PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE.
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Matematika
Program Studi Matematika
Oleh
MOCHAMMAD IQBAL SAEPUL NUGRAHA 0809119
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BANDUNG 2013
(2)
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE
Oleh
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Mochammad Iqbal Saepul Nugraha 2013 Universitas Pendidikan Indonesia
Juni 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
(3)
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
LEMBAR PENGESAHAN
PENERAPAN NILAI EIGEN TERHADAP MATRIKS LESLIE
Oleh:
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha NIM. 0809119
Disetujui dan Disahkan Oleh, Pembimbing I
Dr. Elah Nurlaelah, M.Si. NIP. 196411231991032002
Pembimbing II
Dra. Dian Usdiyana, M.Si. NIP. 196009011987032001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003
(4)
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
ABSTRAK
Suatu gambaran secara umum mengenai dinamika populasi dalam jangka waktu yang panjang dapat diselidiki menggunakan suatu matriks persegi khusus yaitu matriks Leslie. Misalkan adalah matriks persegi berderajat sedemikian sehingga untuk ; , dimana untuk ; dan untuk dan ; . Matriks disebut Matriks Leslie. Perhatikanlah bahwa setiap pemangkatan dari matriks Leslie [
] adalah . Pada tulisan ini akan diberikan
karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga sedemikian sehingga pemangkatan dari matriks Leslie yaitu , serta penghitungan nilai eigen dan vektor eigen akan diterapkan pada masalah dinamika populasi dengan menggunakan matriks Leslie.
(5)
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
ABSTRACT
A general description of the population dynamics in a long period of time can be investigated using a particular square matrix is a Leslie matrix. Let [ ] is a square matrix with degree such that for ; , for ; and for and ; . is called Leslie matrix. Note that every power of the Leslie matrix [
] are . In this paper will be given a Leslie matrix characterization of three degree such that power of the Leslie matrix are , as well as the calculation of
eigenvalues and eigenvectors will be applied to the problem of population dynamics using the Leslie matrix .
(6)
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
DAFTAR ISI LEMBAR PENGESAHAN
LEMBAR PERNYATAAN
ABSTRAK ... i
KATA PENGANTAR ... ii
UCAPAN TERIMAKASIH... iii
DAFTAR ISI ... iv
DAFTAR SIMBOL ... vi
DAFTAR TABEL ... vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Pembatasan Masalah ... 3
1.4 Tujuan ... 3
1.5 Manfaat Penulisan ... 3
1.6 Sistematika Penulisan ... 3
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1Matriks ... 5
2.2Fungsi ... 23
2.3Bilangan Kompleks ... 26
BAB 3 MATRIKS LESLIE 3.1 Model Leslie... 28
3.2 Matriks Leslie... 32
BAB 4 KESIMPULAN DAN IMPLIKASI 4.1 Kesimpulan ... 54
4.2 Implikasi ... 54 DAFTAR PUSTAKA
(7)
1
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Suatu bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear disebut aljabar linear (id.m.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear). Aljabar linear adalah topik yang fundamental sehingga menarik untuk dipelajari. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear karena selain memudahkan menyelesaikan persamaan linear.
Pengetahuan tentang populasi sebagai bagian dari pengetahuan ekologi telah berkembang menjadi semakin luas. Dinamika populasi tampaknya telah berkembang menjadi pengetahuan yang dapat berdiri sendiri. Dinamika populasi merupakan ilmu yang mempelajari pertumbuhan serta pengaturan populasi. Hal ini tentu berkaitan dengan parameter populasi.Khusus di dalam pengaturan kerapatan populasi dikenal adanya
mekanisme “density dependent” (mekanisme yang bergantung kepada kerapatan) dan mekanisme “density independent” (mekanisme yang tidak
bergantung kepada kerapatan). Dalam perkembangannya dinamika populasi banyak mengembangkan kaidah-kaidah matematika terutama dalam pembahasan kepadatan dan pertumbuhan populasi. Pengembangan kaidah-kaidah matematika itu sangat berguna untuk menentukan dan memprediksikan pertumbuhan populasi organisme di masa yang akan datang. Penggunaan kaidah matematika itu tidak hanya memperhatikan pertumbuhan populasi dari satu sisi yaitu jenis organisme yang di pelajari, tetapi juga memperhatikan adanya pengaruh dari faktor-faktor lingkungan, baik biotik maupun abiotik. Pengetahuan tentang dinamika populasi menyadarkan orang untuk mengendalikan populasi dari pertumbuhan meledak ataupun punah. Misalnya masalah penangkapan ikan dengan dinamit menyebabkan populasi hewan laut akan mengalami kepunahan (Tn. 2013: 1).
(8)
2
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
Pada skripsi ini terdapat konsep model Leslie sebagai pengantar dalam memahami matriks leslie. Model Leslie merupakan suatu metode yang baik yang dapat digunakan untuk menentukan pertumbuhan populasi serta distribusi usia dalam suatu populasi dari waktu ke waktu dan merupakan salah satu model yang paling umum dari pertumbuhan penduduk yang digunakan oleh pakar demografi sejak tahun -an (Anton,H dan Rorres, C., 2005: 1062). Matriks Leslie dapat diperoleh dari penurunan vektor kolom distribusi usia pada waktu pengamatan , setiap entri pada vektor didefinisikan sebagai banyaknya perempuan dalam kelompok usia ke- pada waktu . Pada waktu pengamatan , banyaknya perempuan dalam kelas usia pertama ditentukan dari jumlah anak yang lahir dari setiap kelas usia perempuan diantara waktu dan sehingga diperoleh entri pada baris pertama matriks yang merupakan kelompok usia subur, sedangkan pada kelas usia selanjutnya ditentukan dari peluang kelangsungan hidup sehingga diperoleh entri pada subdiagonal matriks (Simanihuruk, M. dan Hartanto, 2006). Hal yang menarik dalam skripsi ini yaitu mengenai cara menentukan dinamika populasi jangka panjang serta untuk menentukan apakah populasi meningkat, menurun, atau konstan dengan menggunakan teorema-teorema yang terkait dengan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks leslie berorder tersebut (Sumini, Wa, 2010).
Dalam kasus tertentu pada suatu populasi yang berkaitan dengan nilai eigen positif dari matriks leslie, yaitu populasi akan bertambah jika nilai eigen positif lebih besar dari satu, sedangkan populasi akan menurun jika nilai eigen positif kurang dari satu dan populasi akan stabil jika nilai eigen positif sama dengan satu. Jadi, nilai eigen berperan penting dalam menentukan angka pertumbuhan populasi, sedangkan vektor eigen berperan penting dalam menentukan kestabilan distribusi usia.
(9)
3
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
1.2 Rumusan masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka rumusan masalah pada skripsi ini sebagai berikut:
1. Bagaimana hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen terhadap matriks Leslie?
2. Apamanfaat matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari? 3. Bagaimana karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga?
1.3 Pembatasan masalah
Pembuktian untuk teorema yang terkait dengan nilai eigen dominan dari matriks Leslie, dibatasi pada matriks Leslie dan . Pengkajian matriks Leslie dari sudut pandang aljabar linear secara keseluruhan dibutuhkan materi yang cukup luas dan mendalam. Selanjutnya pada skripsi ini akandibahas mengenai model Leslie yangmenekankan pada pembuktian teorema yang berkaitan dengan matriks Leslie.
1.4 Tujuan penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Mengetahui hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Leslie
2. Mengetahui manfaat matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari 3. Mengetahui karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga
1.5 Manfaat Penulisan
Menambah dan memperluas pengetahuan tentang matriks, khususnya yang berhubungan dengan matriks Leslie, dimana untuk mengetahui penyebaran populasi pada manusia maupun hewan (perempuan/betina).
1.6 Sistematika Penulisan
(10)
4
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
BAB I Pendahuluan
Mengemukakan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.
BAB II Landasan Teori
Mengemukakan landasan teori yang mendukung Bab III, diantaranya menjelaskan tentang teori matriks, teori kalkulus dan teori bilangan kompleks, dan lain-lain.
BAB III Matriks Leslie
Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks leslie beserta manfaat dalam kehidupan sehari-hari.
BAB IV Kesimpulan dan Saran
Mencoba merangkum keseluruhan hasil pembahasan dalam bentuk kesimpulan dan implikiasi
Lampiran Daftar Pustaka
(11)
54
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
BAB 4
KESIMPULAN DAN IMPLIKASI
4.1Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dipaparkan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen terhadap Matriks Leslie yaitu sebagai pembanding terhadap distribusi usia populasi dengan ditentukan oleh nilai eigen positif yang dominan dari Matriks Leslie dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut dan terdapat tiga kasus yang berhubungan dengan nilai eigen positif yaitu:
i. Populasi akan meningkat jika ii. Populasi akan menurun jika iii. Populasi akan stabil jika
2. Manfaat menggunakan matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari yaitu dapat dibuat sebagai model kebijakan pemanenan atau untuk memprediksi suatu pertumbuhan populasi perempuan pada masa mendatang.
3. Karakteristikdari matriks Leslie berderajat tiga yaitu dengan syarat merupakan matriks diagonal positif dimana setiap diagonal utamanya bernilai .
4.2Implikasi
Pada skripsi ini hanya dibahas pada matriks Leslie berderajat tiga. Kami sarankan agar peneliti lain meneliti lebih lanjut dari Teorema dan karakterisasi matriks Leslie berderajat tersebut.
(12)
Mochammad Iqbal Saepul Nugraha, 2013
Penerapan Nilai Eigen Terhadap Matriks Leslie
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga. Anton, H dan Rorres,C., (2005). Elementary Linear Algebra with
Applications. New York: John Wiley and Sons Inc.
Purcell. (2003). Kalkulus Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.
Ayres, FJR. (1962). Theory and Problems of Matrices. New York: Mc Graw Hill Book Company.
Haberman, R (1977). Mathematical Models: Mechanical Vibration,
Population Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice Hall Inc.
Wikipedia (2013). Aljabar Linear. From
http://id.m.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear, [27 Februari 2013].
Simanihuruk, M. dan Hartanto (2006). Karakterisasi Matriks Leslie Ordo
Tiga. Universitas Bengkulu. Vol. 2 No.1 Januari 2006 :134-138. [Online]. Tersedia: http://gradienfmipaunib.files.wordpress.com/2008/07/mudin.pdf. [27 Februari 2013].
Slideshare (2013), Makalah Seminar Matematika Djuwita. From
http://fr.slideshare.net/trisnawatidjuwita/makalah-seminar-matematika-djuwita-trisnawati, [27 Februari 2013]
Eprints (2013), Analisis Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Pada Matriks Leslie. From
http://eprints.unipa.ac.id/180/1/Sumini,Wa_Analisis%20Nilai%20Eigen%20
%26%20Vektor%20Eigen%20pd%20Matriks%20Leslie.pdf, [27 Februari
2013]
Scribd (2013). Dinamika Populasi. From
(1)
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Suatu bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear disebut aljabar linear (id.m.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear). Aljabar linear adalah topik yang fundamental sehingga menarik untuk dipelajari. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear karena selain memudahkan menyelesaikan persamaan linear.
Pengetahuan tentang populasi sebagai bagian dari pengetahuan ekologi telah berkembang menjadi semakin luas. Dinamika populasi tampaknya telah berkembang menjadi pengetahuan yang dapat berdiri sendiri. Dinamika populasi merupakan ilmu yang mempelajari pertumbuhan serta pengaturan populasi. Hal ini tentu berkaitan dengan parameter populasi.Khusus di dalam pengaturan kerapatan populasi dikenal adanya mekanisme “density dependent” (mekanisme yang bergantung kepada kerapatan) dan mekanisme “density independent” (mekanisme yang tidak bergantung kepada kerapatan). Dalam perkembangannya dinamika populasi banyak mengembangkan kaidah-kaidah matematika terutama dalam pembahasan kepadatan dan pertumbuhan populasi. Pengembangan kaidah-kaidah matematika itu sangat berguna untuk menentukan dan memprediksikan pertumbuhan populasi organisme di masa yang akan datang. Penggunaan kaidah matematika itu tidak hanya memperhatikan pertumbuhan populasi dari satu sisi yaitu jenis organisme yang di pelajari, tetapi juga memperhatikan adanya pengaruh dari faktor-faktor lingkungan, baik biotik maupun abiotik. Pengetahuan tentang dinamika populasi
(2)
Pada skripsi ini terdapat konsep model Leslie sebagai pengantar dalam memahami matriks leslie. Model Leslie merupakan suatu metode yang baik yang dapat digunakan untuk menentukan pertumbuhan populasi serta distribusi usia dalam suatu populasi dari waktu ke waktu dan merupakan salah satu model yang paling umum dari pertumbuhan penduduk yang digunakan oleh pakar demografi sejak tahun -an (Anton,H dan Rorres, C., 2005: 1062). Matriks Leslie dapat diperoleh dari penurunan vektor kolom distribusi usia pada waktu pengamatan , setiap entri pada vektor didefinisikan sebagai banyaknya perempuan dalam kelompok usia ke- pada waktu . Pada waktu pengamatan , banyaknya perempuan dalam kelas usia pertama ditentukan dari jumlah anak yang lahir dari setiap kelas usia perempuan diantara waktu dan sehingga diperoleh entri pada baris pertama matriks yang merupakan kelompok usia subur, sedangkan pada kelas usia selanjutnya ditentukan dari peluang kelangsungan hidup sehingga diperoleh entri pada subdiagonal matriks (Simanihuruk, M. dan Hartanto, 2006). Hal yang menarik dalam skripsi ini yaitu mengenai cara menentukan dinamika populasi jangka panjang serta untuk menentukan apakah populasi meningkat, menurun, atau konstan dengan menggunakan teorema-teorema yang terkait dengan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks leslie berorder tersebut (Sumini, Wa, 2010).
Dalam kasus tertentu pada suatu populasi yang berkaitan dengan nilai eigen positif dari matriks leslie, yaitu populasi akan bertambah jika nilai eigen positif lebih besar dari satu, sedangkan populasi akan menurun jika nilai eigen positif kurang dari satu dan populasi akan stabil jika nilai eigen positif sama dengan satu. Jadi, nilai eigen berperan penting dalam menentukan angka pertumbuhan populasi, sedangkan vektor eigen berperan penting dalam menentukan kestabilan distribusi usia.
(3)
1.2 Rumusan masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka rumusan masalah pada skripsi ini sebagai berikut:
1. Bagaimana hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen terhadap matriks Leslie?
2. Apamanfaat matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari? 3. Bagaimana karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga?
1.3 Pembatasan masalah
Pembuktian untuk teorema yang terkait dengan nilai eigen dominan dari matriks Leslie, dibatasi pada matriks Leslie dan . Pengkajian matriks Leslie dari sudut pandang aljabar linear secara keseluruhan dibutuhkan materi yang cukup luas dan mendalam. Selanjutnya pada skripsi ini akandibahas mengenai model Leslie yangmenekankan pada pembuktian teorema yang berkaitan dengan matriks Leslie.
1.4 Tujuan penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Mengetahui hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Leslie
2. Mengetahui manfaat matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari 3. Mengetahui karakterisasi matriks Leslie berderajat tiga
1.5 Manfaat Penulisan
Menambah dan memperluas pengetahuan tentang matriks, khususnya yang berhubungan dengan matriks Leslie, dimana untuk mengetahui penyebaran populasi pada manusia maupun hewan (perempuan/betina).
(4)
BAB I Pendahuluan
Mengemukakan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.
BAB II Landasan Teori
Mengemukakan landasan teori yang mendukung Bab III, diantaranya menjelaskan tentang teori matriks, teori kalkulus dan teori bilangan kompleks, dan lain-lain.
BAB III Matriks Leslie
Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks leslie beserta manfaat dalam kehidupan sehari-hari.
BAB IV Kesimpulan dan Saran
Mencoba merangkum keseluruhan hasil pembahasan dalam bentuk kesimpulan dan implikiasi
Lampiran Daftar Pustaka
(5)
BAB 4
KESIMPULAN DAN IMPLIKASI
4.1Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dipaparkan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Hubungan antara nilai eigen dan vektor eigen terhadap Matriks Leslie yaitu sebagai pembanding terhadap distribusi usia populasi dengan ditentukan oleh nilai eigen positif yang dominan dari Matriks Leslie dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut dan terdapat tiga kasus yang berhubungan dengan nilai eigen positif yaitu:
i. Populasi akan meningkat jika ii. Populasi akan menurun jika iii. Populasi akan stabil jika
2. Manfaat menggunakan matriks Leslie dalam kehidupan sehari-hari yaitu dapat dibuat sebagai model kebijakan pemanenan atau untuk memprediksi suatu pertumbuhan populasi perempuan pada masa mendatang.
3. Karakteristikdari matriks Leslie berderajat tiga yaitu dengan syarat merupakan matriks diagonal positif dimana setiap diagonal utamanya bernilai .
4.2Implikasi
Pada skripsi ini hanya dibahas pada matriks Leslie berderajat tiga. Kami sarankan agar peneliti lain meneliti lebih lanjut dari Teorema dan karakterisasi matriks Leslie berderajat tersebut.
(6)
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga. Anton, H dan Rorres,C., (2005). Elementary Linear Algebra with Applications. New York: John Wiley and Sons Inc.
Purcell. (2003). Kalkulus Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.
Ayres, FJR. (1962). Theory and Problems of Matrices. New York: Mc Graw Hill Book Company.
Haberman, R (1977). Mathematical Models: Mechanical Vibration, Population Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice Hall Inc.
Wikipedia (2013). Aljabar Linear. From
http://id.m.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear, [27 Februari 2013].
Simanihuruk, M. dan Hartanto (2006). Karakterisasi Matriks Leslie Ordo Tiga. Universitas Bengkulu. Vol. 2 No.1 Januari 2006 :134-138. [Online]. Tersedia: http://gradienfmipaunib.files.wordpress.com/2008/07/mudin.pdf. [27 Februari 2013].
Slideshare (2013), Makalah Seminar Matematika Djuwita. From
http://fr.slideshare.net/trisnawatidjuwita/makalah-seminar-matematika-djuwita-trisnawati, [27 Februari 2013]
Eprints (2013), Analisis Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Pada Matriks Leslie. From
http://eprints.unipa.ac.id/180/1/Sumini,Wa_Analisis%20Nilai%20Eigen%20 %26%20Vektor%20Eigen%20pd%20Matriks%20Leslie.pdf, [27 Februari 2013]