dari koefisien
aliran yang meninggalkan verteks yang sama.

P "$,-I

,z-I

~ 2 =,C

I.=]

c

i=l j = l

Bentuk berikut

A?)

P - 1 (s (mi - 1)
(n - 1) n-1
-Cn,
=
C
4( 7 - 1) k 1
;=I j=l
(,?I; - 1)

.

n = P~nit- -1 i(j)

.

n-1

Selanjutnya dapat diperoleh bal~wa
P

P

P

P P

i=1

,=I

i=l

;=I j = l

3

(n -1)

;=I

dapat disederlmakan dengan lnelnisalkan
mi -1
P
a . =, sehingga Ca, = 1 dan persalnaan
n-1
i=l
(18) menjadi

I',

.uT
=CA,CA;=CA,A:+CCA,A;,
isj

sehingga

clnl. -i12= ? l ~ , 1 ~ - ~ ; - i ) i ~

,,-I

k=l

(18)

=

(n-a[-&i[i(;)]'
i=l
-[baj~c)']

k=I
2

Yll ]